Énumération de quelques méthodes mathématiques pour la résolution des systèmes polynomiaux

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ANALYSE ET MODÉLISATION CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIQUE DES MANIPULATEURS

Afin de mieux comprendre les propriétés des manipulateurs étudiées dans ce mémoire, on rappelle dans ce paragraphe quelques définitions souvent rencontrées dans la littérature.

MÉCANISMES DE TYPE MANIPULATEUR

Définition de mécanisme de type manipulateur
Un mécanisme de type manipulateur est un ensemble de corps rigides liés entre eux par des articulations rotoïdes, prismatiques (voir l’Annexe A) destinées à manipuler des pièces ou un outil. Les articulations sont supposées idéales, sans jeu et sans élasticité. Un mécanisme de type manipulateur peut se présenter sous la forme d’une chaîne cinématique simple ou d’une chaîne cinématique fermée. On rappelle brièvement les trois catégories possibles de manipulateurs ainsi que les avantages et les inconvénients de chacune.
Définition du nombre de degrés de liberté
Le nombre de degrés de liberté (ddl) d’une liaison est égal au nombre minimal de paramètres qui déterminent la position du corps C2 dans son mouvement permis par rapport au corps C1.

Chaîne cinématique simple

C’est une chaîne cinématique dont chaque membre possède un degré de connexion (nombre de liaisons mécaniques) inférieur ou égal à deux [Dombre 88]. Un mécanisme de type manipulateur est sériel s’il est formé d’une chaîne cinématique simple dont la base B et l’organe effecteur P possèdent un degré de connexion égal à un (donc chacun est relié à un seul corps) tandis que les autres éléments possèdent un degré de connexion égal à deux (Figure 1).
Ce type de manipulateurs est le plus utilisé en industrie vue l’importance de son espace de travail. On peut citer, à titre d’exemple, les manipulateurs anthropomorphes, cylindriques, toriques, sphériques et cartésiens. Les inconvénients de tels manipulateurs se résument essentiellement à une faible précision, une faible charge transportable et une faible rigidité.

Chaîne cinématique fermée

C’est une chaîne cinématique dont l’un des membres, différent de la base, possède un degré de connexion supérieur ou égal à trois [Merlet 97].
Dans la Figure 2, les corps C1, C2, C3 et C4 forment une chaîne cinématique fermée. Parmi les manipulateurs à chaîne cinématique fermée, on peut citer les manipulateurs parallèles, les manipulateurs pleinement parallèles et les manipulateurs à boucles fermées pleinement parallèles légers [Chablat 98a]. Les avantages des manipulateurs à chaîne cinématique fermée sont la rigidité et le pouvoir de transporter des charges lourdes. Comme inconvénients, on note essentiellement l’espace de travail restreint.
Les manipulateurs hybrides se présentent comme une structure sérielle dans laquelle on vient insérer une ou plusieurs boucles fermées (Figure 3).
L’insertion des boucles fermées dans une structure sérielle a pour but l’augmentation de la rigidité du manipulateur et la diminution de son poids. De ce fait, la présence d’un parallélogramme dans le manipulateur Hitachi-HPR [Dombre 88] permet de déplacer la motorisation du deuxième axe tout en augmentant la rigidité du manipulateur. Citons comme autre exemple le montage en série d’un poignet sphérique sur les manipulateurs parallèles [Chablat 98b].
Dans ce mémoire, on se limitera à l’étude des manipulateurs sériels.

MODÉLISATION CINÉMATIQUE

On rappelle dans ce paragraphe les paramètres géométriques permettant de décrire un mécanisme de type manipulateur sériel et que l’on utilisera tout le long de ce mémoire. Cette description utilise les paramètres de Denavit et Hartenberg modifiés (DHm) [Khalil 86].
Comme défini précédemment, un mécanisme de type manipulateur est une chaîne cinématique constituée d’une succession de corps rigides liés entre eux par des articulations rotoïdes ou prismatiques. On note le repère Rj lié au corps Cj successeur du corps Cj-1 et antécédent Cj+1. Rj est défini tel que :
– L’axe Zj est porté par l’axe de l’articulation j.
– L’axe Xj est porté par la perpendiculaire commune aux axes Zj et Zj+1. Dans le cas où les axes Zj et Zj+1 seraient parallèles, le choix de l’axe Xj n’est pas unique : des considérations de symétrie ou de simplicité sont à prendre en compte.
– L’axe Yj est déterminé de telle sorte que le repère Rj soit direct.
Le passage entre les repères Rj-1 paramètres géométriques (Figure 4). et Rj est fonction de quatre paramètres appelés
Ces paramètres sont définis par :
– dj : distance entre Zj-1 et Zj le long de Xj-1.
– αj : angle entre les axes Zj-1 et Zj, correspondant à une rotation autour de Xj-1.

Espace articulaire

Les articulations entre les différents corps d’un manipulateur peuvent être rotoïdes ou prismatiques. L’espace articulaire EAn est par conséquent le produit cartésien de deux types d’espaces : ℜ pour les prismatiques et le cercle S1 pour les rotoïdes. Citons l’exemple d’un manipulateur à 6 ddl à porteur cylindrique et poignet rotule, sa morphologie s’écrit RPPRRR et son espace articulaire s’écrit : EAn = EA6 = S1xℜ2xS3.

Espace opérationnel

L’espace opérationnel EOm décrit la position et l’orientation de l’effecteur d’un manipulateur à n ddl. La forme de cet espace opérationnel dépend des paramètres du manipulateur. Par exemple, dans le cas des manipulateurs non redondants à 3 ddl, l’espace opérationnel est donc l’espace cartésien de dimension 3 : EOm = EO3 = ℜ3.
Concernant les manipulateurs à 6 ddl, six coordonnées de position et d’orientation sont utilisées e ton a : EOm = EO6 = ℜ3xSO(3).
Où SO(3) représente le groupe des rotations propres d’un corps rigide dans ℜ3.

LES MODÈLES GÉOMÉTRIQUES DIRECT ET INVERSE

Un problème fondamental qui se pose lors d’une étude des manipulateurs est la résolution du modèle géométrique direct et inverse. Le modèle géométrique direct d’un manipulateur sériel permet de trouver la position et l’orientation de l’effecteur en fonction des paramètres articulaires donnés, alors que le modèle géométrique inverse permet de trouver l’ensemble des configurations articulaires possibles pour une position et une orientation données de l’effecteur.

Modèle géométrique direct

Le modèle géométrique direct (MGD) est présenté par l’équation (1). La détermination de ce modèle ne pose pas de problème : il s’agit d’une multiplication de matrices. En effet, on considère la matrice de transformation j−1Tj entre les repères Rj-1 lié au corps (j-1) et Rj lié au corps (j), le résultat est donné par la matrice 0Tn telle que : 0 Tn = 0 T 1 T ⋅ ⋅ ⋅ j−1 T j T ⋅ ⋅ ⋅ n−1Tn (2) 1 2 j j+1
Dans le cas d’un manipulateur 3R, l’espace K des paramètres est de dimension 7.
Ces 7 paramètres de DHm sont : d2, d3, d4, r2, r3, α2 et α3. L’équation (3) représente le MGD d’un manipulateur 3R.

BRANCHES DE SINGULARITÉS

Étant donné qu’une singularité est définie par l’ensemble des configurations qui annulent le déterminant de la matrice J, lorsque ce dernier se factorise, chaque facteur en s’annulant définit une singularité (en l’absence de butées articulaires). Une branche de singularité est définie comme une composante connexe de singularité dans l’espace articulaire.

Dans le cas où le déterminant ne se factorise pas, la seule singularité sera donnée par det(J) = 0. Pour un manipulateur 3R, cette singularité est composée de plusieurs branches. [Burdick 88] a montré qu’un manipulateur 3R dont le déterminant ne se factorise pas peut avoir jusqu’à 4 branches de singularités.

Exemple :

Soit un manipulateur 3R dont les paramètres de DHm sont : d2 = 2,5, d3 = 0,5, d4 = 2, r2 = 1, r3 = 0,6, α2 = -90° et α3 = 90°. Le déterminant s’écrit sous une forme décrite par l’équation (6) dont la factorisation représente un problème théorique très difficile. La Figure 8 montre la seule singularité du manipulateur composée de 4 branches dans l’espace articulaire, ainsi que l’espace de travail dans le plan ( ρ = x 2 + y2 , z). det( J) = (d 3 + d c ) ⋅ d s + (d s − r c )c + (d s − r c )r s (6)

CALCUL DES SINGULARITÉS DANS L’ESPACE ARTICULAIRE

Les singularités sont les configurations pour lesquelles la matrice jacobienne n’est pas de rang plein. Dans le cas des manipulateurs 3R, les singularités sont obtenues en résolvant directement l’équation : det(J) = 0 (7)

Cinématique des manipulateurs sériels

Il existe d’autres méthodes de calcul de singularités dans l’espace articulaire. Citons par exemple la méthode récursive de [Burdick 88] valable pour les manipulateurs 3R. C’est une méthode purement géométrique et qui ne nécessite pas le calcul de la matrice jacobienne ni de son déterminant.

CALCUL DES SINGULARITÉS DANS L’ESPACE OPÉRATIONNEL

Dans le cas général, les singularités dans l’espace opérationnel sont obtenues en calculant l’image des singularités dans l’espace articulaire par l’opérateur géométrique F : [Kohli 87], [Rastegar 87], [Burdick 88], [Tsai 93a], [El Omri 96].

L’inconvénient majeur de ces méthodes se base sur le fait qu’elles ne tiennent pas compte des butées articulaires dans le calcul des frontières de l’espace de travail.

[Dombre 82] détermine ces frontières dans des plans de coupe de l’espace opérationnel. Dans chaque plan, on considère un point P. On choisit ensuite une configuration articulaire solution au MGI en P. On déplace le point P le long d’une droite par calcul du modèle différentiel inverse jusqu’à atteindre une limite articulaire ou une singularité le long de cette droite. On note tous les points limites. On déplace après la droite parallèlement à elle-même. On obtient finalement un ensemble de points délimitant la portion de plan de coupe accessible. Toutefois, cette méthode dépend du choix du point P initial et ne permet pas en général d’obtenir la totalité de la zone accessible dans le plan de coupe considéré.

Définition « du » polynôme du MGI

Dans tout ce mémoire, on définira « le » polynôme du MGI d’un manipulateur 3R comme le polynôme P(t) donné dans l’équation (8). Il représente une équation caractéristique que l’on peut obtenir en tentant d’obtenir les MGI en fonction de tan (θ3/2). Le polynôme P(t) est de degré 4 en fonction de t = tan (θ3/2), ses coefficients a, b, c, d et e dépendent des paramètres de DHm et de la position de l’effecteur (définie par ρ et z). Notons que l’on peut obtenir deux autres équations caractéristiques en fonction de tan (θ1/2) et tan (θ2/2). P (t ) = at 4 + bt 3 + ct 2 + dt + e (8)

[Ranjbaran 94] exprime explicitement l’équation des singularités dans l’espace opérationnel en partant du polynôme du MGI.

Le lieu des points où ce polynôme admet des racines multiples est exactement le lieu des singularités dans l’espace opérationnel. Sur le plan pratique, ces singularités sont obtenues en traçant le graphe de l’équation (9) dans le plan (ρ, z) qui découle de l’annulation du discriminant du polynôme du MGI [Kohli 85], [Tsai 93a], [Ranjbaran 94], [El Omri 96]. (2c 3 + 27ad 2 + 27b 2e − 9bcd − 72ace )2 − 4(c 2 − 3bd + 12ae)3 = 0 (9).

PROPRIÉTÉS DES MANIPULATEURS

Depuis longtemps, les industriels se sont contentés d’utiliser des manipulateurs « standards » dont les propriétés sont parfaitement maîtrisées. Les principales tâches de ces manipulateurs consistent à réaliser des opérations de manutention, de soudage ou de peinture. Or, avec le progrès technologique, la diversité des tâches à réaliser ou pour satisfaire la tendance de minimisation des coûts des manipulateurs et de la concurrence, les concepteurs se retrouvent obligés de proposer des manipulateurs nouveaux satisfaisant les demandes du marché. Cette innovation n’est pas automatique puisqu’elle exige une connaissance globale de leurs propriétés. Dans ce paragraphe, on va décrire les généralités et les propriétés importantes des manipulateurs qu’un concepteur doit maîtriser afin de satisfaire un cahier des charges imposé.

NOTION DE PARCOURABILITÉ

L’espace de travail nous permet d’analyser les performances globales d’accessibilité. Cette notion reste limitée si le manipulateur doit exercer des tâches de type soudage à l’arc ou de découpe. En effet, le manipulateur ne peut pas toujours suivre une trajectoire continue entre deux points A et B même s’il peut les atteindre. Une notion plus forte que l’accessibilité est exigée : il s’agit de la parcourabilité. Cette notion a été formalisée par [Chedmail 87b], [Chedmail 87c], [Wenger 88], [Wenger 89] et [Wenger 91]. Selon que la trajectoire suivie entre deux points donnés de l’espace opérationnel est spécifiée ou pas, on a deux niveaux de parcourabilité. Pour chaque niveau, il est donc important de déterminer les régions parcourables de l’espace opérationnel.

Terminologie

– Trajectoire discrète : c’est une trajectoire définie par la donnée de p points de l’espace de travail sans spécifier un chemin entre ces p points.
– Trajectoire continue : c’est une trajectoire de longueur finie entre une origine et une extrémité. Elle est faisable lorsque l’effecteur peut la suivre de manière continue.
– Espace des configurations libres : noté Ql. On considère la partition de Ql en plusieurs composantes connexes Qli avec i ∈ I = {1, 2,…., N} tel que Ql = ∪i∈I Qli et ∀i ≠ j, i ∈ I, j ∈ I, Ql i ∩ Qlj = ∅ .
– Domaine de travail : Wli est défini ainsi : ∀i ≠ j, Wli = F(Qli).
– Espace de travail libre : on peut le définir par Wl = F(Ql) ou encore : Wl = ∪i∈I Wli .

La n-parcourabilité :

La n-parcourabilité garantit la faisabilité de toute trajectoire discrète dans le l’espace de travail libre Wl. Autrement dit, tous les points d’une trajectoire discrète choisie sont contenus dans un domaine de travail. Un espace de travail libre d’un manipulateur est n-parcourable, si et seulement si, il existe un domaine de travail qui contient tous les autres et qui recouvre tout l’espace de travail libre. On note qu’en l’absence d’obstacles, l’espace de travail est toujours n-parcourable. En effet le domaine articulaire accessible est connexe, par suite, il n’y a qu’un seul domaine de travail constituant tout l’espace de travail.
Dans le cas où l’espace de travail libre Wl n’est pas n-parcourable, on montre que les sous-espaces n-parcourables principaux sont les domaines de travail Wli.

La t-parcourabilité :

La notion de n-parcourabilité ne garantit pas la faisabilité des trajectoires continues. Par suite on a besoin de définir une notion plus forte dans le cas de manipulateurs devant suivre une courbe imposée pour effectuer des tâches telles que le soudage continu, la peinture ou la découpe. Dans le cas des manipulateurs non cuspidaux évoluant dans des environnements dépourvus d’obstacles, [Borrel 86] a démontré qu’une trajectoire continue est faisable si et seulement si tous les points de cette trajectoire sont accessibles dans le même aspect. Ce qui veut dire que toute la trajectoire continue doit être dans l’image d’un même aspect. Afin de généraliser ce résultat aux environnements encombrés, on doit distinguer les manipulateurs redondants et non redondants.
– Les manipulateurs non redondants : pour qu’une trajectoire continue soit faisable dans l’espace de travail libre Wl, il faut et il suffit qu’elle soit totalement contenue dans l’image d’une composante connexe d’un aspect libre ou qu’elle passe par une zone de changement d’aspect qui est un domaine de dimension m-1 [Wenger 89].
– Les manipulateurs redondants : pour qu’une trajectoire continue soit faisable dans l’espace de travail libre Wl, il faut et il suffit qu’il existe une composante connexe de F-1(trajectoire continue) dont l’image recouvre cette trajectoire. Toutefois, cette condition ne permet pas d’analyser la t-parcourabilité de tout l’espace de travail [Wenger 89]. La technique des cartes de faisabilité peut être utilisée pour résoudre ce problème. Une étude de cette technique est détaillée dans [Chedmail 98].

MANIPULATEURS DE MORPHOLOGIE CUSPIDALE

Il a longtemps été acquis que pour changer de posture, un manipulateur devait franchir une singularité. Ce résultat a été démontré théoriquement par [Borrel 86] en utilisant la notion d’aspect. Une étude faite par [Parenti 88] sur un manipulateur 6R a remis en question cet acquis. [Burdick 88] a prouvé l’inverse de cet acquis pour quelques manipulateurs 3R. Il existe donc d’autres types de manipulateurs appelés manipulateurs cuspidaux qui peuvent changer de posture sans passer par une singularité. D’autres études ont été conduites par la suite sur ce type de manipulateurs [Burdick 91], [Wenger 91], [Smith 93], [Wenger 93], [Wenger 94], [El Omri 95], [Wenger 96] et [Wenger 98].

Définition

Un manipulateur est dit cuspidal s’il peut changer de posture sans passer par une singularité. Ceci veut dire que le changement de posture peut s’effectuer au sein d’un même aspect, qui n’est donc plus un domaine d’unicité de l’opérateur géométrique F. Un manipulateur dont les aspects sont des domaines d’unicité doit nécessairement passer par une singularité pour changer de posture, il est donc non cuspidal. Un manipulateur cuspidal doit avoir des singularités évitables [El Omri 96]. Un manipulateur non cuspidal qui suit une trajectoire continue (lors de la réalisation d’une tâche de soudage à l’arc, par exemple) doit quitter la trajectoire pour changer de posture en allant sur la frontière de son espace de travail. Ce qui n’est pas forcément le cas pour un manipulateur cuspidal si toutes les postures le long de la trajectoire appartiennent à un même aspect.
• Exemple :
Soit un manipulateur à trois articulations rotoïdes dont les paramètres de DHm sont : d2 = 1, d3 = 2, d4 = 1,5, r2 = 1, r3 = 0, α2 = -90° et α3 = 90°, On montre que le point X de coordonnées x = 2,5, y = 0, z = 0,6 dans le repère R0 est accessible selon les 4 postures suivantes (valeurs exprimées en degrés) :
q(1) = (-101,52, -158,19, 104,88)T, q(2) = (-50,92, -46,17, 141,16)T
q(3) = (-164,56, -170,02, -12,89)T et q(4) = 10,13, -22,33, -106,28)T
Dans la Figure 12 et en l’absence de butées articulaires, les singularités divisent le domaine articulaire de ce manipulateur en deux aspects (dont l’un comprend toute la zone non hachurée). On voit que les configurations q(2) et q(3) (respectivement q(1) et q(4)) appartiennent au même aspect. Par conséquent, le passage de q(2) et q(3) (respectivement q(1) et q(4)) se fait sans franchissement de singularités.

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Table des matières

INTRODUCTION GÉNÉRALE
1. CINÉMATIQUE DES MANIPULATEURS SÉRIELS
1.1. Introduction
1.2. Analyse et modélisation cinématique et géométrique des manipulateurs
1.2.1. Mécanismes de type manipulateur
1.2.2. Modélisation cinématique
1.2.3. Espace articulaire et espace opérationnel
1.2.4. Les modèles géométriques direct et inverse
1.2.5. Le modèle différentiel
1.3. Les singularités
1.3.1. Singularités de position
1.3.2. Branches de singularités
1.3.3. Calcul des singularités dans l’espace articulaire
1.3.4. Calcul des singularités dans l’espace opérationnel
1.3.5. Classification des singularités
1.4. Propriétés des manipulateurs
1.4.1. Propriétés d’aspects
1.4.2. Notion de parcourabilité
1.4.3. Manipulateurs de morphologie cuspidale
1.5. Manipulateurs quadratiques et quartiques
1.5.1. Manipulateurs quadratiques
1.5.2. Manipulateurs quartiques
1.6. Manipulateurs binaires et quaternaires
1.6.1. Manipulateurs binaires
1.6.2. Manipulateurs quaternaires
1.7. Manipulateurs génériques et non generiques
1.8. Classes d’homotopie des manipulateurs generiques
1.8.1. Définition
1.8.2. Application : classification des manipulateurs 3R quaternaires génériques
1.9. Liens entre les différentes classes
1.10. Conclusion
2. ÉTUDE D’UNE FAMILLE DE MANIPULATEURS ORTHOGONAUX : CAS r 3 = 0
2.1. Introduction
2.2. Présentation de la famille de manipulateurs étudiée
2.3. Position du problème
2.4. Énumération de quelques méthodes mathématiques pour la résolution des systèmes polynomiaux
2.4.1. Méthode numérique : la continuation
2.4.2. Méthodes algébriques
2.4.3. Méthode retenue
2.5. Classification de la famille de manipulateurs
2.5.1. Classification selon le nombre de points cusps
2.5.2. Classification selon le nombre de nœuds
2.5.3. Synthèse des résultats
2.6. Étude de cas particuliers
2.7. Conclusion
3. ÉTUDE D’UNE FAMILLE DE MANIPULATEURS ORTHOGONAUX : CAS r 3 ≠ 0
3.1. Introduction
3.2. Présentation de la famille de manipulateurs étudiée
3.3. Position du problème
3.4. Classification selon le nombre de points cusps
3.4.1. Présentation des 9 types de manipulateurs correspondants aux 9 domaines
3.4.2. Paragraphe récapitulatif
3.4.3. Liens entre les 9 types de manipulateurs, leurs classes d’homotopie etleur nombre d’aspects
3.4.4. Conclusion
3.5. Classification selon le nombre de nœuds
3.5.1. Topologie d’espace de travail dans le cas r2 < r3
3.5.2. Topologie d’espace de travail dans le cas r2>r3
3.6. Étude de cas particuliers
3.7. Conclusion
4. ANALYSE DES RÉSULTATS DE LA CLASSIFICATION DES MANIPULATEURS 3R ORTHOGONAUX
4.1. Introduction
4.2. Indices de performances
4.2.1. Mesures de dextérité
4.2.2. Indice de performance relatif à l’espace de travail
4.3. Étude du conditionnement
4.3.1. Étude du cas r3 = 0
4.3.2. Étude du cas r3 ≠ 0
4.4. Étude du volume de l’espace de travail
4.4.1. Étude du cas r3 = 0
4.4.2. Étude du cas r3 ≠ 0
4.5. Tableau récapitulatif
4.6. Étude du manipulateur 6R DIESTRO
4.7. Conclusion
CONCLUSION GÉNÉRALE
PERSPECTIVES
BIBLIOGRAPHIE