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HAMILTONIEN D’UN ATOME A PLUSIEURS ELECTRONS DANS UN CHAMP MAGNETIQUE EXTERNE INDEPENDANT DU TEMPS
Les corrections à introduire à l’effet Zeeman classique d’un atome à plusieurs électrons ont essentiellement trois origines : corrections relativistes, corrections dues au mouvement du noyau et corrections radiatives. Le traitement ab initio le plus satisfaisant de tels effets nécessiterait le recours à la théorie des champs : à notre connaissance, cette tâche n’a été menée à bien que pour les systèmes hydrogénoïdes (15). A défaut d’un tel traitement, HEGSTROM (11) a proposé une généralisation de l’hamiltonien de Breit incluant les corrections radiatives au moment magnétique de l’électron. Pour les atomes hydrogénoïdes (16), ce formalisme redonne (à l’ordre &agr; 3m BH et &agr; 2 m/M &mgr; BH inclus) exactement les mêmes résultats que la théorie totalement covariante de S. BRODSKY et J. PRIMACK (15); par ailleurs, la comparaison aux résultats de M. DOUGLAS et N. KROLL (1) montre qu’il permet également de rendre compte de la structure fine des niveaux 3&rgr; de l’hélium jusqu’à l’ordre &agr; 3Ry , mais non du Lamb-shift. Comme nous essaierons de le montrer par l’étude qualitative des diagrammes de Feynmann appropriés, la difficulté essentielle du modèle de Hegstrom réside dans le fait que la correction introduite est essentiellement une correction d’électron libre et qu’elle élude tous les problèmes de liaison. Suivant GROTCH (17), nous présenterons quelques termes correctifs supplémentaires, susceptibles de modifier les résultats de l’effet Zeeman à l’ordre &agr;3&mgr; BH; ces termes (dont la valeur moyenne est nulle dans les états de symétrie sphérique) apparaissent comme des corrections au Lamb-shift et à l’interaction de Breit dues à la présence du champ magnétique.
Le deuxième problème abordé dans le paragraphe B concerne le calcul des corrections de recul. Ce calcul nécessite une séparation soignée des variables relatives et de celles du centre de masse. Nous l’avons traité dans l’hypothèse de mouvements d’ensemble lents dans un champ magnétique indépendant du temps *). Dans un champ magnétique externe, l’impulsion de l’atome n’est pas conservative, son état interne dépend de son mouvement (effet Stark motionnel, …) et il n’est pas possible de séparer le hamiltonien de Breit en un hamiltonien interne et une énergie cinétique externe. Toutefois, dans le cas d’atomes neutres, il existe un ensemble d’observables qui commutent avec le hamiltonien, et auxquelles sont associées des constantes du mouvement. Pour chaque valeur de ces constantes, le hamiltonien restant ne dépend plus que des variables internes de l’atome, c’est ce que nous avons appelé la « quasi-séparabilité » de l’équation de Breit. Nous montrons qu’il existe une jauge particulière où ces constantes du mouvement ont une signification physique claire et que la quasi-séparation du hamiltonien de Breit est en fait équivalente à une transformation de jauge.
HAMILTONIEN D’UN ATOME A PLUSIEURS ELECTRONS DANS UN CHAMP MAGNETIQUE EXTERNE : POINT DE VUE CLASSIQUE
L’étude que nous venons de faire du hamiltonien d’un atome à plusieurs électrons plongé dans un champ magnétique extérieur B0 s’est achevée sur un certains nombre d’équations (I-44, I-45) dont la complexité semble interdire toute interprétation physique claire des phénomènes mis en jeu; l’introduction du moment anormal de l’électron s’est en particulier traduite par l’appatition, dans la forme non relativiste, de divers facteurs g, g-1, g-2 dont la signification reste particulièrement obscure. Il nous a donc paru intéressant d’essayer, par une démarche classique, d’éclairer l’origine des divers termes apparaissant dans le hamiltonien (I-44).
Une telle ambition nécessite l’introduction a priori du spin; c’est ce que nous faisons en attribuant aux diverses particules constitutives de l’atome un moment cinétique intrinsèque associé à un moment magnétique intrinsèque par un rapport gyromagnétique caractéristique de la nature de la particule envisagée (électron ou noyau éventuellement). Après ce postulat, la démarche qui conduit à l’équation du mouvement de l’atome se déroule entièrement dans le cadre de l’électromagnétisme classique.
En ce qui concerne les termes ne dépendant pas du spin, le problème ne présente aucune difficulté; il nécessite uniquement l’écriture convenable de l’interaction entre charges en mouvement et conduit directement au hamiltonien classique comprenant les termes d’énergie cinétique classiques et relativistes et les termes d’interaction bien connus : potentiel de Coulomb et interaction magnétique entre les orbites des diverses particules.
L’équation du mouvement des spins est plus délicate à obtenir : le spin n’a une définition « intrinsèque » que dans les référentiels de repos de la particule à laquelle il est attaché. Or la particule étant accélérée, il en résulte que l’évolution du spin dans son référentiel de repos est conditionnée non seulement par les couples extérieurs qui agissent sur lui, mais également par un « couple d’entraînement » lié à la cinématique du référentiel. En l’absence de toute autre cause extérieure, ce couple est responsable d’une précession qui n’est autre que la précession de Thomas.
L’évaluation du couple externe et du couple d’entraînement permet d’écrire l’évolution du spin de la particule i dans les référentiels où elle est au repos ; il suffit alors d’effectuer un changement de repère pour obtenir son évolution dans le référentiel du laboratoire et pouvoir ainsi reconstituer le hamiltonien total de l’atome. Nous consacrons le paragraphe B à l’étude formelle de la précession de Thomas, de l’expression du couple d’entraînement correspondant, et des problèmes de changement de repère .
Il suffit alors, en C, d’évaluer les divers champs électromagnétiques agissant sur les charges et les spins pour obtenir le hamiltonien total de l’atome. Il apparaît ainsi qu’au terme de « Zitterbewegung » près, le hamiltonien obtenu par la démarche classique coïncide exactement avec le hamiltonien déduit de l’équation de Breit généralisée (et ceci jusqu’à l’ordre 1/c3 inclus). De plus, comme nous le verrons alors, la classification en termes dont l’origine est l’interaction directe du spin avec le champ électromagnétique externe et en termes d’origine cinématique (précession de Thomas) éclaire totalement l’apparition du moment anormal dans les divers termes usuels. Nous concluons le paragraphe C par l’examen de chacun des termes du hamiltonien et la discussion de leur origine physique.
Hamiltonien d’un atome à plusieurs électrons sans spin
Dans ce paragraphe, nous établissons très rapidement à l’ordre 1/c 3 le hamiltonien d’un atome formé d’un noyau et d’électrons sans spin. Cette partie s’inspire très largement d’idées et de calculs développés dans les livres de LANDAU (31) (Théorie du champ) et de GROOT et SUTTORP (32) (Foundations of electrodynamics) et nous n’en rapporterons que le principe.
Le problème de l’écriture du hamiltonien d’un atome à plusieurs électrons plongé dans un champ magnétique externe B0 peut se décomposer en trois étapes :
a) la recherche du hamiltonien d’une particule relativiste dans un champ électromagnétique quelconque décrit par le couple de potentiels (A, ∅)
b) l’expression des potentiels appropriés au cas particulier où chaque particule constituante de l’atome est soumise non seulement au champ magnétique externe, mais encore aux champs électriques et magnétiques créés par les autres particules chargées en mouvement
c) et enfin l’écriture du hamiltonien total comme somme des hamiltoniens à une particule (à l’ordre de perturbation où nous travaillons (1/c 3 ou encore &agr; 5mc2), cette hypothèse est totalement justifiée; elle ne le serait plus à l’ordre supérieur).
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Table des matières
INTRODUCTION
PREMIERE PARTIE : HAMILTONIEN ZEEMAN D’UN ATOME A PLUSIEURS ELECTRONS.
ASPECTS THEORIQUES
CHAPITRE I : Hamiltonien d’un atome à plusieurs électrons dans un champ magnétique externe indépendant du temps
A. Equation de Breit et corrections relativistes
a) Equation de Breit généralisée
b) Corrections radiatives
B. La séparation des variables du centre de masse
a) « Quasi-séparabilité » du Hamiltonien de Breit
b) Transformation de jauge
C. Hamiltonien à la limite non relativiste
a) Le hamiltonien réduit exprimé en fonction des variables du laboratoire
b) Le hamiltonien réduit en fonction des variables internes
c) Le hamiltonien d’interaction avec le champ magnétique statique
CHAPITRE II : Hamiltonien d’un atome à plusieurs électrons dans un champ magnétique externe : point de vue classique
A. Hamiltonien d’un atome à plusieurs électrons sans spin
a) Hamiltonien d’une particule sans spin dans un champ magnétique
b) Expression des potentiels et des champs retardés créés par une particule en mouvement
c) Hamiltonien d’une particule sans spin
B. Equations du mouvement du spin. Formulation hamiltonienne
a) Moments cinétiques et magnétiques intrinsèques
b) Equation du mouvement du spin dans un référentiel accéléré. Précession de Thomas
c) Formulation hamiltonienne de l’équation du mouvement du spin
(1) Equation du mouvement et Hamiltonien dans R(t)
(2) Equation du mouvement et Hamiltonien dans le Laboratoire
C. Hamiltonien d’un atome à plusieurs électrons dans un champ magnétique externe
a) Calcul du hamiltonien mag g
b) Calcul du hamiltonien th
c) Hamiltonien total
DEUXIEME PARTIE : EFFET ZEEMAN DE L’HELIUM
CHAPITRE III : Effet Zeeman des niveaux 3&rgr; de l’hélium
A. Structure fine des niveaux 3&rgr; de l’hélium. Symétrie des fonctions d’onde
B. Découplage du hamiltonien d’interaction avec le champ magnétique
C. Analyse tensorielle et forme phénoménologique du hamil- tonien Zeeman des niveaux 3&rgr;
a) Forme tensorielle du hamiltonien d’interaction dans une base |L S J >
b) Le diagramme Zeeman des niveaux 3&rgr;
D. Facteurs de Landé et effet diamagnétique des niveaux 3&rgr; Résultats numériques (n = 2, 3, 4)
a) Calcul des facteurs g’s, g’ L,g’x, SO, S2des niveaux n3&rgr; dans le cadre d’une approximation hydrogénoïde
b) Comparaison avec les résultats obtenus dans le cadre d’une approximation tenant compte des interactions de configuration
c) Comparaison des intégrales radiales de l’effet diamagnétique avec divers résultats expérimentaux
d) Ordre de grandeur des termes négligés
CHAPITRE IV : Effet Zeeman des niveaux 3&rgr; de l’hélium
résultats expérimentaux
A. Principe de l’expérience et problèmes spécifiques liés à la mesure du champ magnétique
a) Principe de l’expérience et schéma d’ensemble
b) Le champ magnétique – c) Gaussmètre à R.M.N.
d) Acquisition des données
B. Erreurs systèmatiques. Discussion de quelques origines éventuelles
a) Mesure du champ
b) Influence du champ motionnel
c) Examen de diverses causes d’erreurs systématiques
C. Résultats expérimentaux
a) Les croisements mesurés
b) Structures fines ou facteurs de Landé
TROISIEME PARTIE : MONTAGE EXPERIMENTAL
CONCLUSION
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