Emission thermo-ionique assistée par effet de champ contrôlée et claquage sous vide avec des impulsions nanosecondes

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Théorie de l’émission électronique sous l’effet du champ et de la température

Dans cette section, nous allons dans un premier temps évoquer le modèle de Sommerfeld, modèle développé pour décrire le comportement des électrons dans un métal. Ce modèle simple est à la base de nombreux modèles d‟émission développés depuis. Dans un second temps, la distribution en énergie des électrons dans le métal sera évoquée. La température du métal affectant la distribution énergétique des électrons, cela a pour conséquence de permettre plus facilement l‟émission d‟électrons confinés dans le métal. Après, l‟effet du champ électrique sur la barrière de potentiel à la surface du métal sera décrit et présenté. Ce résultat permettra de déterminer, par la suite, la probabilité de sortie d‟un électron du métal sous l‟effet du champ électrique. Tous ces éléments permettront d‟en déduire un modèle d‟émission thermo-ionique sous l‟effet du champ électrique, qui sera décrit dans une cinquième sous-section. A partir de là, le calcul de la distribution énergétique des électrons émis permettra de calculer l‟énergie de Nottingham, différence d‟énergie entre l‟énergie moyenne des électrons émis et l‟énergie des électrons dans le métal.

Description des électrons dans le métal : modèle de Sommerfeld

La théorie de Sommerfeld [20] permettant de décrire les propriétés des électrons d‟un métal est très souvent utilisée par les modèles développés pour décrire l‟émission Dans cette théorie, le métal est formé d‟un gaz d‟électrons qui correspondent à une partie des électrons dans le métal, les électrons conducteurs (présent dans la bande de conduction), et un réseau d‟ion. Le reste des électrons sont des électrons de valence et contribuent à la cohésion des atomes voisins. Entre deux collisions, les électrons conducteurs n‟interagissent pas entre eux, c‟est l‟approximation des électrons indépendants.
L‟interaction des électrons avec les ions est modélisée par un potentiel attractif constant dans le métal : les électrons sont piégés dans ce puit de potentiel.
Dans un métal, à température nulle, les électrons occupent des niveaux d‟énergie allant jusqu‟au niveau d‟énergie maximal, appelé niveau de Fermi εF , suivant le principe de Pauli. Le travail de sortie ϕ est défini comme la différence entre le niveau de Fermi et le niveau du vide. L‟énergie en bas de la bande de conduction est égale à WC. Si le métal est excité thermiquement, les électrons gagnent une énergie suffisante pour occuper des énergies supérieures, au dessus du niveau de Fermi, tout en restant prisonniers du métal. Si ce gain en énergie est supérieur au travail de sortie du métal, les électrons peuvent sortir librement du métal, c‟est l‟émission thermo-ionique ou la thermo-émission. Une autre manière d‟émettre des électrons est d‟exciter des électrons dans le métal par des photons à une énergie suffisante : c‟est l‟émission photo-électrique, décrit par Einstein. Il existe une troisième manière d‟émettre des électrons : si le champ électrique est suffisamment intense (>GV/m), la barrière de potentiel est abaissée et amincit et les électrons peuvent quitter le métal par effet tunnel ou en passant au-dessus de la barrière, c‟est l‟émission de champ. Ces différents types d‟émission sont représentés sur la Fig. 2-2.
Une comparaison de la densité d‟état obtenue pour le cuivre en utilisant le modèle de Sommerfeld et la méthode des liaisons fortes [23], représentés sur la Fig. 2-6., montre un bon accord entre les modèles pour des énergies proches du niveau de Fermi. Dans ce cas, le modèle de Sommerfeld convient pour décrire les propriétés électroniques des électrons du métal. Dans le cas du tungstène (Fig.2-5b)), le modèle de Sommerfeld diffère fortement de la densité d‟état du tungstène.

Barrière de potentiel dans un métal

Dans le cas d‟une surface plane, Fowler et Nordheim [7,24] ont été les premiers à essayer de déterminer la modification de la forme de la barrière de potentiel sous l‟action d‟un champ électrique.
Le calcul du potentiel « vu » par un électron localisé devant la surface peut se faire à l‟aide de la méthode des images afin de faire apparaître la surface métallique comme étant une équipotentielle. A ce potentiel ainsi obtenu en absence de champ électrique il faut ajouter le potentiel lié à l‟existence d‟un champ macroscopique résultant du dispositif expérimental global envisagé.
La Fig. 2-7 représente l‟effet du champ électrique sur la barrière de potentiel. Pour un champ électrique faible (0.1 GV/m), la largeur de la barrière peut être considérée comme infinie, les électrons du métal ne peuvent pas s‟échapper du solide par l‟effet tunnel. Quand le champ électrique augmente, la hauteur et l‟épaisseur de la barrière diminuent. Pour un champ électrique de 10 GV/m, le sommet de la barrière de potentiel s‟est abaissée de 4 eV et la largeur de la barrière fait moins de 1 nm.
Dans le cas d‟objets nanométriques, tels que les nanotubes de carbone ou des nanoparticules, la surface ne peut plus être considérée comme plane et il est nécessaire de prendre en compte les effets de courbure de surface [25-27]. L‟expression de la barrière de potentiel est alors exprimée, en prenant en compte les effets de courbure : R correspond au rayon de courbure de l‟objet nanométrique et E représente le champ électrique à la surface de l‟objet nanométrique. La Fig. 2-8 montre la variation de barrière de potentiel pour un champ électrique E à la surface égal à 5 GV/m. L‟épaisseur de la barrière augmente lorsque le rayon de courbure diminue mais la hauteur de la barrière ne varie pas beaucoup suivant le rayon de courbure.
Les effets de courbures affectent donc la probabilité de sortie des électrons par effet tunnel. D‟autres modèles ont été développés, visant à obtenir une forme plus précise de l‟énergie potentielle électronique aux abords du métal ont été proposées. Ils utilisent notamment la théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT pour Density Functional Theory)[28] en vue de proposer une forme auto-cohérente de l‟énergie potentielle. On peut citer les travaux de Lang et al. [29] qui ont proposé, en absence de champ un modèle auto-cohérent (Schrödinger-Poisson) ou ceux de Jennings et al. [30] qui ont proposé une expression interpolée (et auto-cohérente) de l‟énergie potentielle devant la surface.
A et B sont des constantes calculées pour que la fonction soit continue et continument dérivable en z0.
Les valeurs de U0, λ et z0 sont des constantes qui dépendent de la nature de l‟électrode.
D‟autres modèles de ce type ont été développés pour décrire la barrière de potentiel en présence d‟un champ électrique [31-34]. Dans la suite du document, nous nous plaçons dans le cas où ces effets nanométriques sont négligeables et nous appliquons la théorie des surfaces planes, valable à des échelles micrométriques.

Calcul de la transparence.

Connaissant la forme de la barrière de potentiel, la probabilité de sortie d‟un électron du matériau en fonction de son énergie, appelé aussi transparence ou coefficient de transmission, peut être déterminée.
Pour déterminer le coefficient de transmission, il est nécessaire de résoudre l‟équation de Schrödinger (équation 1). Nous nous plaçons dans le cas stationnaire pour une surface semi-infinie. Le problème devient donc 1D.
Le domaine (métal et vide) se divise en trois zones :
La zone 0, dans le métal, la fonction d‟onde est représentée comme la superposition d‟une onde incidente et d‟une onde réfléchie.
La zone 2, dans le vide, où la fonction d‟onde est représentée comme une onde transmise
La zone 1, « dans la barrière de potentiel », où l‟équation de Schrödinger est résolue.
Dans notre cas, au lieu d‟utiliser une forme analytique, les intégrales elliptiques présentes dans l‟expression de v(y) de Murphy et Good ont été calculées numériquement [40]. Pour des y supérieures à 0.3, les valeurs de v(y) obtenues numériquement sont plus proches des valeurs tabulées que les valeurs analytiques de Forbes [41]. Pour des y inférieures à 0.3, les valeurs obtenues numériquement s‟éloignent des valeurs tabulées. Cependant, les faibles valeurs de y correspondent aux électrons se situant au bas de la bande de conduction et intervenant rarement dans l‟émission électronique. Cette erreur pour les faibles valeurs de y est donc négligeable.
Le coefficient de transmission pour différents champs électriques est représenté sur la fig.2-10. Pour un faible champ électrique (0.1 GV/m, sur la Fig.2-10 en rouge), seuls les électrons qui sont proches de l‟énergie du vide peuvent sortir du métal. Pour des énergies inférieures à -1eV, la probabilité de sortie de l‟électron chute et est nulle. Quand le champ électrique augmente, la transparence de la barrière augmente. Pour un champ électrique de 1 GV/m, représentée en noir, la probabilité de sortie des électrons augmentent pour des énergies plus faibles car la barrière de potentiel diminue et s‟amincit.
D‟autres modèles de détermination de la transparence ont été développés. En particulier, Testé et al. [35] ont déterminé la transparence en résolvant cette fois-ci, l‟équation de Schrödinger 1D stationnaire en utilisant la méthode de Numerov [41] et non plus en utilisant les solutions de l‟équation WKB. Une comparaison des deux modèles d‟émission sera effectuée dans la section suivante.
Récemment, des calculs de transparence en résolvant l‟équation de Schrödinger 3D stationnaire en utilisant l‟approximation BKW sur une pointe elliptique ont été réalisés par Kyrtisakis et al. [42] et ont montré pour un champ électrique fixé à la surface de la pointe, une diminution de la zone d‟émission effective quand le facteur d‟aspect (rapport entre la hauteur de la pointe H et le rayon à la base de la pointe Rb) de la pointe elliptique augmentait.

Expression de la densité de courant émise par effet de champ

Connaissant les variations de la distribution énergétique des électrons suivant la température du métal et les variations de la transparence en fonction du champ électrique, une expression de l‟émission thermo-ionique assistée par effet de champ peut être déterminée.

Effet du champ électrique et de la température sur la densité de courant émise

A titre d‟exemple, la Fig. 2-12 représente les variations de la densité de courant électronique en fonction de la température et du champ électrique respectivement pour le titane qui a un travail de sortie égal à 4.3. (fig.2-12.a) et le tungstène qui a un travail de sortie égal à 4.5 (fig.2-12.b). Les densités de courant électroniques sont représentées jusqu‟aux températures de fusion de ces deux
matériaux (1930 K pour le titane et 3700 K pour le tungstène). Ces variations sont fortement nonlinéaires.
Par exemple, Dans le cas du titane, pour un champ électrique égal à 1×109 V/m, la densité de courant varie de huit ordres de grandeurs entre 1000 K et 1930 K. Cette densité de courant varie, pour une température fixée, fortement avec le champ électrique : pour une température égale à 1000 K, la densité de courant varie de quinze ordres de grandeurs entre 1×109 V/m et 1×1010 V/m. Dans le cas du tungstène, il est possible d‟atteindre des températures plus élevées car la température de fusion est plus élevée. Les variations de densité de courant sont donc encore plus importantes : pour un champ électrique de 1×109 V/m, entre 1000 K et 3700 K, la densité de courant varie de 12 ordres de grandeurs.

Table des matières

Chapitre 1 : Introduction générale
Chapitre 2 : Théories et Modèles
2.1. Théorie de l‟émission électronique sous l‟effet du champ et de la température
2.1.1. Description des électrons dans le métal : modèle de Sommerfeld
2.1.2. Distribution énergétique des électrons
2.1.3. Barrière de potentiel dans un métal
2.1.4. Calcul de la transparence.
2.1.5. Expression de la densité de courant émise par effet de champ
2.1.6. Effet du champ électrique et de la température sur la densité de courant émise
2.1.7. Energie de Nottingham
2.2. Modélisation de l‟émission électronique d‟une pointe
2.2.1. Modèle multi-physique
2.2.2. Maillage
2.2.3. Renforcement local du champ électrique
2.2.4. Exemple de résultats obtenus avec le modèle en DC
2.2.4. Comparaison des modèles d‟émission électroniques
2.2.5. Contribution de l‟effet Nottingham au chauffage de la pointe.
2.3. Effet de la charge d‟espace sur l‟émission électronique
2.3.1. Modèle d‟estimation de la charge d‟espace
2.3.2. Extrapolation du modèle de charge d‟espace stationnaire en régime de tension pulsée à la nanoseconde
2.3.3. Limites du modèle en régime de tension pulsée
2.4. Conclusions
Chapitre 3 : Emission thermo-ionique assistée par effet de champ contrôlée et claquage sous vide avec des impulsions nanosecondes
3.1. Effet des impulsions nanosecondes de tension sur l‟émission thermo-ionique assistée par effet de champ
3.2. Influence de la géométrie
3.3. Influence de la durée et de la forme de l‟impulsion de tension
3.4. Influence du matériau de l‟électrode
3.5. Effet de la charge d‟espace sur la tension de claquage et l‟émission de courant
3.5.1. Effet de la charge d‟espace sur la tension de claquage et émission électronique en DC64
3.5.2. Tension de claquage et émission électronique durant une impulsion électrique de 3 ns68
3.6. Conclusions
Chapitre 4 : Photo-émission assistée par un champ électrique.
4.1. Rappel historique et bibliographique
4.2. Rendement quantique
4.2.1. Modèle de Spicer
4.2.2. Limites du modèle de photo-émission assisté par effet de champ
4.2.3. Quelques résultats préliminaires
4.2.4. Effet Nottingham pour des électrons photo-excités
4.3. Photo-émission et chauffage du métal pour des pulses laser de l‟ordre de la picoseconde
4.3.1. Validité de la distribution de Fermi-Dirac à l‟échelle de la picoseconde
4.3.2. Modèle à deux températures
4.3.3. Conservation du courant
4.3.4. Maillage
4.3.5. Comparaison entre la puissance associée au champ électrique dans le métal (effet Joule) à la densité de puissance du laser
4.3.6. Effet du flux associé à l‟effet de Nottingham sur le chauffage des électrons
4.3.7. Effet du coefficient d‟absorption sur le chauffage.
4.3.8. Effet de la conductivité thermique des électrons sur le profil de température
4.4. Résumé
Chapitre 5 : Résultats concernant l‟émission électronique sous l‟effet d‟un laser picoseconde
5.1. Emission électronique pour un champ électrique fixe et pour différentes densités surfaciques de puissance d‟un laser picoseconde
5.2. Régimes d‟émission électronique en fonction du champ appliqué et de la densité surfacique du laser.
5.3. Conclusions
Chapitre 6 : Dynamique des microparticules dans le claquage sous vide
6.1. Effet des microparticules sur la tension de claquage
6.2. Origines des microparticules
6.3. Modèle d‟interaction entre un faisceau d‟électron et une microparticule : dynamique de la MP dans l‟espace inter-électrodes
6.3.1. Distribution du champ électrique dans l‟espace inter-électrodes
6.3.2. Distribution de courant électronique dans l‟espace inter-électrodes
6.3.3. Charge initiale de la MP.
6.3.4. Section efficace d‟interaction électron-MP
6.3.5. Pouvoir d‟arrêt des électrons et chauffage de la MP
6.3.6. Emission secondaire des électrons
6.3.7. Emission thermo-ionique assistée par effet de champ de la MP
6.3.8. Résumé
Chapitre 7 : Comportement des microparticules sous haute tension et irradiation électronique : rôle des microparticules dans le claquage sous vide.
7.1. Trajectoire d‟une microparticule de rayon RMP=10.μm
7.2. Différent scénarii pour la dynamique de la MP
7.3. Variations de l‟émission électronique quand la MP collisionne avec la pointe
7.3.1. Changement de l‟émission par effet de champ quand une MP rentre en collision avec la pointe
7.3.2. Chauffage de la pointe après une collision avec la MP
7.4. Conclusions
Chapitre 8 : Conclusions et perspectives
8.1. Conclusions générales
8.2. Perspectives
Bibliographie

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