Soutenance mémoire
Concept d’erreur en pollution
Le concept d’erreur en pollution a été l’un des premiers à faire intervenir la notion d’erreur locale. Introduit par Babu˘ska [Babu˘ska et al. 1995] pour les problèmes elliptiques linéaires, il postule que l’erreur de discrétisation dans une zone ω donnée de la structure provient de deux sources distinctes :
– une source locale qui est l’erreur de troncature produite dans ω ;
– une source occasionnée par la discrétisation dans le reste du domaine. Cette dernière erreur, transportée jusqu’à la zone ω, est appelée erreur de pollution.
Qu’est-ce que la viscoélasticité
Mécanisme physique associé D’un point de vue physique, on dit d’un matériau qu’il est viscoélastique lorsqu’il présente, outre un caractère élastique, un caractère visqueux provoquant une évolution mécanique du matériau dépendant du temps. Le double caractère élastique et visqueux peut être associé à une interprétation énergétique :
– l’élasticité est associée à l’énergie emmagasinée par le corps. Il s’agit de son aptitude à retrouver une partie de sa forme initiale après avoir été déformé ;
– la viscosité est associée quant à elle à l’énergie dissipée (sous forme de chaleur) par le matériau après sollicitation. Elle représente la faculté du corps à s’écouler de façon irréversible. Le matériau viscoélastique se retrouve donc dans un état intermédiaire entre le solide de Hooke (purement élastique) et le liquide de Newton (purement visqueux). Il peut être différencié du modèle élastoviscoplastique par le fait que la présence d’écoulement anélastique n’est pas liée à un seuil (le comportement peut ainsi rester linéaire). La viscosité permet d’observer expérimentalement différents phénomènes :
– du fluage pour une sollicitation à contrainte constante σ0 ;
– de la relaxation pour une sollicitation à déformation constante ǫ0 ;
– de l’hystéréris pour une sollicitation cyclique.
Classification des grandeurs physiques
On peut montrer que pour les problèmes d’évolution (viscoélasticité, viscoplasticité, . .) décrits par variables internes, les grandeurs physiques impliquées dépendent plus ou moins, selon leur type, de l’histoire du chargement [Ladevèze et Rougée 1985]. Un point important est que certaines d’entre elles deviennent asymptotiquement indépendantes de l’histoire, et de ce fait ne dépendent que du chargement à l’instant t après une phase transitoire. Prenant pour exemple le cas viscoplastique avec un chargement cyclique, les auteurs montrent que diverses solutions, provenant de conditions initiales différentes, présentent asymptotiquement des caractères communs i.e. certaines quantités propres à ces solutions évoluent selon le même cycle limite. Pour les problèmes de viscoélasticité linéaire que nous considérons, les quantités ne dépendant pas asymptotiquement de l’histoire du chargement sont par exemple la contrainte σ ou le taux de variation ǫ˙pi des variables internes ǫ p i . Par contre, les quantités ǫ p i dépendent de l’histoire.
Intérêts d’une méthode non-intrusive
Les différents exemples donnés dans les Chapitres 3 et 4 ont montré que les bornes d’erreur sur une quantité locale I pouvaient être rendues de très bonne qualité si leproblème adjoint était correctement résolu. Cette résolution n’est pas si évidente à mener en 2D/3D car le chargement localisé du problème adjoint conduit généralement à une solution présentant de forts gradients en espace et en temps. Une première façon de remédier à ce problème a été étudiée précédemment ; elle consiste à raffiner localement (i.e. dans la zone de forts gradients) le maillage spatiotemporel utilisé. Cependant cette méthode est intrusive car elle nécessite un remaillage et le calcul de nouveaux opérateurs pour la résolution. Nous développons ici une technique non-intrusive pour la résolution du problème adjoint [Chamoin et Ladevèze 2007]. Nous entendons par « non-intrusive » que cette résolution va s’appuyer sur le même maillage spatio-temporel Mh ×M∆t que celui utilisé pour la résolution approchée du problème de référence ; ainsi, les mêmes opérateurs pourront être utilisés. Cet objectif est motivé par le fait que le problème adjoint est semblable au problème de référence dans le sens des temps rétrogrades cf. Section 1.2 du Chapitre 3. Les seules données qui sont modifiées entre les résolutions des deux problèmes concernent le chargement. L’idée générale suivie pour mettre en place une méthode efficace et non-intrusive de résolution du problème adjoint consiste à introduire la partie à forts gradients de la solution à l’aide d’un enrichissement de l’espace d’approximation classique éléments finis. De nombreuses méthodes d’enrichissement existent. Citons par exemple :
– les méthodes sans maillage « Element Free Galerkin » (Belytschko), « hp-clouds method » (Duarte), « RKPM » (Liu) dont une revue est donnée dans [Huerta et al. 2004]. Les problèmes associés à ces méthodes sont essentiellement liés à l’intégration et aux conditions limites, imposées par des multiplicateurs de Lagrange.
– les méthodes de Trefftz : pour les composites par exemple, on introduit des fonctions spéciales de problèmes locaux qui reflètent la solution. L’inconvénient est qu’on assure la continuité par des multiplicateurs de Lagrange qui apportent des problèmes de stabilité.La méthode d’enrichissement que nous allons utiliser ici s’inspire de la « Generalized Finite Element Method (GFEM) » initiée par Strouboulis [Strouboulis et al. 2000a]. Dans cette méthode, on introduit des fonctions d’enrichissement dans la base de fonctions d’approximation, à l’aide d’une partition de l’unité associée généralement aux fonctions de forme éléments finis [Melenk et Babu˘ska 1997] ; ceci permet de garder une solution conforme en déplacement. Dans la GFEM, les fonctions d’enrichissement sont construites numériquement en résolvant à l’échelle fine un panel de problèmes locaux ; cette technique fournit une bibliothèque de fonctions « handbook » permettant de traiter des détails structuraux comme les inclusions ou les trou
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Table des matières
Table des figures
Liste des tableaux
Introduction
1 État de l’art sur l’estimation d’erreur dans les calculs par éléments finis
1 Présentation générale de l’erreur de discrétisation
2 Estimation de l’erreur globale
2.1 Les méthodes relatives aux problèmes linéaires de statique
2.1.1 Méthodes basées sur les défauts d’équilibre
2.1.2 Méthodes basées sur les défauts de régularité
2.1.3 Méthodes basées sur l’erreur de comportement
2.1.4 Comparaison des estimateurs
2.2 Les méthodes relatives aux autres types de problèmes
2.2.1 Méthodes reprenant celles des résidus, de lissage ou de l’analyse duale
2.2.2 Méthodes basées sur l’erreur de comportement
3 Estimation de l’erreur locale
3.1 Estimation de l’erreur en pollution
3.1.1 Concept d’erreur en pollution
3.1.2 Mesure de l’erreur en pollution
3.2 Utilisation des techniques d’extraction
3.2.1 Cas des problèmes linéaires de statique
3.2.2 Extension aux autres types de problèmes
3.3 Encadrement direct de l’erreur locale
4 Bilan
2 Erreur en dissipation appliquée aux problèmes de viscoélasticité linéaire
1 Les problèmes de viscoélasticité linéaire
1.1 Qu’est-ce que la viscoélasticité
1.1.1 Mécanisme physique associé
1.1.2 Approche théorique de la viscoélasticité
1.1.3 Différents modèles de viscoélasticité
1.2 Formulation de la viscoélasticité par variables internes
1.2.1 Choix des variables
1.2.2 Les lois d’état
1.2.3 Les équations d’évolution
1.2.4 Quelques remarques
2 Le problème de référence
2.1 Écriture du problème
2.2 Résolution numérique du problème
2.3 Exemples
3 Mise en œuvre de l’erreur en dissipation pour le problème de référence
3.1 Écriture de l’erreur en dissipation
3.2 Construction des champs admissibles
3.3 Calcul de l’erreur en dissipation et propriétés
3.3.1 Calcul
3.3.2 Propriétés
3.4 Résultats numériques
3.4.1 Convergence de l’erreur en dissipation
3.4.2 Influence de la technique de construction des champs admissibles
4 Bilan
3 La méthode d’estimation d’erreur locale pour les problèmes de viscoélasticité linéaire
1 Mise en place de la technique d’extraction
1.1 Traitement de la quantité d’intérêt
1.2 Le problème adjoint
1.2.1 Écriture du problème adjoint
1.2.2 Calcul d’une solution admissible
2 Estimation de l’erreur locale
2.1 Résultat fondamental
2.2 Premières bornes
3 Améliorations de l’encadrement
3.1 Restriction de l’intervalle temporel d’étude
3.2 Introduction de sˆmh
3.3 Raffinement du maillage associé au problème adjoint
4 Résultats numériques
4.1 Performances dues à l’utilisation de sˆm h
4.2 Encadrements en viscoélasticité 1D
4.3 Encadrements en viscoélasticité 2D
5 Bilan
4 Prise en compte des effets d’histoire dans l’estimation d’erreur locale
1 Mise en évidence des effets d’histoire
1.1 Classification des grandeurs physiques
1.2 Influence de l’histoire sur les bornes d’erreur locale
2 Modification de la méthode pour prendre en compte les effets d’histoire
2.1 Nouvelle méthode de majoration
2.2 Calcul de la fonction duale f
2.3 Choix de la fonction de pondération a(t)
3 Résultats numériques
4 Bilan
5 Approche non-intrusive pour la résolution du problème adjoint
1 Intérêts d’une méthode non-intrusive
2 Nouvelle résolution du problème adjoint
2.1 Mise en place de la technique « handbook »
2.2 Calcul des fonctions d’enrichissement
2.3 Écriture du problème à résoudre
3 Obtention des bornes associées
3.1 Construction d’une solution admissible
3.2 Calcul des bornes
4 Résultats numériques
4.1 Exemple 1D
4.2 Exemple 2D
4.2.1 Résultats obtenus avec l’enrichissement 1
4.2.2 Résultats obtenus avec l’enrichissement 2
5 Bilan
6 Extension de la méthode aux quantités d’intérêt ponctuelles en espace
1 Difficultés associées à l’étude de quantités d’intérêt ponctuelles
2 Calcul des fonctions « handbook »
2.1 Les fonctions de Green
2.2 Calcul pour les EDO et EDP simples en 2D
2.2.1 Application pour le laplacien et le double laplacien en 2D
2.2.2 Vérification des conditions limites
2.3 Calcul en élasticité 2D par les potentiels complexes
2.4 Méthode générale de calcul en élasticité 2D et 3D
2.4.1 Présentation .
2.4.2 Cas particulier d’un milieu semi-infini
2.4.3 Généralisation de la méthode
3 Calcul des bornes d’encadrement
4 Résultats numériques
4.1 Estimation de l’erreur sur un déplacement ponctuel
4.2 Estimation de l’erreur sur une variable interne ponctuelle
4.3 Calcul d’un minorant/majorant d’une quantité sur une zone donnée
5 Bilan
7 Estimation de l’erreur de modèle
1 Présentation
2 Démarche d’estimation de l’erreur de modèle
2.1 Idée générale
2.2 Écriture du problème discret en espace
2.3 Calcul des indicateurs d’erreur de modèle
2.3.1 La quantité d’intérêt
2.3.2 Le problème adjoint
2.3.3 Construction des champs admissibles
2.3.4 Calcul des indicateurs d’erreur
3 Résultats numériques
4 Bilan
Conclusion
Bibliographie
Annexe A : Démonstration des égalités fondamentales
Annexe B : Dérivation du problème adjoint pour le problème de viscoélasticité linéaire de référence
Annexe C : Expression de quelques fonctions de Green en élasticité 2D et 3D
Annexe D : Paramètres utilisés pour les simulations numériques
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