éléments pour une classification des jeux à l’usage des enseignants de mathématiques

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Un cadre didactique pour parler du jeu dans l’apprentissage des mathématiques

Pour notre travail de recherche, nous orienterons notre regard selon deux cadres théoriques, proches mais néanmoins différents : d’une part nous travaillerons avec les travaux de N. Pelay (2011) sur la dialectique jeu/apprentissage des mathématiques, et notamment à travers la manière dont il formule le concept de situation adidactique dans le cadre d’une activité de jeu. Par ailleurs, nous nous emploierons également à prendre en considération les travaux effectués sur les différentes représentations mentales employées et leur lien avec l’activité mathématiques. Nous nous référons principalement aux travaux de Fernando Hitt (2013) à ce sujet.
N. Pelay s’appuie sur la Théorie des Situations Didactiques (TSD) de G. Brousseau pour développer une analyse didactique de l’utilisation du jeu dans un contexte d’apprentissage non scolaire. Selon lui, l’activité de jeu place l’élève dans une situation adidactique, c’est à dire une situation où le savoir visé est maintenu privé par le maître, et l’apprenant agit de son propre mouvement pour entrer en relation avec ce savoir. Selon Brousseau, la situation adidactique est une « situation où la connaissance du sujet se manifeste seulement par des décisions, par des actions régulières et efficaces sur le milieu et où il est sans importance pour l’évolution des interactions avec le milieu que l’actant puisse ou non identifier, expliciter ou expliquer la connaissance nécessaire » (Brousseau, 2003). Comme le remarque N. Pelay, cette définition du « paradigme des situations adidactiques » semble avoir de nombreuses caractéristiques communes avec le concept de jeu tel que défini précédemment (action des joueurs, règle, frivolité, incertitude).
Par ailleurs, nous rejoignons l’approche de F. Hitt quand à son approche des représentations dans la construction des connaissances mathématiques. Tout d’abord, Hitt essaie d’introduire dans le cadre de la didactique des mathématiques le concept d’habitus selon Bourdieu (1980, p88-89) : « Les conditionnements associés à une classe particulière de conditions d’existence produisent des
habitus, systèmes de dispositions durables et transposables, structures structurées prédisposées à fonctionner comme structures structurantes, c’est à dire en tant que principes générateurs et organisateurs de pratiques et de représentations qui peuvent être objectivement adaptées à leur but sans supposer la visée consciente de fins et la maîtrise expresse des opérations nécessaires pour les atteindre, objectivement « réglées » et « régulières » sans être en rien le produit de l’obéissance à des règles, et étant tout cela, collectivement orchestrées sans être le produit de l’action organisatrice d’un chef d’orchestre. » Ce concept nous interpelle à deux titres : d’une part comme la place d’un habitus de classe (au sens social) qui est institué dans la situation micro-sociale de la classe (au sens scolaire) : les présupposés de la relation didactique hérité de la pratique culturelle de l’école par les élèves tout au long de leur vie, ainsi que par le capital culturel spécifique à la culture scolaire et qui est réparti de manière hétérogène dans une classe de 35 élèves de seconde générale. Par exemple, à travers l’accompagnement personnalisé, il nous est permis de mettre en place des temps qui réorganisent la structure d’ « heure de cours » et permettent ainsi de remettre en question ces habitus de classe qui peuvent être un frein à certains processus d’apprentissage. L’autre intérêt de la transposition de ce concept, qui est intéressant théoriquement mais nous ne pourrons que l’effleurer dans notre travail, est justement le questionnement de ce qui s’établit comme transformation des habitus de la classe scolaire à travers changement de paradigme didactique qui peut s’opérer dans ces temps d’accompagnement personnalisé (relation et interaction entre les élèves, posture et relation avec l’enseignant, …) En ce qui concerne plus spécifiquement le registre des représentations telles qu’abordées par Hitt, nous retiendront le fait que, comme Hitt le mentionne à propos de l’approche de Duval, certains registres de représentations « transitoires », sont délaissés par Duval et constituent pourtant un terreau significatif dans la construction des représentations finales des idées mathématiques par les élèves. Dans le cadre de séance de pratique et d’analyse du jeu, nous nous appuierons sur le fait que pour parler et analyser des objets ludiques, les élèves ne disposent a priori d’aucun registre de représentation institué. La construction des représentations nécessaires à l’analyse et à l’expression attendue à propos des jeux se fera donc indépendamment des habitudes construites en classe de mathématiques.
Pour conclure, nous insisterons sur le fait que la dialectique jeu / apprentissage que nous nous emploierons à travailler s’appuiera sur 3 sources d’interactions structurantes des représentations de l’élève : d’une part la relation de jeu qui s’opère entre l’élève, le jeu et les autres élèves, et qui constitue un espace d’opération et d’expérimentation des représentations (hypothèses stratégiques et applications) ; ensuite la relation qui s’opère entre les élèves sous la forme du débat pour confronter les analyses et les hypothèses relatives au jeu et à ses stratégies ; et enfin, la confrontation à l’objectif de projet qui nécessite ainsi une forme exprimable des représentations et des analyses effectuées précédemment.

Game design / Ingénierie didactique, même combat ?

Un dernier concept nous paraît pertinent pour parler des jeux dans le contexte de l’apprentissage des mathématiques. Il s’agit d’un concept utilisé tant par G. Brougère dans son analyse des ludicités, que par les concepteurs de jeu vidéo comme angle de vue particulier sur l’expérience vécue par le joueur : il s’agit du concept de flow ou d’expérience optimale, au sens de M. Csíkszentmihályi (1990), ou tout du moins de certaines de ses caractéristiques.
Jenova Chen (2011) reformule brièvement le concept de flow et traduit ce concept pour le game design de jeux vidéos : « Selon la recherche bien documentée de Mihaly Csikszentmihalyi et le rassemblement à grande échelle d’observations personnelles, la phénoménologie du Flow comporte huit points majeurs :
1. Un challenge qui requiert des compétences
2. La fusion de l’action et de la conscience
3. Des objectifs définis
4. Un ressenti direct
5. La concentration sur la tâche à accomplir
6. La sensation de contrôle
7. La perte de conscience de soi
8. La transformation du temps
Ces composants ne sont pas tous nécessaires pour que le Flow soit éprouvé. [Csikszentmihalyi 1990]
Une fois que nous avons digéré les composants ci-dessus et les avons revisités avec une perspective de game design, voici les trois éléments fondamentaux qu’un jeu vidéo se doit d’avoir avant d’évoquer l’expérience du Flow.
1. Comme prémisse, le jeu est intrinsèquement gratifiant, et le joueur est prêt à jouer au jeu.
2. Le jeu offre un montant correct de challenges pour correspondre à la capacité du joueur, qui lui permet de plonger profondément dans le jeu.
3. Le joueur a besoin d’éprouver une sensation de contrôle personnel au cours de l’activité de jeu. »
Ces différentes caractéristiques du flow sont à observer en lien avec les caractéristiques des situations d’apprentissage, notamment des situations d’apprentissage des mathématiques. Il me semble que les points les plus en lien avec une démarche pédagogique sont 1 (un challenge qui requiert des compétences), 3 (des objectifs définis), 5 (la concentration sur la tâche à accomplir), 6 (la sensation de contrôle). Si les autres points peuvent être importants, ils nous semblent difficilement utilisables pour la conception d’activité pédagogiques. Au regard de ce concept, situation de jeu et situation d’apprentissage peuvent avoir des corrélations pertinentes et utilisables.
De ce concept d’expérience optimale, nous retiendrons par ailleurs que l’expérience optimale s’établit dans une situation d’équilibre entre les compétences de l’individu et les contraintes imposées par la situation. Ainsi, si les contraintes sont trop importantes par rapport aux compétences mobilisables, l’individu se retrouve dans une situation d’anxiété et n’est donc pas dans cette situation d’optimalité de l’expérience. Inversement, si les contraintes de la situation sont trop faibles par rapport aux compétences mobilisables par l’individu, alors l’individu se trouve dans la zone d’ennui. Dans notre contexte d’apprentissage des mathématiques, nous identifierons deux points essentiels qui établissent les frontières des zones d’ennui et d’anxiété dans le cadre des jeux dans l’apprentissage mathématique. Un jeu à règles nécessite d’une part des compétences nécessaires pour jouer au jeu. Dans notre contexte de jeux à composantes mathématiques, nous étudierons précisément les compétences mathématiques nécessaires pour pouvoir jouer au jeu. Il s’agit des compétence pré-requises pour pouvoir jouer convenablement au jeu et avoir un sentiment de prise de décision dans la pratique de ces jeux (ne pas s’en remettre entièrement au hasard par exemple). Ne pas disposer des compétences nécessaires à un jeu, c’est se trouver dans la zone d’anxiété : les contraintes de la situations sont trop fortes par rapport aux compétences mobilisables. De l’autre côté, il y a la zone d’ennui, que nous qualifierons également de zone de sortie du jeu. Dans le cadre d’un jeu réglé, cette zone d’ennui est atteinte lorsque le jeu est résolu, lorsque l’incertitude a été déterminée, quel que soit le raisonnement mathématique mis en place pour cela. On parlera alors des conditions suffisantes à la sortie de jeu. Un jeu résolu n’est plus un jeu, c’est l’application d’une règle de calcul, d’un algorithme. Ce qui va donc nous intéresser dans notre relation entre jeu et apprentissage des mathématiques, c’est que les apprenants fassent un mouvement depuis la zone située entre ennui et angoisse (la zone potentiellement « optimale ») vers la frontière de résolution du jeu. Une fois cette frontière atteinte, le jeu a été analysé et cesse d’être un jeu, si cette zone est atteignable. Et dans le cadre d’apprentissage des mathématiques, il peut être intéressant qu’elle le soit.

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Les critères de ludicité

Nous pouvons comprendre le lien entre jeux et mathématiques à l’aune d’un des critères de définition des situations ludiques selon G. Brougère : l’incertitude. Une situation de jeu est nécessairement une situation dont l’issue est incertaine à priori. Les jeux à règles étant définies comme un système formel, l’analyse mathématique d’un jeu vise à prévoir, à réduire, cette incertitude pour le joueur qui a pu effectuer cette analyse du jeu. En utilisant les deux catégories de R. Caillois que nous avons retenu, l’Alea et l’Agon, nous pouvons à la fois comprendre les spécificités ludiques de ces deux types et les raisonnements qu’ils mobilisent pour les joueurs. Les jeux de type Agon sont des jeux d’affrontement. Ceux qui nous intéressent sont les jeux dans lesquels cet affrontement relève des compétences logico-mathématiques des joueurs (ces jeux sont parfois appelés jeux de stratégie). Pour ces jeux, l’issue est de déterminer un vainqueur parmi les joueurs. Ce vainqueur sera celui qui aura mobilisé avec le plus de succès ses compétences logico-mathématiques. Identifier et réduire l’incertitude de ce type de jeu consiste à effecteur principalement des raisonnements stratégiques souvent par étude de cas et par des suppositions sur le comportement des autres joueurs.
Les jeux de type Alea sont des jeux de « soumission au monde ». Les joueurs s’en remettent au « destin », au « hasard ». L’incertitude de l’issue vient de cette réalisation du hasard. L’issue de ces jeux est plus généralement de déterminer si le joueur participant est gagnant ou perdant. Les raisonnements effectués sur ce type de jeux conduisent bien souvent à une estimation des risques gains/pertes et par conséquent à une décision de type « participer au jeu / ne pas participer au jeu »
Les critères de ludicité de G. Brougère observés à l’aune de notre approche « jeu, mathématiques et apprentissages » :
Incertitude : comme nous venons de le dire, les jeux sont à priori fortement incertains. C’est à dire que l’issue est imprédictible. L’enjeu principal de l’analyse mathématique des jeux est justement de réduire cette incertitude en construisant une prédictibilité des jeux, ou tout du moins de certains jeux. Le raisonnement mathématique appliqué au jeu permet de partir d’un stade où l’incertitude est maximale et se dirige vers un stade où, dans l’idéal le jeu est résolut et où l’incertitude a été entièrement écartée.
Règle du jeu : pour les jeux que nous observons, les règles de jeu sont explicites. Ce caractère explicite des règles est une condition nécessaire à l’étude mathématique que l’on peut faire. Ces règles permettent de définir le système formel au sein duquel nous pouvons raisonner pour déterminer des stratégies.
Décision : le jeu suppose et nécessite des décisions de la part du joueur. La première décision est la décision d’entrée dans le jeu. D’autre part, le jeu évolue en fonction des décisions effectuées par les joueurs. Dans le cadre de jeux de pur hasard, la décision relève généralement de l’entrée ou non dans le jeu par l’estimation du risque (calcul d’espérance, calcul de probabilités, …). Dans le cadre de jeux de stratégie, ce caractère de décision est fondamental puisque c’est ce caractère que nous tendrons à optimiser à travers un raisonnement.
Second degré : le second degré est une composante importante et difficile à prendre en compte pour les jeux à visée d’apprentissage, notamment dans un contexte de classe. En effet, le second degré suppose une séparation de la réalité ordinaire, un « faire-semblant » important, qui n’est absolument pas naturel en classe. Dans quelle mesure est-il possible de proposer des situations « extra-ordinaires » en classe ? La question est posée et nous en ébaucherons quelques lignes. Mais ce sujet est vaste et nous ne prétendrons pas le résoudre ici. La situation d’apprentissage scolaire relève de cadres du second degré dans les apprentissages. L’entraînement à des activités, à travers des exercices, des situations d’apprentissages, place l’apprenant dans des situations de faire-semblant, des situations qui n’ont pas d’impact sur le réel. On retrouve donc également ce rapport à la frivolité.
Frivolité : la frivolité du jeu, c’est ce que l’on associe souvent à son caractère gratuit, improductif. Ce qui est important à voir dans ce caractère de frivolité, c’est le fait que l’issue du jeu n’est pas très grave, le jeu est relativement sans conséquence. On a ici une zone frontière et discutable. Les conséquences des jeux pouvant être discutées, ainsi que la nature de jeu ou de non-jeu lorsque les issues ne sont plus inconséquentes. A priori, l’issue d’une partie, le gagnant ou le perdant, ne change rien au monde en dehors du jeu. Chacun rentre chez soi inchangé (si ce n’est d’avoir eu le plaisir de jouer). Cette dimension d’improductivité peut être questionnées d’abord dans le cadre des jeux d’argent. Gagner ou perdre, qui n’a pas d’impact en soi tant sur la vie ordinaire que sur les parties suivantes du jeu, en a beaucoup plus lorsque de l’argent est en jeu. Mais dans ces jeux, si de l’argent, ou n’importe quelle quantité s’avère changer de main, le jeu en lui même reste improductif, il ne crée ni bien, ni richesses. Un autre question qui peut être posée au regard de ce critère dit d’ « improductivité », c’est le rapport qu’il peut avoir à l’apprentissage. Les objectifs pédagogiques supposant une production de savoir, de connaissances ou de compétences, chez l’apprenant. Un jeu pédagogique ou éducatif est-il dès lors frivole ?

Jeux de loisir, jeux pédagogiques et récréations mathématiques

Pour affiner notre réflexion sur les jeux, nous dégagerons une première typologie des objets ludiques que nous pouvons rencontrer et utiliser dans le contexte de l’apprentissage des mathématiques. Nous identifierons d’abord trois grandes familles dans les jeux qui nous intéressent : les jeux de loisir, les jeux pédagogiques et les récréations mathématiques. Il y a également des objets mathématiques un peu curieux qu’il nous faudrait analyser en détail pour savoir comment les catégoriser : il s’agit d’activités de type manipulation de fractales ou jeu de la vie de Conway.
Les jeux dits de loisir sont ceux que l’on qualifierait naturellement de jeux : qu’ils soient traditionnels ou contemporains, ce sont avant tout des activités de loisir, sans aucun objectifs spécifiques. Ces jeux de loisir se jouent à partir de deux joueurs et, pour ceux qui relèvent principalement des compétences logico-mathématiques, leur résolution exhaustive (déterminer à l’avance l’issue de la partie) est très difficile voire impossible. C’est d’ailleurs la difficulté de résolution de ces jeux qui les maintien dans ce statut même de jeu. On peut voir par exemple que le jeu de la bataille (le jeu de cartes) n’est un jeu que pour les enfants. Lorsque ces mêmes enfants comprennent qu’ils n’ont aucune influence sur le jeu et que celui-ci est entièrement déterminé dés la distribution des deux paquets de cartes, alors ils arrêtent de jouer à ce jeu, il perd son statut de jeu. Il est important de bien comprendre que cette résolution des jeux fait sortir ces objets ludiques de la famille des jeux. C’est un sujet et un débat d’actualité comme on a pu le voir avec les programmes informatiques champions d’échecs ou de Go. Lorsque ces jeux complexes deviennent résolus, ils perdent de leur statut et de leur intérêt. Il n’y a plus de défi à surmonter, il y a une frontière tangible à la perspective de progression. Mais avant d’en arriver là, la question qui nous intéresse est : est-ce que les élèves produisent ou apprennent des mathématiques en jouant à ces jeux ? Cela ne nous semble à priori pas évident. Par contre, ils manipulent des notions mathématiques. Certaines des notions manipulées sont intrinsèquement en lien avec le jeu. En premier lieu, les nombres et grandeurs, mais parfois également des notions de positions relatives, de distances, de dénombrement. Dans les jeux, ces notions sont utilisées de manière intuitives et ne sont presque jamais formulées. Lorsqu’elles le sont, c’est généralement lorsqu’elles sont parfaitement maîtrisées, comme par exemple en jouant au jeu de l’oie, dire que l’on fait 3 et 4 et que l’on avance de 7, c’est l’expression de l’addition mais parce qu’elle est devenue naturelle, évidente. Elle peut être formulée de manière plus découpée (compter les points sur les dés, compter sur les doigts) lorsque la compétence est en cours d’apprentissage, mais dans la plupart des cas ce type de mouvement d’apprentissage, d’entraînement, de pratique d’un savoir mathématique est relativement absent. Dans un jeu avec du hasard, l’évaluation du risque, que l’on pourrait formellement analyser avec les outils probabilistes, est généralement abordée uniquement de manière intuitive par les joueurs. Des raisonnements sont mis en place, mais il est peu fréquent que ces raisonnement soient exhaustifs et rigoureux. Il s’agit la plupart du temps d’une estimation, d’une intuition.4 Il en va de même dans le cadre des raisonnements stratégique par étude de cas et dénombrement des situations possibles. Les joueurs sont nécessairement limités par leurs capacités cognitives et le temps imparti qui ne leurs permettent pas d’évaluer les n prochains coups possibles dans toutes les configurations envisageables. Les joueurs usent de leur propre crible heuristique pour effectuer leur choix. Heuristique dont, à priori, nul d’autre que le joueur n’a connaissance. La constitution et l’usage de ce crible heuristique, que ce soit sous l’approche probabiliste comme sous l’approche combinatoire, est-ce une activité mathématique ? Sans explicitation et sans publication, il est difficile d’en juger. Il nous semble donc intéressant de dire qu’exprimer ces raisonnement de recherche de stratégie, de prise de décision, et les échanger et les confronter avec d’autres est par contre une activité qui peut relever des mathématique. Le fait de formuler est une condition nécessaire pour que l’on puisse évaluer ou non si il s’agit d’une activité mathématique. De plus, c’est le fait de formuler ses raisonnement qui permet également cet ajustement permis par les conflits socio-cognitifs effectués avec d’autres joueurs, avec d’autres apprenants. C’est d’ailleurs une activité que l’on constate dans les processus d’apprentissages de nombreux jeux « compétitifs », ou jeux à apprentissage, comme par exemple les échecs ou le go (analyse de parties, décomposition stratégique ou tactique de différentes situations de jeu). On en arrive à décrire une activité qui nous semble intéressante à étudier d’un point de vue de l’apprentissage des mathématiques. Si jouer à un jeu est une activité qui peut être questionnable du point de vue de l’apprentissage des mathématiques, il n’en va pas de même pour cette autre activité qu’est l’analyse des jeux. Il convient de préciser qu’analyser un jeu n’est pas jouer. Tout comme étudier le solfège n’est pas jouer de la musique On peut étudier un jeu sous différentes approches. L’approche que nous mentionnions précédemment est celle d’une analyse stratégique, qui est sûrement la première à laquelle on pense en terme d’approche mathématiques. L’analyse stratégique, en effet, est sûrement la plus structurée et la plus formalisable en terme d’analyse mathématique. C’est également elle qui a été la plus étudiée par les mathématiciens à travers l’histoire. Une analyse stratégique rigoureuse nécessite un formalisme qui peut devenir très complexe. Mais établir une stratégie gagnante ou une stratégie forte à un jeu nécessite cette formulation. Un joueur ne peut pas s’assurer une stratégie gagnante sans avoir étudier rigoureusement les différents cas possibles, sans avoir dénombrer et étudier les positions et les comportement possibles. L’intuition n’est alors plus suffisante pour permettre une généralisation et le raisonnement mathématique devient inéluctable. Qui plus est, la formulation de la stratégie gagnante ou forte doit pouvoir s’exprimer de manière calculatoire, algorithmique, opérable. Elle doit pouvoir être transmissible. Toutes ces conditions plaident en faveur d’une activité mathématique forte. Il conviendrait d’ajouter que, en dehors de jeux très simples, la plupart des jeux de loisir auxquels nous pouvons jouer ne sont pas analysables exhaustivement. Et heureusement, car sinon ils perdraient vraisemblablement leur statut de jeu.

Prémisses d’une classification

Quelques critères importants permettent de décrire un jeu et alors d’identifier à quel classe il peut se rattacher et dés lors à quel approche mathématique il peut se rattacher : Le premier critère que nous retenons est la distinction entre jeux de hasard, jeux de stratégie ou jeux mixtes. La distinction entre ces différents types est la nature des modifications de l’état du jeu. Dans un jeu de stratégie, l’évolution du jeu ne dépend que des décisions des joueurs. Dans un jeu de hasard pur, l’évolution du jeu ne dépend que d’une expérience aléatoire. Dans un jeu mixte, ces deux processus d’évolution cohabitent. Les jeux de hasard purs font intervenir des raisonnements probabilistes pour leur analyse. Les jeux de stratégie font intervenir des raisonnements déductifs pour leur analyse. Les jeux mixtes font intervenir des raisonnements des deux types pour leur analyse. Nous n’entrerons pas dans les détails de la théorie des jeux ici et des différentes formes de représentation des jeux ainsi que des différents types de stratégies dominantes.
La question fondamentale qui se pose avec les jeux dans le cadre de l’apprentissage des mathématique est « sur quoi se fondent les décisions des joueurs dans le jeu ? ». L’objectif pour un apprentissage des mathématiques précis est que ces décisions découlent d’un raisonnement mathématique. Pour pouvoir identifier comment les décisions d’un joueur sont prises, il convient de se demander également combien de décisions différentes le joueur peut-il faire ? Tout d’abord ces différentes décisions sont à séparer en plusieurs niveaux. Par exemple dans une partie du jeu d’échec, la décision de jeu d’un joueur est d’une part de choisir une pièce (niveau 1) puis de choisir le déplacement de cette pièce (niveau 2). Dans un jeu de type Nim, le joueur doit choisir dans quel tas prendre des allumettes (niveau 1) puis combien d’allumettes il va prendre (niveau 2). Plus le jeu comporte de niveaux décisionnels, plus il va être difficile à analyser. Par ailleurs, certains jeux vont nécessiter au joueur d’effecteur des décision différentes sur le même niveau. Par exemple jouer deux cartes de sa main, ou bien déplacer deux pièces sur un plateau. Ces différentes décisions se situent sur le même niveau hiérarchique.
Les compétences nécessaires du jeu : il s’agit des compétences que doivent maîtriser les joueurs pour pouvoir effectuer une décision qui ne relève pas du hasard. Ces compétences peuvent être d’ordre numérique (comparaison de grandeurs, compétences calculatoires, …), d’ordre géométrique (position relative de différents éléments, distance, configurations du plan, …), d’ordre probabiliste ou statistique (résultats possibles d’un lancer de dé ou d’un tirage de carte, …). Un joueur qui ne dispose pas de ces compétences ne peut pas jouer au jeu. Quelques exemples précis de compétences nécessaires (avec quelques jeux nécessitant ces compétences) : Opérations algébriques (addition, multiplication, division, soustraction) => jeu de l’oie, jeu de Nim, puissance 4 des multiplications
Comparaison de grandeurs (supérieur, inférieur) => stupide vautour, croc, …
Position relative de deux objets (par exemple distance entre deux pions sur un plateau) => neutron,
dames, quorridor, …
Identification de configurations géométriques => blocus, puissance 4, quarto, pylos, …
Les compétences mathématiques permettant de construire une stratégie pour ce jeu : il s’agit des outils mathématiques dont dispose un joueur pour effectuer une analyse du jeu et ainsi dégager des comportements plus favorables que d’autres. Ces coutils conceptuels peuvent être des outils statistique, des modèles probabilistes, des outils de représentation de type arbres ou tableaux, ainsi que la capacité discursive à établir une disjonction des cas. Les jeux mobilisent par ailleurs bien souvent des raisonnement par récurrence puisque les tours de jeu sont souvent des itérations d’une même procédure. Pour beaucoup de jeux, les raisonnements stratégiques ne doivent pas nécessairement viser une résolution exhaustive du jeu, ce qui est une activité mathématique difficile, mais peut consister en un raisonnement sur des cas particuliers d’un jeu ou sur des composantes réduites d’un jeu.
Raisonnement probabiliste (calcul d’espérance, calcul de probabilité d’occurrence d’un événement favorable, …) => Las Vegas, Fermer la boîte, 10000, …
Raisonnement combinatoire (identifier les différents cas de figure possible, représentation sous forme d’arbre, …) => quarto, jeu de Nim, neutron, quorridor, …
La recherche de stratégie pour différents jeux va dépendre fortement des mécaniques de jeu. Il convient donc de préciser au moins quelques grandeurs importantes à prendre en compte et quelques descripteurs pour les mécaniques de certains jeux.
Dans les jeux de hasard, on peut identifier plusieurs types de générateurs de hasard. En partant des jeux de dés, on peut déterminer quelques catégories de jeux de hasard en sa basant sur l’inventaire des jeux de dés par R. Knizia : jeux de chance pure, jeux de mise, jeux de score, jeux de combinaison et jeux de bluff.
Pour les jeux de stratégie, de nombreux critère avant même les éléments de mécanique de jeu sont à prendre en compte. Ces différents critères sont issus en grande partie des travaux effectués en théorie des jeux combinatoires, notamment à partir des travaux de John H. Conway (1976) :
– Le nombre de joueurs : à 2 joueurs ou à plus de deux joueurs (existence ou non de coalition, typologie des structures sociales)
– L’asymétrie des positions : est-ce que les différents joueurs sont dans des situations identiques ou équivalentes, ou au contraire ont-il des objectifs de jeux et des options fortement différentes
– Jeux impartiaux et jeux partisans : les jeux impartiaux sont des jeux où les deux joueurs ont exactement les même options. Un jeu de dames ou d’échecs est partisan car un joueur ne peut déplacer que les pions blancs, tandis que l’autre ne peut déplacer que les pions noirs : ils n’ont pas les mêmes options.
– Jeux à observation complète ou à observation incomplète : les deux joueurs n’ont pas forcément accès à tous les états possibles du jeu, ils ne savent peut être pas dans quel état est le jeu. Dans un jeu à observation incomplète, certaines informations sont publiques mais d’autres sont privées et tous les joueurs n’y ont pas accès.
– Jeux à fin déterminante ou à fin non-déterminante : dans certains jeux, le fait de finir le jeu donne la victoire au joueur qui termine (ou la défaite), tandis que dans d’autres jeux, finir le jeu ne donne pas le gagnant immédiatement : il faut procéder à un décompte quelconque : ce sont d’autres critères qui établissent le joueur victorieux ou le joueur perdant.
– Jeux à position : les joueurs disposent de marqueurs ou de pions qui sont disposés sur un plateau, qu’il s’agisse d’une ligne (comme au backgammon) ou d’un plan (comme aux dames), et les positions relatives des pions sont déterminantes pour l’état et les issues du jeu.
– Pions attribués / non-attribués : dans certains jeux, les pions sont définitivement attribués à un joueur donné (dames, échecs), dans d’autres jeux, ce n’est pas le cas (othello, awalé).
– Jeux à actions successives ou jeux en simultané : les actions des joueurs sont elles effectuées l’une après l’autre ou bien sont-elles effectuées de manière simultanée ?
Nous ne terminerons pas cet inventaire des caractéristiques complètes à prendre en compte pour choisir et utiliser un jeu dans une perspective d’un apprentissage spécifique en mathématiques, nous identifions uniquement certains caractères qui nous semblent pertinent à prendre en compte pour une ingénierie didactique basée sur l’utilisation du jeu. Ces prémisses de classification ne sont
à prendre que pour ce qu’ils sont, c’est à dire des prémisses, des lignes générales qui nous semblent pertinentes et intéressantes mais qui ne sont, à l’heure actuelle pas encore suffisamment affinée et mises en place dans une stratégie globale d’apprentissage des mathématique pour pouvoir être établies avec conviction.

utiliser le jeu en contexte scolaire

Différentes manières d’aborder le jeu

Analyser des jeux

L’analyse des jeux est une activité qui, lorsqu’elle est effectuée de manière rigoureuse, est foncièrement d’ordre mathématique. Définir l’ensemble des cas possibles, identifier et formaliser les situations perdantes ou gagnantes, sont des activités mathématiques. Il convient de rappeler qu’analyser un jeu ce n’est pas jouer à ce jeu. Il est néanmoins nécessaire, pour pouvoir analyser un jeu et ainsi se positionner en stratège, d’avoir précédemment joué à ce jeu pour comprendre le sens stratégique et avoir des prémisses de réflexion, pour avoir de la matière permettant de nourrir cette analyse. En effet, chacun, quel que soient ses compétences d’analyse stratégique, joue à un jeu en essayant autant que possible d’effectuer les décisions qui lui permettront de gagner. Ces décisions sont généralement intuitives et non formalisées. Elles sont effectuées de tête, et leur pertinence va dépendre de l’adéquation entre les capacités du joueur et la difficulté du jeu. On retrouve donc ici un parallèle avec cette notion d’expérience optimale agonistique. Disposer d’un bon prémisse pour l’analyse d’un jeu, c’est d’avoir proposé et fait jouer à un jeu où les joueurs se sont trouver dans des situations proches de cette expérience optimale de concentration pour une analyse stratégique.
Être dans cette zone d’optimalité cela veut dire que les joueurs ont identifié et su maîtriser les éléments de jeu à leur disposition, ont su effectuer des études de cas, des projections et des anticipations sur les coups suivants, ont su se construire des représentations mentales cohérentes qui constituent nécessairement une base pour pouvoir ensuite verbaliser et formaliser un travail sur le jeu. Cela veut également dire qu’ils ont de la matière à partager avec les autres élèves et l’on peut vraisemblablement disposer de situations de débat et d’échanges intéressants. Qui plus est, les modes de raisonnement et de représentation d’un jeu sont multiples et on peut donc voir et identifier différents registres de représentation (séquentiels, sous formes de tableaux, d’arbres, de graphes, de phrases, de schémas, etc.).
Être dans cette zone d’optimalité agonistique présente également un autre avantage fondamental : la résolution du jeu n’est pas atteinte. Dans ce cas, il est donc pertinent de proposer ensuite en temps de recul, un autre temps qui va permettre de pousser au bout cette réflexion en changeant d’outil et de point de vue. Pour résoudre le jeu, on va effectuer un travail mathématique, un travail d’analyse stratégique, qui va permettre de conclure l’expérience vécue en amenant (on non) à une résolution plus poussée du jeu. Nous faisons également l’hypothèse qu’il n’est pas systématiquement nécessaire que l’analyse stratégique résolve entièrement le jeu. Cela peut être le cas sur certains exemple de jeux (jeux combinatoires, jeux de hasard), surtout lorsque cela est possible, mais rapidement des jeux parfois avec des règles très simples ne peuvent être résolus (ne serait-ce que le Go ou le jeu de Hex), et il ne faut pas s’interdire de travailler avec ces jeux. En effet, ils sont eux même source de travaux importants en mathématiques et en informatique, et il nous semble tout à fait pertinent de cultiver la curiosité et l’intérêt mathématique des élèves avec ce type de jeu. Et réaffirmons que non-résolus ne veut pas dire qu’il n’y a rien à dire et à analyser sur ces jeux. Qui plus est, travailler uniquement avec des jeux dont on peut trouver des stratégies optimales peut inciter à penser que le seul intérêt des jeux est de les résoudre et que les seuls jeux qui vaillent en mathématique sont les jeux pour lesquels ont peut effectuer une résolution. Hors, comme nous le disons, les jeux résolus perdent leur statut de jeu. Nous nous devons donc d’ouvrir vers des jeux qui le sont encore.

Concevoir ou modifier des jeux

Une autre activité qui peut avoir tout son sens dans le cadre de la classe de mathématique mais que nous ne détaillerons pas ici est la conception ou la modification de jeux. Concevoir un jeu, c’est savoir manier le langage et les objets élémentaires utilisés pour les jeux (tour de jeu, cartes, dés, pions, etc.) et savoir les agencer de manière à formuler un ensemble de règles cohérentes et qui recouvrent les différents cas de figure possible. De plus, la conception d’un jeu permet de faire un lien entre un langage formel (celui des règles du jeu) et une expérience réelle (jouer au jeu). Cela permet une rétroaction rapide et permet donc au concepteur de jeu de modifier et d’ajuster ses règles de jeu. Les élèves peuvent ainsi, en concevant un jeu, se voir confrontés au fait que leur jeu peut être trop dur, trop facile, ennuyant, etc.
Mais ce travail de conception est un travail de longue haleine qui nécessite une mise en place transdisciplinaire et pourrait, par exemple, faire l’objet d’un EPI au collège.

Modéliser des jeux

La modélisation d’un jeu de société est une activité qui peut être très intéressante et gratifiante à la fois pour la représentation en abstraction d’un jeu et à la fois comme activité d’algorithmique. Nous retiendrons qu’effectuer une modélisation d’un jeu est tout à fait pertinent dans le cadre de l’apprentissage de l’algorithmique et de la programmation. Programmer un jeu ou dispositif ludique est d’ailleurs mentionné dans les programmes pour l’apprentissage de l’algorithmique, apprentissage qui va s’étendre au collège et en primaire à partir de la rentrée 2016. Modéliser un jeu nécessite des capacités de représentation et de formalisation fortes. Pour résumer et faire ressortir quelques notions fondamentales pour les éléments nécessaires à la modélisation d’un jeu, voici un bref inventaire vraisemblablement non-exhaustif :
– Identifier les grandeurs en jeu et les variables nécessaires : modéliser un jeu c’est trouver une manière de formaliser des grandeurs qui ont une existence physique en une existence algébrique. Par exemple la position d’un pion sur un plateau, ou bien encore le nombre d’allumettes dans un tas, etc. Qui plus est, il faudra distinguer dans ces variables celles qui sont des variables d’environnement (par exemple le nombre de cases du plateau) de celles qui sont des variables dynamiques évoluant au cours du jeu (par exemple le nombre d’allumettes restantes dans un tas)
– Identifier les choix possibles pour chaque joueur : il est nécessaire ainsi de procéder à une étude de cas, à dénombrer proprement les possibilités offertes mais également sur quelles variables est-ce que l’on agit. Il sera également important d’identifier les coups impossibles et ainsi d’avoir un minimum de gestion d’erreur.
– Identifier les boucles et les structures conditionnelles : un jeu se déroule généralement en une répétition de séquences similaires et procède à disjonctions de cas en fonctions de certaines circonstances. Les boucles et structures conditionnelles sont généralement très présentes dans ce type de programme, et il est important d’identifier comment les placer, où les faire commencer et comment les faire terminer.
Nous conclurons sur ce bref panorama de l’implémentation de jeux avec deux points qui nous semblent important à aborder. D’une part il convient de reconnaître qu’il n’y a jamais une seule façon d’implémenter un jeu et que des choix différents sont fait par chaque développeur, qu’il soit apprenant ou professionnel. La pratique et l’apprentissage permettant d’obtenir des techniques et des simplifications des programmes, mais il est très rare qu’il y ait une seule solution optimale. D’autre part, l’implémentation d’un jeu sous forme informatique est une démarche qui peut être très intéressante en complément d’une démarche d’analyse du jeu et ce pour au moins trois raisons. D’une part, modéliser le jeu nécessite de se le représenter formellement et donc d’en avoir une représentation différente de celle que l’on a pu avoir en jouant simplement et matériellement à ce jeu. Ensuite, le fait de disposer d’une forme informatique d’un jeu permet d’effectuer des simulations plus rapidement, voir d’en effectuer à la chaîne et ainsi répéter un grand nombre de fois un jeu pour en faire une analyse statistique. Enfin, la programmation d’un jeu et l’analyse des comportements stratégiques peut permettre de concevoir un programme qui mette en place une stratégie dans un jeu, ce qui conduit à l’élaboration des prémisses calculatoire d’une « intelligence artificielle », enter guillemets car le terme n’est pas forcément le plus pertinent.

Réflexions sur l’utilisation du jeu en contexte scolaire à travers 3 expérimentations en classe de seconde

Le jeu du « lièvre et la tortue » en classe, activité de recherche pour introduire les probabilités

Les probabilités sont une partie de l’enseignement des mathématiques dans le secondaire qui se prête le plus naturellement à l’utilisation de certains types de jeu. En effet, comme dit précédemment, l’histoire même des probabilités repose sur une analyse de situations issues de jeux de hasard. Qui plus est, les objets générateurs de hasard les plus communément rencontrés et utilisés dans les énoncés sont des objets issus des jeux : roues, fléchettes, mais surtout dés et cartes. Bien évidemment les jeux mentionnés dans ces exemples sont exclusivement des jeux de hasard pur, c’est à dire des jeux sans décision opératoire du joueur à l’intérieur du jeu. Au mieux, la question posée est de savoir si il vaut mieux joueur ou ne pas jouer, ou sur quelle issue il est préférable de parier.
Une des raisons principales qui amène à utiliser le jeu et les générateurs aléatoires issus du domaine du jeu est que ces générateurs aléatoires sont les objets permettant des situations d’équiprobabilités les plus communément partagés par les élèves (et les mathématiciens). Et qui plus est, ils disposent d’un nombre d’issues dénombrables.
Utiliser le jeu et ses objets présente également un intérêt fondamental pour l’apprentissage des mathématiques et pour permettre aux élèves de se construire un sens des probabilités, une représentation des grandeurs manipulées, parfois intuitives parfois contre-intuitives.
L’énoncé du jeu que nous avons proposé est donné dans l’annexe 1
Les élèves disposaient de dés pour effectuer des essais et des expérimentations du jeu. La consigne, qui était de réaliser un écrit donnant un compte-rendu de la recherche effectuée (dans le registre des narrations de recherches), a été travaillé avec ces élèves au cours de différents travaux de recherche tout au long de l’année. Les élèves travaillent par groupes de 2 ou 3.
Au regard des critères de ludicités exposés précédemment dans le cadre des jeux pour l’apprentissage des mathématiques, notre analyse de cette activité est la suivante :
Agon / Alea : il s’agit d’un jeu de hasard pur sans décision du joueur et se classe donc dans la catégorie Alea
Incertitude : l’objet de l’analyse est justement de se questionner sur les issues possibles et leur probabilité d’occurrence. Le jeu est donc incertain et l’objectif de l’activité est la réduction de cette incertitude.
Règle du jeu : le jeu est défini par une règle simple et sans cas particulier, qui défini le début du jeu, son évolution et son issue.
Décision : ce jeu ne permet aucune décision à l’intérieur du jeu de la part du joueur. L’unique décision des joueurs est le fait de faire une partie ou non du jeu.
Second degré et frivolité : les dimensions de second degré et de frivolité du jeu semblent entièrement évidente, il s’agit évidemment d’une action symbolique sans conséquence, si ce n’est que, proposé comme une activité de recherche en classe, le jeu relève d’une activité avec enjeu. Qui plus est, l’activité de recherche autour du jeu est évaluée. Si le jeu en lui même est sans conséquence, l’activité dans laquelle il s’insère l’est.
Il était attendu que les élèves effectuent des essais, jouent au jeu lui même et confrontent leurs pronostics a priori aux résultats d’un certain nombre de simulation. Les réponses possibles à la question posée sont au nombre de 3 : le lièvre a l’avantage, la tortue a l’avantage ou le lièvre et la tortue ont les même chance de victoire. Pour répondre à cette question, les élèves disposent de plusieurs registres de représentations. Certains de ces registres sont issus d’apprentissages effectués en classe cette année (les outils statistiques de calcul de fréquence, la notion de fluctuation de l’échantillonnage, …), d’autres sont issus d’apprentissages antérieurs et donc moins accessibles pour les élèves car plus lointains (représentation sous forme d’arbres, de tableaux, …), enfin il peut également y avoir des modes de représentation relevant des registres transitoires (dessins, schémas, etc.).

Table des matières

Introduction : pourquoi le jeu
I. Première partie : approche théorique
1. Une brève histoire des jeux
2. Les jeux aujourd’hui, contexte socio-culturel
3. Les jeux et les mathématiques
4. La dialectique jeu/apprentissage
5. Un cadre didactique pour parler du jeu dans l’apprentissage des mathématiques
6. Game design / Ingénierie didactique, même combat ?
II. Deuxième partie : éléments pour une classification des jeux à l’usage des enseignants de mathématiques
1. Les critères de ludicité
2. Jeux de loisir, jeux pédagogiques et récréations mathématiques
3. Prémisses d’une classification
III. Troisième partie : utiliser le jeu en contexte scolaire
1. Différentes manières d’aborder le jeu
2. Réflexions sur l’utilisation du jeu en contexte scolaire à travers 3 expérimentations en classe de seconde
IV. Conclusion : ouverture vers une recherche rigoureuse et scientifique
Bibliographie

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