Soutenance mémoire
Télécharger le fichier pdf d’un mémoire de fin d’études
Oscillateur harmonique linéaire
Trois oscillateurs mécaniques sont étudiés successivement dans ce qui suit : un ressort vertical, une association en parallèle de deux ressorts verticaux et une association en série de deux ressorts verticaux.
Pendule élastique vertical :
Description1
Considérons un pendule élastique vertical composé d’un solide S de masse m suspendu à l’extrémité d’un ressort de constante de raideur k et de masse négligeable. L’autre extrémité du ressort est fixée à un support. La position du solide S est repérée sur l’axe x ‘ox vertical descendant. En position d’équilibre, son abscisse est nulle. La masse m est écartée vers le bas d’une distance xm de sa position d’équilibre et abandonnée sans vitesse initiale à l’instant t=0. A l’instant t quelconque, l’allongement du ressort est x .
x0 : allongement du ressort par rapport à la longueur à vide
x : allongement du ressort par rapport à la position d’équilibre du solide
xm : élongation maximale du ressort
La loi de Hooke3
Quand un objet est soumis à une force, il peut être comprimé, étiré ou courbé. Dès que la force est supprimée, l’objet revient rapidement à son configuration initiale. Nous disons qu’il est élastique. Par contre, les solides ou les quasi-solides, tels que le plomb, l’argile et le mastic, ne reviennent plus à leurs configurations initiales s’ils sont déformés.
Ce que Hooke a trouvé, beaucoup de matériaux se déforment proportionnellement à la force appliquée. C’est la loi de Hooke, qui s’applique aux matériaux linéairement élastiques.
La loi se formule de la façon suivante :
F ks
k : une constante basée sur les caractéristiques du ressort (longueur, diamètre du fil, matériau)
s : le déplacement
Equation différentielle du mouvement:4
Le système étudié est la masse « m » suspendue sur le ressort.
Tous les frottements sont négligeables alors les forces extérieures appliquées au système sont :
• Son poids P
• La tension T du ressort
Nous étudions le mouvement du solide (S) dans le référentiel terrestre.
Soit x ‘ox un repère associé au référentiel.
A l’équilibre : Le centre d’inertie G du solide (S) se trouve à l’origine de l’abscisse, on a :
Position
La position du solide (S) est donnée par l’abscisse x (t ) exprimée en mètre(m), appelée aussi élongation instantanée qui prend des valeurs entrexm etxm .
Voici une courbe qui représente l’évolution de l’élongation x (t ) xm cos wt en fonction du temps c’est-à-dire = 0:
Vitesse du mouvement:
On obtient v (t) en dérivant x (t ) par rapport à t : v(t ) xmw sin( wt) . Elle est exprimée en m.s-1.
vm xm w est la vitesse maximale du solide (S) au passage à la position d’équilibre, elle peut être positive ou négative selon le sens du mouvement.
Accélération du mouvement :
On obtient a (t ) en dérivant v (t) par rapport à t : a (t ) xm w2 cos( wt) d’où a (t )w2 x(t ) .
Elle est exprimée en m.s-2.
Le vecteur accélération est toujours dirigé vers la position d’équilibre.
Remarque :
Quand l’oscillateur s’éloigne de sa position d’équilibre, les vecteurs v et a sont opposés : le mouvement est retardé. Lorsqu’il se rapproche de la position d’équilibre, les deux vecteurs ont même sens : le mouvement est accéléré.
L’amplitude xm et la phase se déterminent souvent en exprimant x et v à l’instant t=0
En particulier pour t = 0 ; x (0) xm , alors cos1 et 0 2k . Dans ce cas, on peut écrire: x(t ) xm cost
Grandeurs caractéristiques du mouvement:6
La période
La période T est la durée d’une oscillation c’est-à-dire la plus courte durée après laquelle le phénomène oscillatoire se reproduit identique à lui-même. L’unité de la période est la seconde (s). La période du mouvement :
Association en parallèle des deux ressorts verticaux
Description
Un solide S de masse m est suspendu à l’extrémité des deux ressorts R1 et R2 en parallèle de même longueur à vide l0 et de constantes de raideur respectives k1 et k2 et de masses négligeables. Les autres extrémités des deux ressorts sont fixées à un support. Les deux ressorts subissent le même allongement ou le même raccourcissement x . La position de l’objet est repérée par x ‘ox . La masse est écartée vers le bas d’une distance xm de sa position d’équilibre et abandonnée sans vitesse initiale à l’instant t=0.
Equation différentielle du mouvement :
Etudions le mouvement de la masse m :
Le système étudié étant la masse m suspendue sur les ressorts R1 et R2 .
Tous les frottements sont négligeables alors les forces extérieures appliquées au système sont :
• Son poids P
• La tension T du ressort R1
Association en serie des deux ressorts verticaux
Description
Un solide S de masse m est suspendu à l’extrémité des deux ressorts R1 et R2 en série de longueur à vide l0 , l0’ et de constante de raideur respectives k1 et k2. L’autre extrémité d’un ressort est fixée à un support. Les deux ressorts subissent des différents allongements ou raccourcissements. La position de l’objet est repérée par l’abscisse x ‘ox verticale descendant. La masse est écartée vers le bas d’une distance xm de sa position d’équilibre et abandonnée sans vitesse initiale à l’instant t=0.
Equation différentiel du mouvement12 :
Le système étudié est la masse m suspendue sur les deux ressorts en serie R1 et R2 .Tous les frottements sont négligeables alors les forces extérieures appliquées au système sont :
• Son poids P
• La tension T2 et du ressort R2
Nous étudions le mouvement du solide (S) dans le référentiel terrestre.
Soit x ‘ox un repère associé au référentiel.
|
Table des matières
INTRODUCTION
PREMIERE PARTIE: Repère théorique
I- Etudes théoriques des oscillateurs mécaniques
A- Description des oscillateurs étudiés
B- Oscillateur harmonique linéaire
II- Etude énergétique des oscillateurs étudiés :
A- Energie mécanique:
B- Energie mécanique des systèmes étudiés
DEUXIEME PARTIE : Elaboration des matériels didactiques
I- Généralités
A- Qu’est-ce qu’un ressort ?
B- Types de ressorts :
C- Quelques exemples d’utilisation
D- Les matériaux pour les ressorts
E- Grandeurs caractéristiques des ressorts :
II- Fabrication d’une machine à ressort
A- Elaboration de la base
B- Elaboration du côté
C- Elaboration de la manivelle
III- Fabrication des ressorts
A- Consignes
B- Procédure de la réalisation
TROISIEME PARTIE : Exploitation des matériels didactiques
I- Expériences avec les matériels didactiques élaborés
A- Le pendule élastique
B- Association en parallèle des deux ressorts verticaux
C- Association en serie des deux ressorts verticaux
II- Elaboration des fiches pédagogiques
A- Une fiche sur les deux ressorts en parallèle
B- Une fiche sur les deux ressorts en série
CONCLUSION
BIBLIOGRAPHIES
WEBOGRAPHIES
ANNEXE I : Energie mécanique d’un pendule élastique
ANNEXE II : Energie mécanique pour l’association en parallèle des deux ressorts
ANNEXE III : Energie mécanique pour l’association en série des deux ressorts
Télécharger le rapport complet
