Éléments propres et polynômes d'endomorphismes

Éléments propres et polynômes d’endomorphismes

Diagonalisation en dimension finie

Définition

On dit que l’endomorphisme u est diagonalisable s’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u soit diagonale. La matrice A ∈ Mn(K) est dite diagonalisable si, et seulement si, elle soit semblable à une matrice diagonale.

Théorème

Les conditions suivantes sont équivalentes :
L’endomorphisme u est diagonalisable.
Il existe une base de E formée de vecteurs propres de u .

Théorème

L’endomorphisme u de E est diagonalisable si, et seulement si, l’espace E est somme directe des espaces propres Eλ(u) pour λ ∈ sp(u)

Théorème

L’endomorphisme u est diagonalisable si, et seulement si, le polynôme caractéristique de l’endomorphisme u est scinde´e et la multiplicité´e de chaque valeur propre est égale à la dimension de l’espace propre associé.

Exemple :

Soit p une projection, alors le polynôme R = X(X − 1) est un polynôme annulateur de p, or R est scinde a racines simples donc p est diagonalisable.

Cordiagonalisation

Proposition

Soient u et v deux endomorphismes diagonalisables de L(E) qui commutent. Alors il existe une base commune de diagonalisation.

Trigonalisation

Définitions

On dit qu’un endomorphisme u de E est trigonalisation s’il existe une base de E dans laquelle sa matrice est triangulaire supérieure. Une matrice A de Mn(K) est dite trigonalisation si l’endomorphisme correspondant de Kn est trigonalisation, c’est-`a-dire si A est semblable `a une matrice triangulaire supérieure

Théorème

Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel de dimension finie. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
u est trigonalisation.
le polynôme caractéristique χ de u est scindé

Preuve

Le polynôme caractéristique de u est le polynôme caractéristique de la matrice de u dans une base quelconque. Si u est trigonalisation, on peut choisir une base dans laquelle la matrice de u est triangulaire supérieure.
Montrons par récurrence sur l’entier m > 1 que tout endomorphisme scinde v d’un espace vectoriel F de dimension m est trigonalisation. Pour m = 1 , le résultat est vrai, supposons que le résultat est vrai `a l’ordre m − 1, montrons que le résultat est vrai `a l’ordre m

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Table des matières

Introduction

1 Réduction des endomorphismes
1.1 Sommes de sous-espaces, sommes directes
1.2 Calculs matriciels par blocs
1.3 Éléments propres et polynômes d’endomorphismes
1.4 Lemme des noyaux
1.5 Théorème de Cayley-Hamilton
2 Diagonalisation en dimension finie
2.1 Orthogonalité
2.2 Diagonalisation des matrices symétriques
2.3 Diagonalisation des matrices normales
3 Trigonalisation
3.1 Définitions
3.2 Endomorphismes nilpotents
3.3 La décomposition de Dunford
3.4 Réduction de Jordan
4 Application dans des problèmes mathématiques
4.1 Calcul de puissance d’une matrice
4.2 Application a l’exponentiel d’une matrice
4.3 Application aux suites récurrentes
4.4 Systems différentiels
Conclusion
Bibliographie