En mathématiques : que cherche-t-on ? Comment cherche-t-on ? Daniel Perrin

En mathématiques : que cherche-t-on ? Comment cherche-t-on ? Daniel Perrin

L’auteur est un enseignant chercheur. Ce texte est issu de la transcription d’une conférence à destination d’élèves d’un collège. Il prend appui sur des questions posées par des élèves pour finalement montrer l’utilité des mathématiques et parler de problèmes dont on ne connait pas encore la solution. Il évoque également le métier de chercheur.
Daniel Perrin essaye d’abord de montrer aux élèves que les mathématiques sont utiles, mais il admet que c’est difficile de trouver des exemples adaptées aux élèves. Les mathématiques sont partout, mais souvent cachées : la météo, la physique, l’informatique ou même la génétique. Il explique aussi que certaines notions peuvent sembler inutiles, mais c’est peut-être parce qu’on n’a pas encore trouvé d’applications (comme par exemple les coniques qui semblaient inutiles avant le 17ème siècle ou encore les nombres premiers qui semblaient encore inutiles il y a 50 ans).
Les nombres premiers sont maintenant extrêmement importants, que ce soit pour la communication, la finance ou le domaine militaire entre autres. C’est sur eux que repose la cryptographie qui remonte à l’Antiquité. Plus récemment (1978), le code RSA a été inventé.
Ce code repose sur le fait que produire de grands nombres premiers est beaucoup plus facile que de décomposer un nombre en produit de facteurs premiers ; ce qui est très long et compliqué pour un ordinateur.
Daniel Perrin affirme que beaucoup de questions sont sans réponse en mathématiques. Personne ne connait toutes les mathématiques. Il déclare : « il y a bien plus de choses inconnues que de choses connues ». La plupart des exemples porteront sur l’arithmétique car ce sont les seuls exemples accessibles au collège.
1er exemple :Nombres de Fermat (problème non résolu).
2ème exemple :Constructions à la règle et au compas (problème qui nous vient des Grecs, résolu qu’au 19 ème siècle).
3ème exemple : Peut-on trouver une infinité de dizaines riches contenant 4 nombres premiers ? (non résolu, la calculatrice permet d’explorer le problème, mais pas de le résoudre).
4ème exemple : Y a-t-il une infinité de nombres premiers jumeaux ? (problème datant des Grecs, exploré à l’ordinateur jusqu’à 1015 , mais toujours non résolu).
5ème exemple :Conjecture de Goldbach (1725) « Tout nombre pair autre que 2 peut s’écrire comme somme de deux nombres premiers» (conjecture non encore démontrée, mais vérifiée avec un ordinateur jusqu’à des nombres de l’ordre de 1016 ).
Les ordinateurs et calculatrices sont des outils très puissants, mais ils ne permettent pas de démontrer les choses. Ils peuvent nous aider à voir ce qu’il se passe au début, mais en aucun cas, de démontrer une propriété qui fait appel à des ensembles infinis. Les ordinateurs peuvent même abandonner un problème qui possède une solution, mais hors de portée. Les seuls cas où cela est possible, ce sont pour les problèmes qui peuvent se ramener à une situation qui étudie un nombre fini de cas.
6ème exemple :Est-il possible de colorier une carte de géographie avec quatre couleurs sans que deux pays admettant une frontière commune soient coloriées de la même couleur ? (problème résolu avec ordinateur).
7ème exemple :Suite de Collatz ou de Syracuse. On part d’un entier. S’il est pair, on le divise par 2. S’il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1. On recommence avec le résultat.
Finit-on toujours par aboutir à 1 ? (problème non résolu).
8ème exemple :Les sept problèmes du millenium (problèmes non résolus).
Ensuite, Daniel Perrin nous parle du métier de chercheur. Pour expliquer aux élèves ce que fait le chercheur, il décide de travailler avec les élèves sur un problème et de voir les différentes étapes à réaliser pour aboutir à la solution.
Il y a également des questions sur les problèmes non résolus (Qu’est-ce qui n’a pas été résolu ? Comment les résout-on ? Comment fait-on pour créer des formules ?). Une question sur les programmes est aussi posée : comment s’opère le choix de l’apprentissage des théorèmes ou des connaissances selon les niveaux scolaires ?
C’est ensuite Daniel Perrin qui pose une question aux élèves : « Pour vous, qu’est-ce que le travail d’un mathématicien ? Que fait-il au quotidien ? » Les réponses sont variables, et à chacune d’elles, Daniel Perrin commente rapidement. Une réponse lui a beaucoup plu : « Un chercheur en maths est un homme qui invente des maths, qui invente des problèmes et qui trouve des solutions. Il résout les problèmes mathématiques des autres personnes. »
Puis, une question sur la formation pour être mathématicien est posée. Daniel Perrin décrit les parcours les plus courants. Quelques questions concrètes sur le métier de mathématicien ont aussi été posées : une question financière, une question sur la médaille Fields, une question sur les concours et sur le nombre de mathématiciens dans le monde, une question sur le matériel, puis sur l’emploi du temps d’un mathématicien.
Pour finir, Daniel Perrin répond aux questions personnelles sur son choix des mathématiques, sur sa formation pour devenir mathématicien, sur son sujet de recherche actuel, ainsi que sur son lieu de travail.
En conclusion, par l’échange entre cet enseignant chercheur et ces collégiens, on peut percevoir les difficultés que représente la résolution d’un problème de recherche pour les élèves, en particulier la difficulté de trouver du sens à ce type de tâches, étant donné que les mathématiques ne permettent pas toujours d’accéder à une réponde rapide, évidente ou définitive. C’est pourquoi Daniel Perrin organise son intervention en deux temps : après avoir pris le soin de donner un sens aux mathématiques en s’appuyant sur des exemples relevant de la culture scientifique, il fait le choix de vivre avec ces élèves une expérience de résolution d’un problème de recherche.

Expérimentation menée en classe de 5ème

Après avoir analysé le processus complexe que représente la résolution d’un problème de recherche, notamment grâce à un appui sur des textes issus de la littérature professionnelle et de recherche, nous avons souhaité faire vivre à nos élèves une expérience de recherche commune à la lumière de ces enseignements. Nous disposions de quatre classes de 5ème , qui constituaient donc quatre groupes distincts pour lesquels il nous était possible de faire varier certains paramètres didactiques, afin d’analyser a posteriori leurs rôles dans le processus de recherche. Nous avons donc été amenées à construire une situation d’apprentissage en définissant un sujet et en décidant des paramètres que nous souhaitions faire varier ou non au sein de chaque classe, avant de réaliser l’analyse a priori de notre activité, de l’expérimenter avec nos élèves et d’en effectuer une analyse a posteriori.

Choix du sujet et des paramètres retenus

Nous avons tout d’abord effectué des recherches afin de trouver une situation de recherche pertinente pour cette expérimentation. Daniel Perrin ayant proposé un certain nombre de problèmes pour réfléchir lors de sa conférence, nous avons d’abord pensé à s’inspirer d’un de ses problèmes. Cependant, les problèmes présentés, bien que très intéressants, étaient difficilement réalisables en une seule séance de 55 minutes. Comme nous ne disposions toutes les deux d’aucun créneau de deux séances consécutives, nous ne souhaitions pas effectuer cette situation de recherche sur deux moments disjoints afin de ne pas interrompre la dynamique de recherche de nos élèves.
Nous avons donc continué la recherche de notre sujet d’expérimentation dans les manuels scolaires, sur les sites des IREM, dans les revues du concours Kangourou, etc. Parmi les nombreux problèmes de recherche que nous avons trouvés, l’un d’entre eux a particulièrement attiré notre attention. Il s’agissait d’un problème classique : le dénombrement des diagonales d’un polygone. Nous connaissions déjà ce problème, mais n’avions pas pensé auparavant à le présenter à nos élèves. Issu d’une production du GIPTIC de mathématiques 19 de l’académie de Paris, ce problème était présenté sous l’angle de deux approches différentes : tout d’abord, sous la forme d’une proposition de travail hybride pour des élèves de 6ème, alternant des phases de travail en classe et des recherches à effectuer à la maison à l’aide du logiciel de géométrie dynamique Géogebra, mais aussi, sous la forme d’un problème ouvert «Combien de diagonales possède un polygone à n sommets ? » à partir de la 5ème.
Sous des traits de surface purement géométriques, le dénombrement des diagonales d’un polygone peut s’effectuer selon divers procédés, dont l’efficacité varie en fonction du nombre de côtés du polygone en question : en effet, le raisonnement effectué n’est généralement pas le même pour compter le nombre de diagonales d’un pentagone que pour dénombrer les diagonales d’un chiliogone (polygone à 1 000 côtés).
Ce problème étant classique, nous avons trouvé des articles décrivant la façon dont il est présenté en classe. Traité dès la classe de CM2 lors d’une séance de recherche guidée par la maîtresse , en devoir maison avec un énoncé découpé en plusieurs parties pour une classe de 6ème ou dans le cadre d’une narration de recherche en groupe avec des élèves de 5ème 22 , nous avons pu analyser plusieurs productions d’élèves et observer les différentes possibilités de rédaction de l’énoncé, en fonction des objectifs visés.
N’ayant pas la même progression, nos quatre classes n’avaient pas encore toutes étudié le chapitre portant sur le calcul littéral. Ainsi, nous ne souhaitions pas proposer à nos élèves de 5ème la détermination du nombre de diagonales d’un polygone à n côtés (où n est un entier naturel, n ≥ 3). De plus, cette formulation du problème, bien que reflétant un cas général, nous est apparue comme légèrement réductrice concernant la démarche de recherche : en effet, un polygone à n côtés, pour n non fixé, n’étant pas traçable, il peut être d’autant plus naturel de commencer à tracer des polygones pour différentes valeurs de n, sûrement petites au début, puis de dénombrer les diagonales obtenues afin d’ensuite établir un raisonnement adaptable au cas général. Or, nous voulions que la prise d’initiative et la démarche d’essais-erreurs soient au coeur de notre expérimentation.
Ainsi, nous avons décidé de proposer ce problème à nos élèves pour un polygone dont le nombre de côtés était clairement défini. Après quelques calculs, 100 nous est apparu comme un bon prétendant. Notre choix pour cet entier naturel habitué des élèves s’est encore affirmé quand nous avons appris qu’un polygone à 100 côtés se nommait un hectogone, dénomination qui de plus nous a paru très logique de par son préfixe « hecto», représentant , soit 100. Nous avons donc opté pour l’énoncé suivant : « Combien de diagonales possède un hectogone (polygone à 100 côtés) ?»
Nous avons apprécié la concision d’énonciation de ce problème de recherche, dont la solution ne se dévoile cependant pas à la première lecture, même pour une personne mathématiquement aguerrie. Nous retrouvons ainsi la remarque que Daniel Perrin a fait aux élèves sur les « véritables problèmes de recherche» : « il ne faut pas espérer les résoudre en un instant, mais au contraire, y revenir encore et encore (…) La première qualité d’un chercheur c’est l’obstination » . Jean Julo distinguait quant à lui, deux critères principaux d’une véritable activité de résolution de problème : « d’abord on ne peut pas réaliser le but proposé au moyen d’une application plus ou moins routinière de ses connaissances procédurales, ensuite on trouve soi-même, sans guidage, un moyen de réaliser ce but » .
Le premier critère proposé par Jean Julo est bien vérifié ici par ce problème de recherche, puisqu’on ne pourra se contenter de tracer un hectogone, puis de dénombrer ses diagonales : en effet, tracer un polygone à 100 côtés est déjà fastidieux, mais compter ses 4 850 diagonales l’est encore plus. De plus, l’énoncé du problème n’oriente aucunement les élèves dans une procédure particulière de résolution. Afin qu’ils puissent malgré tout trouver par euxmême une manière de résoudre ce problème, nous avons décidé de les faire travailler en groupe de trois à quatre élèves : « la recherche est souvent une affaire d’équipe » . Afin qu’ils soient de niveau homogène entre eux, ces groupes étaient choisis en amont par l’enseignante. Avec ces groupes de travail, l’idée était que les élèves mettent en commun leurs idées, leurs remarques, leurs résultats, mais aussi leurs questions, motivant ainsi tous les élèves à être acteurs d’une recherche quels que soient leurs profils ou difficultés originels. Ce problème de recherche voulait également être présenté comme un « défi » pour les élèves. Il s’agissait de leur faire comprendre qu’il était normal qu’ils ne sachent pas d’avance comment résoudre ce problème, qu’ils seraient sûrement amenés à essayer des raisonnements qui aboutiraient peut-être à un résultat concluant ou non, qu’ils feraient sûrement des erreurs, mais que dans tous les cas, la clef de la réussite était la persévérance.
Nous avons également choisi de demander aux élèves de rendre à la fin de la séance une feuille par groupe avec les détails de leur démarche. L’évaluation serait axée sur la réflexion, la démarche de recherche et le travail de groupe, et non sur le(s) résultat(s) trouvé(s). Ainsi, l’évaluation pourrait être positive, même si la réponse trouvée au problème n’est pas correcte, dès lors que les démarches sont explicitées et que des traces de recherche sont visibles.
Ces conditions d’enseignement ont pour objectif de ne pas orienter nos élèves dans une procédure particulière de résolution, mais plutôt de les motiver (par la dynamique d’un groupe, par le défi mathématique que représente cet énoncé, par l’idée d’un travail dont l’évaluation est positive) à chercher par eux-même une manière de résoudre ce problème. De par ces choix, nous considérons que notre sujet peut être assimilé au sens de Daniel Perrin et de Jean Julo à un « véritable » problème de recherche, permettant à nos élèves d’adopter une posture de chercheur.

Analyse a priori

Avant d’expérimenter notre situation de recherche avec nos élèves, nous avons défini les objectifs de l’activité et les compétences travaillées, détaillé les différentes procédures de résolution possibles, mais aussi évoqué les difficultés anticipées et les aides envisagées pour la conduite de l’activité en classe.

Objectifs de l’activité et compétences travaillées

Pour les élèves, l’objectif de cette activité est de trouver le résultat, c’est-à-dire le nombre de diagonales d’un hectogone. Cependant, en tant qu’enseignantes, notre objectif est différent : il s’agit de développer la compétence « Chercher » chez nos élèves grâce à ce problème de recherche.
Nous nous assurons alors que les élèves développent la compétence « Chercher» car pour réaliser ce type de tâches, il faudra que les élèves décomposent eux-mêmes le problème en sous-problèmes et fassent des tests afin d’avancer dans la résolution.
Par ailleurs, le travail sur la compétence « Chercher» est rarement une action isolée ; son développement s’accompagne souvent pour les élèves d’un travail sur d’autres compétences.
Ainsi, notre sujet sur les diagonales de l’hectogone permet de travailler la compétence « Chercher», mais aussi les compétences « Raisonner» et « Communiquer» de nos élèves.
Le tableau suivant regroupe plus concrètement les compétences que nous souhaitons faire travailler à nos élèves lors de cette situation de recherche.

Procédures possibles

Beaucoup d’élèves pourraient être désemparés ou effrayés à la lecture de l’énoncé du problème. En effet, un polygone à 100 côtés est difficilement représentable que ce soit mentalement ou sur un schéma. Certains pourraient même mettre en doute l’existence d’un tel polygone ; le rappel de la définition d’un polygone permettrait d’ôter cette interrogation. Les 27 élèves ne pourraient pas utiliser directement la stratégie du comptage, qui reviendrait à dessiner le polygone, ainsi que ses diagonales, puis de compter ces dernières. Il est possible que certains élèves se lancent dans une telle tâche, qu’ils ne finaliseront cependant pas en raison de sa durée relativement longue. Il est cependant à noter que cette première procédure, bien que monotone et peu efficiente, permettrait bien de trouver le résultat souhaité, sous réserve de ne pas se tromper lors de la représentation d’un hectogone et du dénombrement de ses diagonales.
A la suite de cela, les élèves pourraient vouloir chercher les nombres de diagonales de polygones qui leur sont plus familiers à 4, 5, 6, 7 ou 8 côtés par exemple. L’objectif serait ensuite de trouver un raisonnement logique entre les différents nombres de diagonales trouvées pour ces polygones. L’avantage pour les élèves de tester sur des polygones possédant un petit nombre de côtés est qu’il serait possible de les tracer, puis de construire et dénombrer leurs diagonales. Si les élèves pensent à tester pour des polygones possédant un petit nombre de côtés pour essayer de dégager une conjecture générale, ils auraient déjà réussi une partie du problème et seraient bien engagés pour la résolution du problème de l’hectogone.
Pour les élèves ayant déterminé le nombre de diagonales d’un polygone en étudiant la construction de ses diagonales, deux procédures peuvent être déduites.
Nous avons pu observer une première procédure dans des copies d’élèves de CM2 de 28 l’académie de Rennes, qui ont traité la question «Combien de diagonales a un polygone ?».
Pour répondre à cela, les élèves ont tracé des polygones, et compté le nombre de diagonales après les avoir tracées. Pour être sûrs de ne pas en oublier, certains élèves ont tracé d’une même couleur toutes les diagonales qui partent d’un même sommet.
Tout d’abord, les élèves doivent faire le lien entre le nombre de côtés d’un polygone et son nombre de sommets. En effet, les informations données dans l’énoncé concernent le nombre de côtés d’un polygone, mais les élèves utilisant cette procédure seront amenés à raisonner sur ses sommets. Dans un polygone, il y a autant de côtés que de sommets. Pour fixer les idées, notons le nombre de côtés (et donc de sommets) d’un polygone.
Les élèves peuvent construire les diagonales de ce polygone de la façon suivante : du premier sommet considéré partent – 3 diagonales (on ne peut pas tracer de diagonale en provenance des deux sommets voisins et du sommet de départ). Du deuxième sommet considéré (qui est un sommet voisin du sommet précédent) partent également – 3 diagonales. On considère les sommets de voisin en voisin. Pour le troisième sommet considéré, il y aura – 4 diagonales partant de ce sommet, puis – 5 pour le quatrième sommet considéré, etc. Cela vient du fait que certaines diagonales sont déjà tracées ; il serait donc inutile de les tracer à nouveau et même incorrect de les dénombrer une nouvelle fois.

Difficultés anticipées et aide envisagées

Les problèmes pour chercher soulèvent fréquemment de nombreuses difficultés chez les élèves. L’objectif principal de ce type de tâches est de leur apprendre à chercher, mais (où est le nombre de diagonales d’un polygone à côtés) Dn aussi de savoir ce qu’ils savent et à quoi sert ce qu’ils ont appris. Cependant, on connaît mieux ce qu’on sait quand cela a un nom, comme le théorème de Pythagore par exemple.
Ainsi, il est possible que les raisonnements effectués précédemment sur les problèmes de serrage de mains ou d’échanges de cadeaux n’aient pas été pleinement assimilés par nos élèves. Le réinvestissement de ces procédures de résolution et leur adaptation à ce nouveau problème de recherche ne sont donc pas assurés.
De plus, à la lecture de cet énoncé, les élèves peuvent s’interroger sur l’utilité de cette situation de recherche. En dehors du défi mathématique que cela représente, ils peuvent se questionner sur l’intérêt réel de connaître le nombre de diagonales d’un hectogone, polygone qui est d’ailleurs très peu utilisé dans la vie quotidienne. Pour reprendre Daniel Perrin répondant aux élèves sur l’utilité des mathématiques, nous pourrions dire que « la réponse est à la fois facile : les maths, ça sert partout, et difficile, car il n’est pas évident de donner des exemples qui se situent [au niveau des élèves ] » . Dans notre cas, une application possible de connaître le nombre de diagonales d’un polygone est liée à la représentation sous forme de graphes. Que ce soit pour les réseaux sociaux, le commerce ou la construction de nouvelles routes, il peut être utile de savoir combien de connexions seraient nécessaires pour que tous les éléments soient reliés deux à deux entre eux, sachant que chacun est déjà relié à deux éléments voisins, formant ainsi un cycle. Dans la théorie des graphes, on dirait que tous les sommets sont adjacents et on qualifierait alors le graphe de complet.
Nous avons anticipé certaines difficultés que pourraient rencontrer nos élèves face à cette situation de recherche, mais aussi prévu des aides. Il est important pour nous que nos élèves puissent chercher et trouver par eux-mêmes des procédures de résolution, mais l’objectif n’est pas non plus de les démotiver, en les laissant bloqués face à une difficulté. De plus, l’activité étant programmée sur une séance de cours de 55 minutes, il pourrait être parfois judicieux de ré-orienter certains groupes engagés dans une procédure de résolution, qui ne pourrait aboutir. Nous avons donc préparé des aides, en essayant de respecter le plus possible les critères d’une aide « performante » , qui selon Jean Julo, ne doit contenir aucun indice sur la solution, ne doit pas orienter vers une procédure de résolution et qui ne doit suggérer aucune modélisation du problème.
Le premier coup de pouce envisagé est d’aider les élèves à se questionner sur ce qu’ils proposent. En effet, c’est un bon réflexe d’effectuer des tests et d’émettre des conjectures, mais pour ne pas qu’ils fassent des conclusions trop hâtives, il est important de savoir également prendre du recul et essayer d’adopter une posture réflexive. Par exemple, si un groupe propose une conjecture en n’ayant testé sur qu’un seul polygone et en demandant à l’enseignante s’il s’agit de la bonne réponse, on peut alors conseiller à ces élèves de tester avec un autre polygone pour confirmer ou réfuter leur conjecture. Ce conseil est autant pertinent que la proposition des élèves soit juste ou fausse car il est important qu’ils vérifient par eux-même leur proposition.
Le problème de recherche que nous avons choisi appartient à une classe d’exercices où les outils de validation et de contrôle des résultats sont parfois difficiles à déceler. Ainsi, face à un résultat, il peut être compliqué pour les élèves de savoir si celui-ci est correct ou non.
Effectuer le même raisonnement pour un polygone, dont le nombre de diagonales est cette fois-ci connu, est un moyen dont dispose les élèves afin d’évaluer leurs tentatives. Nous avions également pensé à la notion d’ordre de grandeur comme feedback du milieu pour permettre aux élèves de contrôler leurs résultats, mais après réflexion, cette piste nous semble trop complexe et confuse pour nos élèves de 5ème.
La deuxième aide envisagée est destinée aux élèves essayant de tracer un hectogone, ainsi que ses diagonales. Il s’agit de valoriser leur procédure en mettant en évidence qu’elle permettrait bien d’obtenir le résultat souhaité. Il est cependant possible que les élèves trouvent d’eux-même que cette résolution est laborieuse, voire impossible sur une simple feuille de papier pour un hectogone. Il s’agit alors d’insister sur le fait que cette méthode serait par contre tout à fait réalisable pour d’autres polygones, dont le nombre de côtés est moins élevé par exemple. Le fait de mettre en avant les avantages de leur procédure pour un faible nombre de côtés peut les inciter à essayer avec d’autres polygones à 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10 côtés par exemple. Les élèves peuvent également se sentir valorisés d’avoir trouvé par eux mêmes une méthode intéressante, même si son utilisation initiale n’était que peu pertinente.

Table des matières
Introduction
I- Les problèmes de recherche : un processus complexe de résolution
a) Une pratique déjà existante qui fait naître des questions
b) … auxquelles la littérature permet d’apporter des réponses
II- Expérimentation menée en classe de 5ème 
a) Choix du sujet et des paramètres retenus
b) Analyse a priori
c) Déroulé effectif
d) Analyse a posteriori
Conclusion
Bibliographie
Annexe

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