Elasticité Tridimensionnelle En Coordonnées Curvilignes

Elasticité tridimensionnelle en coordonnées curvilignes

Introduction

Dans de nombreux problèmes de la mécanique, la géométrie suggère l’utilisation de systèmes de coordonnées non rectilignes. Par exemple, il semble naturel d’étudier le comportement mécanique d’un objet axisymétrique ou sphérique en faisant appel a un système de coordonnées cylindriques ou sphériques, respectivement : la formulation des problèmes et leurs solutions sont sensiblement simplifiées. Ces deux systèmes ne sont que des cas spéciaux d’un système plus général qui est le système de coordonnées curvilignes.

Coordonnées curvilignes [Lamé (1859)]

Considérons une région  de l’espace référée à un système Cartésien 1 2 3 OX , OX , OX .
Les coordonnées d’un point 1 P de cette région dans ce système, sont 1 2 3 x , x et x (fig. 2.1). Si une transformation de coordonnées de ce système Cartésien vers un autre système est établie, Donc chaque point de la région  peut être exprimé en fonction de i y au lieu de i x . Comme signification géométrique de yi , y x x x cons te i ( , , ) tan 1 2 3  est une équation de surface et en fonction de la valeur de cette constante nous obtenons une famille de surfaces (fig. 2.2). Les conditions exigent que l’intersection de chaque famille de surfaces soit en un seul et un seul point 1 P , en d’autres termes, pour i=1,2,3 nous avons trois familles de surfaces et l’intersection de deux surfaces donne une courbe notée θi et appelée coordonnée curviligne[Green et Zerna (1968)].

Les relations déformation- déplacement en coordonnées curvilignes

Dans la figure 2.3, la configuration finale (déformée) et la configuration initiale d’un milieu continu sont référées aux deux systèmes curvilignes i et i a , respectivement. Avant déformation, une particule quelconque du milieu est au point M de l’espace, la même particule occupera la position M* après déformation. r et R sont les vecteurs position de cette particule avant et après déformation, respectivement.
Le vecteur déplacement qui relie les deux point P et P* est donné en fonction des vecteurs de position par Il est intéressant de noter que Krauss [1967] et Ambartsumyan [1964] ont donné un autre schéma de dérivation de ces équations en passant directement par la géométrie différentielle surfacique, mais ils n’ont considéré que la partie linéaire.

Relations contrainte-déformation

Lorsque le milieu continu est homogène isotrope, la Loi de comportement, (loi de Hooke généralisée) s’écrit en fonction du tenseur de déformation

Géométrie différentielle des surfaces

Introduction

La géométrie différentielle est la branche de mathématiques dont les objets d’étude sont les variétés différentielles. Elle tient son nom du fait qu’elle est née de la possibilité d’une interprétation cinématique que le calcul infinitésimal apporte à l’étude des courbes. Elle trouve sa principale application en physique dans la théorie de relativité où elle permet par exemple une modélisation d’une courbe de l’espace-temps. En mécanique des milieux continus, elle est utile pour la description des déformations des corps élastiques. En théorie des surfaces, elle est utilisée pour étudier les propriétés locales (au voisinage d’un point) et intrinsèques des courbes et des surfaces de géométries arbitraires. Un sommaire des relations essentielles dans la théorie des surfaces est présenté dans cette partie. Plus de détails sont disponibles dans Kraus [1967], Struik [1950], Graustein [1935] ,et Lass [1950].

Quelques relations essentielles de la théorie des surfaces

Dans la théorie des surfaces, deux types de représentations paramétriques sont employées : la représentation vectorielle et la représentation scalaire [Ventsel et Krauthammer (2001)].

Système de coordonnées

Une représentation paramétrique vectorielle est choisie pour décrire une surface  dans l’espace (Fig. 3.1). Les paramètres  et  sont les coordonnées curvilignes sur  .

Deuxième forme quadratique

La première forme fondamentale de la surface concerne généralement ; la mesure des distances entre deux points le long d’un arc sur une surface ; aux secteurs de surface et aux angles entre deux courbes quelconques passants par un point. Ainsi, la première forme quadratique définit la géométrie intrinsèque de la surface. Cependant, elle n’implique pas la forme spécifique de la surface. Donc, la représentation de la surface par les constantes de Lamé n’est pas suffisante et la première forme fondamentale doit être complétée avec une autre forme pour décrire la géométrie intrinsèque et extrinsèque d’une surface. En effet ce problème est associé pour trouver une courbure à un point arbitraire de la surface.

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Table des matières

Sommaire
Liste des figures
Liste des tableaux
Liste des symboles
Introduction générale
Chapitre 1 : Bibliographie
1.1 Introduction
1.2 Théories des coques
1.3 Vibration des coques
1.3.1 Vibration des coques à double courbure
1.3.2 Vibration des coques de formes géométriques arbitraires
Chapitre 2 : Elasticité Tridimensionnelle En Coordonnées Curvilignes
2.1 Introduction
2.2 Coordonnées curvilignes [Lamé (1859)]
2.3 Les coefficients Métriques
2.4 Élément de volume
2.5 Les vecteurs unitaires de la base curviligne
2.6 Les relations déformation- déplacement en coordonnées curvilignes
2.7 Relations contrainte- déformation
2.8 Energie cinétique
2.9 Energie de déformation
Chapitre 3 : Géométrie différentielle des surfaces
3.1 Introduction
3.2 Quelques relations essentielles de la théorie des surfaces
3.2.1 Système de coordonnées
3.2.2 Première forme quadratique
3.2.3 Deuxième forme quadratique
3.2.4 L’équation caractéristique de Gauss
3.2.5 Conditions de Codazzi-Mainardi
3.3 Relations entre le tenseur métrique et les rayons de courbures
3.4 Relations déformations-déplacements
3.5 Expressions des énergies
Chapitre 4 : Théorie des coques modérément épaisses
4.1 Introduction
4.2 Théories des coques
4.3 Hypothèses de la théorie de Reissner-Mindlin
4.4 Champs de déplacements
4.5 Relations déformations-déplacements
4.6 Relations contraintes-déformations
4.7 Facteur de correction du cisaillement transverse k
4.8 Energie cinétique
4.9 Energie de déformation
Chapitre 5 : Formulation par la version p de la méthode des éléments finis
5.1 Introduction
5.2 Sélection des fonctions de forme
5.2.1 Espaces polynomiaux
5.2.1.1 Espace ou famille Serendipity S p (Π)
5.2.1.2 Espace ou famille de Lagrange S p, q (Π)
5.2.1.3 Espace ou famille mixte S p,q ~
5.2.2 Polynômes de Legendre-déplacés
5.2.3 Fonctions de forme hiérarchiques
5.3 Modélisation du panneau à double courbure en MFG
5.3.1 Carreaux de Coons
5.3.2 Définition de l’élément quadrangulaire
5.4 Passage des coordonnées globales aux coordonnées locales
5.5 Equations de mouvement
5.6 Passage au système matriciel condensé
5.7 Dérivation des matrices
Chapitre 6 : Formulation MFG
6.1 Introduction
6.2 Modèles d’homogénéisations
6.3 Bibliographie sur les coques MFG
6.4 Formulation
6.4.1 Propriétés du mélange
6.4.2 Modélisation du panneau MFG à double courbure
6.4.3 Relations contraintes déformations
6.4.4 Energie cinétique
6.4.5 Energie de déformation
6.4.6 Equation de mouvement et dérivation des matrices masse et rigidité
Chapitre 7 : Organisation de la programmation
7.1 Introduction
7.2 Environnement de la programmation
7.3 Organigramme général du programme principal
7.4 Description des sous-programmes
7.4.1 S.P. INPUT
7.4.2 S. P. GAUSS
7.4.3 S. P. FGM
7.4.4 S. P. ELEMS
7.4.5 Préparation du passage au système condensé
7.4.6 S.P. CONNECT
7.4.7 S. P. STIFF, STIFF 1, STIFF 2, STIFF 3, STIFF 4, STIFF 5 , STIFF 6 et
7.4.8 S.P. JMATRIX
7.4.9. Application des conditions aux limites
7.4.10 S. P. INVERT
7.4.11 S.P. JACOBI
7.4.12 S.P. SORT
7.4.13 S. P. MAXAMP
7.4.14 S. P. MODE
7.4.15 Remarque sur le calcul non linéaire
7.4.16 Affichage des résultats
Chapitre 8 : Applications numériques
8.1 Introduction
8.2 Convergence et validation
8.2.1 Domaine rectangulaire
8.2.1.1 Convergence
8.2.1.2 Validation
8.2.2 Domaine courbé
8.2.2.1 Convergence
8.2.2.2 Validation
8.3 Exemples d’application
8.3.1 Vibration linéaire
8.3.1.1 Influence de la condition aux limites
8.3.1.2 Influence de la nuance MFG
8.3.1.3 Influence de l’épaisseur
8.3.1.4 Influence de la profondeur de la coque
8.3.1.5 Influence du rapport d’ellipse
6.3.1.6 Influence du rapport de courbures
8.3.2 Vibration non linéaire
8.3.2.1 Influence de la condition aux limites
8.3.2.2 Influence de la nuance MFG
8.3.2.3 Influence de l’épaisseur
8.3.2.4 Influence de la profondeur de la coque
8.3.2.5 Influence du rapport d’ellipse
8.3.2.6 Influence du rapport de courbures
8.3.2.7 Vibration des modes supérieurs
Conclusions et perspectives
Références
Annexe 1
Annexe 2
Annexe 3
Annexe 4