Endomorphismes continus d’un espace de Hilbert

Endomorphismes continus d’un espace de Hilbert

Dualité et théorème de Représentation de Riesz:

La construction de l’espace dual d’un espace vectoriel topologique est une opération importante dans la mesure où cet espace dual possède de bonnes propriétés quand l’espace initial en possède lui-même. Nous allons voir, comme conséquence du théorème de la projection, que tout espace de Hilbert est isomorphe à son dual (topologique).
Rappelons d’abord quelques propriétés élémentaires valables dans le cadre des espaces vectoriels normés.
Définition : Une forme linéaire continue sur un espace de Hilbert E est une application linéaire L : E → K telle que, quelle que soit la suite (xn) convergente vers x dans E, la suite (L(xn)) converge vers L(x).
L’ensemble des formes linéaires continues sur E est appelé le dual topolo-gique de E et se note souvent E′.
Proposition : Une forme linéaire L sur E est continue si, et seulement si, il existe une constante c telle que |L(x)| ≤ ckxk, pour tout x ∈ E
Démonstration: Il est clair que s’il existe c telle que l’on ait |L(x)| ≤ ckxk pour tout x ∈ E, alors L est continue puisque, si une suite (xn) converge vers x dans E,
|L(x) − L(xn)| = |L(x − xn)| ≤ ckx − xnk → 0, (n → ∞) Inversement, si L est continue l’image réciproque par L de la boule ouverte centrée à l’origine et de rayon 1 est un ouvert de E contenant 0, il existe donc η > 0 tel que kxk ≤ η implique kLxk < 1. Soit x un élément arbitraire de E non nul, l’élément ηkxk−1x a une norme égale à η donc ηkxk−1kLxk < 1 et par suite, pour tout x ∈ E,

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Table des matières

1 Espace de Hilbert
1.1 Propriétés élémentaires et Exemples
1.2 Projection Orthogonale
1.3 Dualité et théorème de Représentation de Riesz
1.4 Bases Hilbertiennes
2 Exemples de bases hilbertiennes
2.1 Approximation uniforme
2.2 Séries de Fourier
2.3 Polynômes de Chebyshev
2.4 Polynômes de Legendre
2.5 Polynômes d’Hermite
2.6 Polynômes de Laguerre
3 Endomorphismes continus d’un espace de Hilbert
3.1 Généralités sur les opérateurs continus
3.2 Exemples d’opérateurs linéaires continus
3.3 Propriétés spectrales des opérateurs continus
3.4 Opérateur adjoint–Opérateur autoadjoint
4 Opérateurs Compacts
4.1 Définitions et Propriétés
4.2 Spectre d’un opérateur compact
4.3 Etude spectrale d’un opérateur compact auto-adjoint
5 Problème de Sturm-Liouville
5.1 Opérateur à Noyau hermitien continu
5.2 Opérateur différentiel du second ordre
5.3 Opérateur de Sturm-Liouville Régulier
5.4 Fonction de Green et Résolvante
5.5 Etude spectrale des opérateurs de Sturm-Liouville
5.6 Etude spectrale de l’opérateur de Bessel