Soutenance mémoire
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OPTIQUE PHYSIQUE DÉRIVÉE DE L’EFIE
Optique Physique
Les techniques de résolution de problèmes de diffraction par la méthode des moments que j’ai présentées dans le chapitre précédent, telle la MFIE, nécessitent beaucoup de temps de calcul et d’espace de stockage dès que le nombre d’inconnues devient grand.
Ainsi, quand la géométrie de l’objet est importante face à ou quand on se trouve en haute fréquence, ces méthodes deviennent trop coûteuses pour être utilisées. C’est pourquoi d’autres méthodes asymptotiques, telle l’Optique Physique, ont été développées.
L’Optique Physique repose sur des approximations haute-fréquence afin de réduire significativement les ressources numériques (temps de calcul et espace mémoire).
L’Optique Physique spécifie par exemple que les courants en un point de la surface sont les mêmes que ceux qui existeraient sur une surface plane infinie, tangente à cette surface, et ayant les mêmes propriétés physiques que la surface d’intérêt[15]. Ceci permet de relâcher le maillage sur certaines géométries, notamment si des surfaces planes sont présentes. Cependant, le maillage devra tout de même être suffisamment fin dans le cas d’une cible présentant des courbures afin que le critère de flèche (1.46) soit respecté, c’està- dire pour que le maillage soit suffisamment proche de la géométrie de la cible.
D’autre part, on utilise pour l’Optique Physique l’approximation du plan tangent, qui permet, lorsque le rayon de courbure de la surface illuminée est très supérieur à la longueur d’onde, d’assimiler le problème à un phénomène de réflexion sur un plan infini tangent à la surface [16, 17].
On peut alors utiliser une approximation en champ lointain du noyau de Green, comme on l’a fait précédemment dans la section 1.6. On utilise alors ces équations (2.6) en champ lointain afin de pouvoir obtenir la SER de l’objet par la suite. C’est la méthode qui est utilisée en général. Cependant, il convient de noter que l’Optique Physique est moins précise que la méthode des moments du fait qu’elle ne prend pas en compte les ondes rampantes et la diffraction dues aux arêtes, la notion de plan tangent étant incompatible avec les discontinuités de surface. De plus, l’Optique Physique considère que toutes les parties de la surface de l’objet qui ne sont pas directement illuminées ont un courant nul. Le traitement de ce phénomène, appelé l’ombrage, est détaillé dans la section 2.3 .
Il existe d’autres méthodes pour calculer l’Optique Physique. Les deux méthodes suivantes que je vais expliciter présentent l’avantage de passer par des coefficients liés aux arêtes de mailles triangulaires. Ceci nous permet de comparer plus facilement les résultats obtenus avec les méthodes développées dans le chapitre précédent, liées à la Méthode des Moments.
La première méthode consiste à moyenner les courants obtenus sur les deux facettes d’une arête afin d’obtenir ce que l’on pourrait assimiler aux an de l’Optique Physique, de la même manière que l’on procède avec la méthode des moments. En notant le problème discrétisé à résoudre ¯X a = b, les an sont les composantes du vecteur a.
On peut alors observer que la MFIE sans sa partie intégrale correspond à l’expression de l’Optique Physique obtenue en (2.3). Ceci correspond à ne garder que la valeur principale de la MFIE. Ces termes représentent les interactions des facettes sur ellesmêmes, ce qui est cohérent avec l’Optique Physique qui simule des phénomènes locaux haute-fréquence. L’Optique Physique obtenue par cette méthode sera notée OPVP(MFIE) dans la suite du document. Cette méthode utilise un formalisme RWG ce qui permet de la comparer facilement aux autres méthodes du document. Le calcul du courant JS par cette méthode a été détaillé précédemment dans le document dans l’équation (1.77) de la section 1.4.
Dans la figure 2.3, on voit que les résultats de la MFIE et de OPVP(MFIE) pour la SER d’une plaque carrée de 10 de côté avec une incidence normale sont identiques. Ceci s’explique facilement puisque, comme toutes les facettes de la cible sont dans un même plan (la plaque étant dans le plan xOy), les termes de la MFIE qui sont liés au gradient sont tous nuls (voir section 1.7). On peut aussi observer sur cette figure que les résultats de l’OPVP(MFIE) et de la MFIE sont proches de ceux de l’EFIE (qui sert de référence) aux alentours du spéculaire (0°) et du forward scattering (180°). Cependant, les résultats des deux premières méthodes s’éloignent de ceux de l’EFIE aux alentours de 90° et 270°, ce qui correspond au cas rasant sur les arêtes. C’est cohérent avec ce que nous disions auparavant sur le fait que l’Optique Physique ne prédisait pas la diffraction des arêtes à cause de ses hypothèses.
Figure 2.4 – Géométrie de la parabole de 10 × 10 avec une pente de 20°
En passant d’une plaque de 10 de côté à une parabole de 20° de pente (figure 2.4), on peut commencer à apercevoir des différences entre la MFIE et l’OPVP(MFIE) (figures 2.5 et 2.6). La parabole a été construite à partir d’une plaque carrée de 10 × 10. En choisissant une pente (ici, 20°), et en connaissant la demi-longueur de la plaque (ici, 5), on peut déterminer la hauteur de la parabole par une relation trigonométrique : Hauteur de la parabole = Demi-longueur de la plaque × tan(Pente) (2.9)
On connait alors la hauteur de la parabole, ce qui nous permet de déterminer le coefficient a de l’équation de la parabole : a = Hauteur de la parabole Demi-longueur de la plaque2 (2.10)
Soient (x, y, z) les coordonnées de la plaque centrée sur O = (0; 0; 0) et (x0, y0, z0) celles de la parabole.
Les différences de résultats que l’on observe pour la parabole s’expliquent par les termes du gradient de la MFIE qui sont présents pour cette géométrie, alors que ce n’était pas le cas pour la géométrie précédente. On peut aussi remarquer que plus on s’éloigne du spéculaire théorique du plan xOy (inc = dif=0°), moins les résultats de l’Optique Physique vont être précis, et donc plus ils vont s’éloigner des résultats obtenus par l’EFIE ou la MFIE, comme on peut le voir dans la figure 2.6. L’approximation de l’Optique Physique n’est en effet valable que pour un angle faible [21].
Optique Physique appliquée a l’EFIE
L’optique Physique peut être vue comme une simplification haute-fréquence de la MFIE. Cependant, on a évoqué précédemment que la MFIE était moins précise que l’EFIE i =30°, calculée avec l’EFIE (référence), la MFIE et l’OPVP(MFIE), f = 300MHz, polarisation HH et on sait que l’OP ne permet pas de simuler correctement certains phénomènes, tels que la diffraction des arêtes. L’idée est alors de partir de l’EFIE et d’en simplifier l’expression, afin d’obtenir une expression de l’EFIE qui sera plus rapide à calculer et qui pourrait prendre en compte d’autres phénomènes physiques.
Dans la suite, on va utiliser différentes hypothèses simplificatrices sur l’EFIE afin d’obtenir une formulation plus simple à utiliser. Pour ce faire, on va tout d’abord s’intéresser au dernier terme de l’intégrale de l’EFIE (2.12) sur lequel on va utiliser les approximations de l’Optique Physique. Une fois ces approximations haute-fréquence réalisées, elles seront injectées dans l’expression de l’EFIE. On devra alors déterminer la fonction de Green GOPEFIE qui permettra de satisfaire l’égalité définie en (2.12). En effet, il faudra que l’égalité soit satisfaite malgré les changements que l’on aura appliqués sur le second membre de l’équation (2.12). Les différentes étapes sont détaillées dans la suite.
Maintenant que l’on a simplifié l’intégrale de l’EFIE avec les hypothèses évoquées précédemment, le but est de faire réapparaitre l’expression du champ électrique incident Einc. Ceci nous permettra par la suite de résoudre l’équation de l’EFIE en déterminant la nouvelle fonction de Green GOPEFIE. En effet, la fonction de Green définie précédemment dans le chapitre 1 permettait de satisfaire l’égalité de l’EFIE présentée en (2.12). Cependant, on a désormais changé le second membre avec les hypothèses précédentes. Il faut donc déterminer la nouvelle fonction de Green pour retrouver l’égalité entre les 2 membres.
On peut aussi voir que cette fonction de Green modifiée dépend du champ incident à cause du terme en ˆn · ˆkinc. Ce facteur peut être négligé dans des cas proches d’une incidence normale car on a alors ˆn·ˆkinc 1, ce qui permet d’enlever cette dépendance au champ incident. Ce terme est aussi celui qui sert à définir la frontière d’ombrage, comme on le verra dans la section suivante. Ainsi, lorsqu’on se trouve sur cette frontière d’ombrage, on peut se retrouver avec une singularité (division par un nombre approchant 0).
Les courants obtenus avec cette méthode ont été comparés à ceux de l’Optique Physique, à la MFIE et à l’EFIE sur une plaque de 10 de côté. Cette plaque était illuminée avec une incidence normale dans un premier temps (figure 2.7) puis avec un angle d’incidence inc de 30° (figure 2.8). Les courants tracés dans ces figures sont pris le long de l’axe x avec y = 0 (centre de la plaque). Pour toutes les méthodes utilisées dans les figure 2.7 et 2.8 sauf l’EFIE on obtient les mêmes résultats, ce qui nous permet de vérifier nos calculs pour la MFIE, l’OPClassique et l’OPVP(MFIE) puisqu’on se trouve sur une plaque. Le courant s’obtient à partir d’une interpolation, ce qui peut expliquer des effets de bords, notamment sur l’EFIE. L’OPEFIE obtient ici les mêmes résultats que les autres méthodes d’Optique Physique, ce qui se retrouvera dans la suite.
Des simulations de SER ont été réalisées sur une parabole de 10×10 avec une pente de 20° (figure 2.4), illuminée par une onde plane avec i =-30°. Les antennes d’émission et de réception sont contenues dans le plan xOz.
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Table des matières
Introduction
1 Équations Intégrales et Méthode des Moments
1.1 Équations de Maxwell et expression des champs électriques et magnétiques
1.2 Conditions aux limites et équations intégrales
1.3 Méthode des Moments RWG-Galerkin
1.4 Éléments non-singuliers de la matrice impédance de la MFIE
1.5 Singularités de la MFIE
1.6 Rayonnement en champ proche et champ lointain
1.7 Résultats numériques de la MFIE et de l’EFIE
1.8 Résultats numériques de la CFIE
2 Optique physique dérivée de l’EFIE
2.1 Optique Physique
2.2 Optique Physique appliquée a l’EFIE
2.3 Ombrage
2.4 Conclusion du chapitre
3 Accélération du Gradient Conjugué pour la CFIE
3.1 Différentes méthodes d’inversion de matrice
3.2 Algorithme du Gradient Conjugué LSQR
3.3 Double Gradient Conjugué LSQR
3.4 Double Gradient Conjugué avec Optique Physique en entrée
3.5 Gradient conjugué LSQR avec évolutif
3.6 Evolution de en fonction du Résidu
Conclusion
Bibliographie
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