Effets de spin dans les nanostructures semi-conductrices

Théorie k.p dans les hétérostructures de semi-conducteurs III-V

   Les puits quantiques et les hétérojonctions forment une classe d’hétérostructures dont les propriétés, au moins dans leurs caractéristiques les plus générales, reflètent la spécificité de leur dimensionnalité. Nous présenterons au cours de ce chapitre les grandes lignes de leurs structures électroniques, de leurs propriétés optiques en adoptant pour chacune d’entre elles un point de vue général et puis en focalisant sur le modèle k.p de Kane étendu appliqué pour les semi-conducteurs III-V massifs. Dans une première section, nous présenterons brièvement les propriétés cristallines et électroniques des matériaux massifs III-V en insistant sur le fait que l’absence du centre d’inversion dans ces matériaux conduit à un splitting de spin de l’énergie des sous-bandes. La deuxième section sera consacrée plus spécifiquement aux hétérostructures que l’on étudiera dans toute la thèse : l’hétérojonction et les multipuits quantiques. La troisième section est inévitablement une présentation historique de la méthode k.p suivie par l’extension du modèle de Kane [3]. Le choix des paramètres k.p utilisés dans ce modèle est parmi trois sets différents : le premier issu d’un calcul récent par la méthode des liaisons fortes, les deux autres correspondent à des valeurs classiques tabulées dans le Landolt-Börnstein. La cinquième section présentera le mécanisme du splitting de spin dû au couplage spin orbite et à l’asymétrie d’inversion des matériaux massifs. Ce mécanisme peut servir de base pour l’interprétation des résultats numériques. En fin, dans la dernière section, après une brève présentation les résultats concernant le splitting de spin de la bande de conduction du matériau massif qui a été beaucoup étudié, nous nous intéressons à la bande de valence de plusieurs semiconducteurs. Nous calculons la masse effective et les coefficients cubiques γ de Dresselhaus du splitting de spin des bandes de trou lourd, de trou léger et de split-off du matériau massif GaAs.

Les matériaux massifs

Propriétés cristallines Les semi-conducteurs III-V tels que GaAs (arséniure de gallium), AlAs, AlSb, etc… ont une structure cristallographique de type blende de zinc. Cette structure, qui s’apparente à celle du diamant (Si, Ge, etc…), est constituée de deux sous-réseaux cubique à faces centrées, l’un d’éléments III, l’autre d’éléments V, décalé l’un par rapport à l’autre du quart de la diagonale principale (voir la figure I.1(a), l’atome en rouge représente un élément III par exemple, l’atome en jaune représente un élément V.). La maille élémentaire comporte deux atomes, le premier (Ga) à l’origine et l’autre (As) à (a/4,a/4,a/4), où a représente le paramètre de maille du matériau. Du fait que les deux sous-réseaux cubiques à faces centrées sont décalés, le cristal n’est pas centrosymétrique. Il en découle des propriétés physiques différentes suivant les directions cristallographiques considérées. Ces propriétés donnent lieu à une des trois contributions du splitting de spin des hétérostructures semi conductrices III-V (voir le chapitre III), appelée BIA (en anglais « bulk inversion asymmetry ».) ou le terme de Dresselhaus. De ce fait, les liaisons atomiques dans les matériaux III-V ne sont pas simplement covalentes comme dans le cas du silicium. Elles reposent sur le transfert d’électrons des atomes du groupe V (As) sur ceux du groupe III (Ga). Dans un cristal composé de l’arséniure de gallium, chaque atome d’arséniure est entouré de quatre atomes de gallium, et chaque atome de gallium est entouré de quatre atomes d’arséniure. Il se produit alors un échange d’électrons, le cristal se construit avec les ions Ga− et As+, qui ont tous quatre électrons périphériques. Cette répartition est à l’origine du caractère partiellement ionique et partiellement covalent des liaisons (semi-conducteurs polaires) qui sont orientées dans l’espace suivant les axes de symétrie d’un tétraèdre régulier. Cette propriété est en particulier responsable de l’anisotropie optique dans les hétérostructures semi-conductrices III-V qui a été mise en évidence expérimentalement par Krebs et Voisin [4].
Les matériaux massifs Le réseau réciproque du réseau de Bravais correspondant à la structure blende de zinc est un réseau cubique centré. La première zone de Brillouin du réseau réciproque a la forme octaèdre tronqué (voir figure I.1(b)) par les six faces d’un cube. Elle présente un centre de symétrie à l’origine noté Γ et les axes de symétrie ∆, Λ, et Σ. Les points de croisement de chacun de ces axes avec les frontières de la zone de Brillouin sont les points de haute symétrie, et ils jouent un rôle primordial dans la structure de bande.
-Propriétés électroniques Les matériaux de semi-conducteurs III-V ont huit électrons par cellule unitaire contribuant aux liaisons chimiques. Les autres électrons n’interviennent pas dans les propriétés optiques des hétérostructures. Les orbitales de type s et de type p de chaque atome de gallium Ga s’hybrident avec les orbitales des atomes d’arséniure As, et forment des liaisons covalentes tétraédriques de type sp3 : 4 orbitales liantes et 4 orbitales antiliantes. Les quatre orbitales liantes donnent lieu à quatre bandes d’énergie, chacune deux fois dégénérée de spin, et forment la bande de valence. Cette bande est pleinement occupée par des électrons à T=0◦K, pour un semi-conducteur parfait. Les quatre autres orbitales antiliantes donnent naissance à quatre bandes supérieures, et forment la bande de conduction qui est inoccupée et est séparée de celle précédente par une bande d’énergie interdite de largeur Eg (band gap en anglais). Pour les semi-conducteurs à gap direct , le maximum de la bande de valence et le minimum de la bande de conduction sont au point Γ. En présence du couplage spin-orbite, l’hybridation des orbitales anti-liantes de type p donne naissance à une bande Γ8c doublement dégénérée et une bande Γ7c distante d’une énergie ∆1. La bande de conduction contient donc une bande Γ6c qui résulte de l’hybridation des orbitales de type s, et les deux bandes Γ8c et Γ7c. De manière similaire, la bande de valence contient une bande Γ8v doublement dégénérée et une bande split-off Γ7v distante d’une énergie ∆0. On montrera dans la troisième section un schéma et les éléments de matrice du semi-conducteur III-V.

Hétérojonction à dopage modulé GaAs/AlxGa1−xAs

   Le semi-conducteur intrinsèque est un semi-conducteur pur, c’est à dire dans lequel il y a très peu d’impuretés. Il ne conduit pas l’électricité à très basse température. Tous les électrons dans le cristal sont utilisés pour former les liaisons solides. Il n’y a pas d’électrons libres. Pour pouvoir conduire l’électricité, on devra introduire des porteurs (soit des électrons, soit des trous), cette étape est connue sous le nom de « dopage ». Cependant, ce dopage introduit des impuretés qui diffusent très fortement les porteurs. Dans le cas du matériau massif, ce dilemme est infranchissable. Alors que dans le système bidimensionnel, on peut introduire une couche séparatrice appelée espaceur, qui permet de  séparer les porteurs mobiles de leurs centres d’impuretés. Cette couche n’est pas très épaisse pour que les impuretés puissent transférer leurs porteurs, mais elle n’est pas non plus mince afin de diminuer l’interaction de Coulomb entre le centre d’impuretés et leurs porteurs. L’hétérojonction à dopage modulé est un système constitué de deux semi-conducteurs dont la bande interdite est différente. Pour le cas de GaAs/AlxGa1−xAs, elle est obtenue par la croissance sur un substrat GaAs d’épaisseur de l’ordre de 2 µm d’une succession de couches de grande bande interdite AlxGa1−xAs (qui jouent le rôle de barrières) et de couches de petite bande interdite GaAs (qui jouent le rôle de puits). Ces deux semiconducteurs formant le puits et la barrière sont pratiquement en accord de maille. Ceci permet d’avoir des hétéro-interfaces sans défaut, sans contrainte et de hautes qualités. Au cours du processus de la croissance, les dopants2 sont introduits dans la barrière, une couche séparatrice d’AlxGa1−xAs non-dopée est mise entre la barrière et le puits permettant de faire varier la mobilité des électrons situés à l’interface du GaAs et de l’AlxGa1−xAs (voir la figure I.2).

Théorie k.p

   Parmi les modèles qui ont été utilisés pour décrire la structure de bande et les propriétés optiques des hétérostructures au voisinage du centre Γ, le modèle k.p se révèle comme étant le plus efficace pour expliquer les effets délicats tels que le splitting de spin, la nonparabolicité des bandes, etc… Dans cette section, on décrira la théorie k.p et puis on étendra le modèle de Kane pour le cas de 14 bandes. Depuis les années cinquante, la structure de bande a été décrite par plusieurs théoriciens. Différentes méthodes ont été développées sans qu’aucune jusqu’à présent ne se soit avérée la meilleure, chacune ayant ses avantages et ses inconvénients. Dans ces différentes approches, les paramètres ajustables jouent un rôle très important. Cela vient du fait que la théorie de Kohn-Hohenberg-Sham, si efficace dans les solides mais aussi en chimie, ne s’applique qu’aux états fondamentaux et non aux états excités. Le nombre de paramètres ajustables dépend du nombre de bandes que l’on veut décrire, suivant la précision que l’on juge nécessaire. Parmi ces méthodes, la théorie k · p a permis d’avoir des solutions analytiques dans certains cas et est donc plus intuitive que les autres méthodes. Par contre, elle n’a pas l’avantage de décrire toute la zone de Brillouin comme la méthode des combinaisons linéaires d’orbitales atomiques. Dans la suite, on résume l’évolution du modèle k · p de sa naissance jusqu’à maintenant. L’abréviation k · p vient d’un article de Shockley paru en 1950 [12], dans lequel il décrivait la structure de bande des semi-conducteurs via la méthode k · p et via des perturbations du second ordre appliquées à un état dégénéré. C’est R. J. Elliot qui explicitait en premier les matrices utiles pour la bande de valence [13]. Ces matrices sont ensuite complétées par G. Dresselhaus, A. F. Kip et C. Kittel [16]. Dans les années qui suivirent, R. J. Elliot [14] et G. Dresselhaus [16] ont décrit la symétrie d’un certain points de la zone Brillouin des semi-conducteurs ne possédant pas de centre d’inversion (tel GaAs, CdTe) ou possédant d’un centre d’inversion : Ge, Si. Ces articles pionniers ont utilisé d’une façon ou d’une autre la renormalisation de Löwdin [17]. En 1956, J. M. Luttinger [18] a retrouvé les résultats concernant la bande de valence en utilisant la théorie des groupes. Dans cet article, il a introduit pour la première fois des paramètres dits de Luttinger sur lesquels nous insisterons, pour leur rôle dans notre modèle k · p à 14 bandes. Ces paramètres nous permettent de ternir compte des couplages entre des bandes lointaines via l’interaction k · p. Ensuite, en 1957 O. E. Kane [3] a décrit en détail le couplage entre la bande de conduction et la bande de valence. Il calculait pour la première fois la masse effective en fonction de l’énergie de la bande interdite et du couplage spin-orbite. Les matrices 8 × 8 de Luttinger et de Kane sont deux cas limites du hamiltonien complet de Pidgeon et Brown [19]. Ces deux auteurs ont étendu la théorie de Kane et de Luttinger pour décrire les niveaux couplés de Landau dans la bande de valence. Cet hamiltonien de Luttinger est ensuite décomposé en une somme d’hamiltoniens sphérique, axial, et cubique par A. Baldereschi, N. O. Lipari et M. Altarelli dans les années soixante-dix [20]. Ils ont ramené le problème de quatre équations différentielles à un système de deux équations différentielles couplées et mis en évidence la symétrie de la fonction d’onde.

BIA Splitting de spin

   Dans un semi-conducteur massif, en tenant compte du spin de l’électron, les états des électrons et des trous sont spin-dégénérés s’il n’existe pas de mécanisme qui brise les opérations de symétrie. Cette dégénérescence de spin signifie que l’énergie d’un état de « spin up » d’une sous-bande est égale à celle d’un état de « spin down » de la même sous-bande : E↑(k)=E↓(k). Cependant, l’interaction spin-orbite donne lieu à un terme qui est responsable de la levée de dégénérescence de spin. L’existence de ce terme est due à l’absence de centre d’inversion de la structure cristalline blende de zinc. À cause de cette absence, ce terme est désigné par une expression en anglais : « bulk inversion asymmetry » et on le note souvent BIA. En 1955, dans un fameux papier du journal « Physical. Review. » [28], G. Dresselhaus a introduit ce terme de couplage spin-orbite qui est proportionnel au cube du vecteur d’onde avec un coefficient de proportionnalité γ, d’où la dénomination « terme de Dresselhaus » qui lui est souvent attribuée. Ce terme est obtenu par la théorie k.p au troisième ordre ou par la théorie des invariants [29].

BIA de la bande de conduction

   Dans cette section nous allons seulement refaire des calculs numériques du coefficient cubique de Dresselhaus pour les 9 semi conducteurs par la méthode k.p à 14 bandes en utilisant l’ensemble de paramètres TB. Nous effectuerons la résolution numérique du hamiltonien 14×14 et puis nous déduisons le coefficient γc par un ajustement de l’énergie de bande de conduction obtenue au terme cubique k3 . Cet ajustement se fait dans la région |k| < 0.01 Å−1 autour du centre Γ de la zone de Brillouin. Le tableau I.5 présente les coefficients γc calculés par la méthode k.p, par la méthode des liaisons fortes et par les mesures expérimentales. Le signe positif et négatif de γc est associé au fait que l’état de symétrie X4 est au-dessus ou au dessous de son état partenaire X3 [35]. On remarque que les deux résultats numériques sont en meilleur accord avec la valeur expérimentale. En particulier, le résultat k.p pour InSb est plus proche la valeur expérimentale que celui TB. Pour GaAs, le calcul numérique donne γc=23.7 eV. Å3 et pour InAs le semi-conducteur considéré comme le plus prometteur dans la spintronique, ce coefficient n’est pas encore mesuré, sa valeur théorique obtenue par notre modèle k.p à 14 bandes vaut 41.7 eV.Å3. Notons que le coefficient γc peut être mesuré par plusieurs méthodes expérimentales, par exemple l’expérience basée sur la relaxation du spin (mécanisme de Dyakonov-Perel). La figure I.6(a) montre le splitting de spin le long de la direction [110]. Il est proportionnel au γck 3 aux alentours du centre Γ, alors que à grande valeur du vecteur d’onde12 (ou bien à grande valeur de l’énergie) l’effet de la nonparabolicité et les termes d’ordre supérieur peuvent masquer la dépendance (E − E0) 3/2.

Table des matières

Remerciements
Introduction
I Semi-conducteur
Chapitre I : Théorie k.p dans les hétérostructures de semi-conducteurs
I.1 Les matériaux massifs
I.1.1 Propriétés cristallines
I.1.2 Propriétés électroniques
I.2 Les hétérostructures 
I.2.1 Hétérojonction à dopage modulé GaAs/AlxGa1−xAs
I.2.2 Multipuits quantiques avec ou sans atome commun
I.3 Théorie k.p
I.3.1 Principe de la théorie
I.3.2 Modèle de Kane étendu
I.3.3 Choix des paramètres k.p
I.4 Bibliothèque numérique 
I.5 BIA Splitting de spin
I.6 Résultats numériques
I.6.1 Masse effective des bandes de valence
I.6.2 Splitting de spin des bandes de conduction et des bandes de valence
I.7 Conclusion
Chapitre II : États évanescent du GaAs 
II.1 Motivation de l’étude 
II.2 Principe du calcul 
II.3 Résultats numériques
II.3.1 États évanescents suivant la direction [001] et [111]
II.3.2 États évanescents suivant la direction [110]
II.3.3 Splitting de spin
II.4 Conclusion 
Chapitre III : Splitting de spin dans les hétérostructures de semiconducteurs
III.1 Revue des mécanismes du splitting de spin
III.1.1 BIA Splitting de spin dans les hétérostructures
III.1.2 SIA Splitting de spin
III.1.3 IIA Splitting de spin
III.2 Modèle 
III.3 Dispersion d’énergie des sous-bandes de valence du puits quantique GaAs/AlAs
III.4 Splitting de spin de l’hétérostructure GaAs/Al0.3Ga0.7As 
III.4.1 Splitting de spin du puits quantique GaAs/Al0.3Ga0.7As
III.4.2 Splitting de spin de l’hétérojonction GaAs/Al0.3Ga0.7As
III.5 L’anisotropie de l’absorption optique 
III.6 Conclusion
Chapitre IV : Compétition entre le splitting Zeeman et le couplage spin-orbite dans un 2DEG 
IV.1 Structure de bande du gaz bidimensionnel en présence du champ magnétique
IV.2 Structure de bande du gaz bidimensionnel en présence du couplage spin-orbite 
IV.2.1 La solution exacte pour 3 cas :(α 6= 0, β = 0), (α = 0, β 6= 0) et (α = β)
IV.2.2 La solution approximative pour α β, α β et α ≈ β
IV.3 Conclusion et discussion 
II Transport Quantique
Chapitre V : Transport quantique dans les structures de semi conducteur mésoscopique : de la localisation faible à l’anti-localisation faible 
V.1 Introduction à la localisation faible 
V.2 Probabilité classique et croisements quantiques 
V.3 La correction de la localisation faible sans champ magnétique 
V.4 La correction de localisation faible et de l’anti-localisation faible en champ magnétique 
V.4.1 Le rôle du champ magnétique
V.4.2 Le couplage spin-orbite et l’anti-localisation faible
V.4.3 Transport diffusif dans le système bidimensionnel
V.4.4 Transport diffusif dans le système unidimensionnel
V.4.5 Transport quasi-balistique dans le système unidimensionnel
Chapitre VI : Réalisation et mesure de magnéto-transport des fils quantique GaAs/Al0.3Ga0.7As 
VI.1 Gaz bidimensionnel 
VI.2 Techniques expérimentales
VI.2.1 La lithographie électronique
VI.2.2 Technique de fabrication des contacts ohmiques
VI.2.3 Dispositif expérimental
VI.3 Etude du magnétotransport des fils quantiques GaAs/Al0.3Ga0.7As
VI.3.1 Description des fils GaAs/Al0.3Ga0.7As
VI.3.2 Détermination de la densité de porteurs
VI.3.3 La correction de localisation faible
VI.3.3.1 Magnétorésistance en fonction de la température
VI.3.3.2 Localisation faible et l’antilocalisation faible
VI.4 Conclusion 
Conclusion
Annexe A : Méthode quadrature
Annexe B : Le cryostat à dilution 3He/4He
Annexe C : Fonction Digamma
Annexe D : Publications
Références bibliographiques

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