Effet total du champ magnétique sur les fonctions de Bloch

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Réalisations de qubits de spin

Comme discuté précédemment, Loss et Di Vincenzo [15] proposèrent d’utiliser le spin d’un électron dans des boites quantiques de matériaux semiconducteurs pour encoder l’information quantique. La première manipulation de spin dans des matériaux semiconducteurs a été démontrée dans des hétérostructures à base d’arséniure de gallium (GaAs) [18, 19]. Typiquement, les boites quantiques sont construites à partir d’un gaz 2D d’électrons créé aux interfaces GaAs/AlGaAs. Ce gaz est ensuite dépeu-plé en appliquant des tensions négatives appropriées aux grilles métalliques le surplombant. La figure 1.5 a) représente un exemple de boites quantiques définies dans des hétérostructures GaAs/AlGaAs. Un champ magnétique statique modéré B0 0:1 T (fL 0:5 GHz) permet de séparer les états de spin dans ces boites et créer des qubits. Cependant, il est difficile de détecter directement le moment magnétique d’un seul électron car celui-ci est très faible. Néanmoins, il est possible de le mesurer indirectement par l’intermédiaire d’une conversion spin-charge ; l’état de spin peut alors être détecté par la transition d’un électron d’une boite à un réservoir [20] ou encore, dans un système de double boite quantique, d’une boite à l’autre [18, 19]. Ces transitions peuvent en effet être bloquées par le principe d’exclusion de Pauli et donc dépendre du spin de l’électron (blocage de Pauli, voir chapitre 3). Dans ce dernier sys-tème, l’état de spin est mesuré par détection d’un courant entre les boites quantiques [18] ou encore par un changement de conductance dans un transistor à un électron proche de la boite quantique de mesure [19].

FIGURE 1.5 – a) Deux boites quantiques (en cercles pointillés blancs) définies dans des hétérostructures GaAs/AlGaAs par des grilles de déplétion (en gris clair). La conversion spin-charge permet de détécter l’état de spin d’une des deux boites par l’intémédiaire du courant Idot à travers les boites quantiques. b) Oscillations du courant à travers les deux boites quantiques en fonction du temps d’application d’un champ magnétique ac résonant pour différentes puissances d’excitation. Ce courant refléte l’état de spin et ces oscillations sont caractéristiques des oscillations de Rabi. Tirés de la référence [18].

Le qubit est, en pratique, initialisé dans son état fondamental par équilibre avec l’environnement (à champ magnétique de l’ordre du Tesla, et à faible température 100 mK). Son état peut être ensuite manipulé directement par un champ magnétique ac Bac perpendiculaire à B0. Ce champ ac peut être créé par une ligne de courant à proximité du qubit. Cette résonance magnétique de spin (ESR pour Electron Spin Resonance) entraîne des oscillations de Rabi comme illustré dans la figure 1.5 b) pour différentes amplitude de champ magnétique oscillant Bac.

Les qubits de spin dans ces hétérostructures présentent des temps de relaxations T1 supérieurs à la seconde à faible champ magnétique et faible température [21]. Cependant le temps de cohérence T2 dans ces systèmes est très faible, de l’ordre de quelques dizaines de nanosecondes, ce qui limite leur propriétés quantiques. La source principale de cette décohérence est l’interaction hyperfine entre les spins nucléaires des noyaux atomiques du matériau hôte et le spin du qubit [19]. Il est donc pertinent de choisir un matériau présentant une faible interaction hyperfine pour accroître la durée de vie des qubits de spin.

Le couplage spin-orbite peut aussi contribuer à la décohérence et à la relaxation. Cet effet relativiste intrinsèque au matériau, couple en effet le spin des électrons à leur mouvement orbital, donc aux champs électriques. Il s’interprète de façon semi-classique comme l’effet d’un champ magnétique produit par les noyaux en mouvement dans le référentiel de l’électron sur son spin (voir chapitre 2). Le couplage spin-orbite offre néanmoins également des opportunités de manipulation électrique des qubits de spin (voir 1.3.2).

Silicium

Le silicium, un des matériaux les plus répandus en microélectronique classique, est à priori un ex-cellent matériau hôte pour accueillir un qubit de spin. Ce semiconducteur est composé d’un isotope naturel majoritaire (28Si) ne présentant pas de spin nucléaire, et seul l’isotope 29Si, présent en faible quantité dans la nature (5 %), en porte un [22]. Ainsi la décohérence entraînée par le bain environnent de spin nucléaires des atomes de silicium est faible. De plus, il peut être isotopiquement purifié en 28Si, ce qui allonge drastiquement la durée du vie des qubits silicium [23]. Par la suite nous détaillons la structure de bandes et les propriétés du silicium, puis nous présentons les différentes implémentations des qubits de spin dans le silicium.

Cristal de silicium

Le silicium est un matériau semiconducteur de structure cristallographique de type diamant. La figure 1.6 a) représente la maille conventionnelle cubique à faces centrées du silicium, de coté a0 = 0:543 nm, et définit les axes cristallographiques x = [100], y = [010], et z = [001]. La maille primitive se compose de deux atomes de silicium : un premier atome en (0; 0; 0), et un second en a0(x+ y + z)=4. Les vecteurs de la maille primitive du réseau direct ne sont pas orthogonaux entre eux, et sont a1 = a0(y + z)=2, a2 = a0(z + x)=2, et a3 = a0(x + y)=2. Ils sont représentés sur la figure 1.6 b).

FIGURE 1.6 – a) Maille conventionnelle du silicium. Les axes du cristal sont x = [100], y = [010], z = [001]. La structure est de type diamant ; structure cubique à faces centrées ayant deux atomes de silicium par maille primitive positionnés en (0; 0; 0) et en a0(x + y + z)=4. Les doubles traits montrent les liaisons entre les différents atomes de silicium. b) Réseau de Bravais cubique faces centrées associé à la maille du silicium. Les vecteurs de la maille primitive sont a1 = a0(y + z)=2, a2 = a0(z + x)=2, et a3 = a0(x + y)=2 où a0 = 0:543 nm est le paramètre de maille du silicium. Adaptés de la référence [24].

Le réseau réciproque du silicium est de structure cubique centré de paramètre de maille 4 =a0. Nous repérons les vecteurs d’onde dans les axes cristallographiques kx = [100], ky = [010], kz = [001]. La première zone de Brillouin est un octaèdre tronqué (voir figure 1.7) ayant pour centre le point . Les points X [2 =a0kx] et L [ =a0(kx + ky + kz)] sont des points particuliers de bord de zone auxquels nous ferons référence plus tard.

Structure de bandes du silicium

La figure 1.8 représente la structure de bandes du silicium. Elle comporte, comme pour tous les semiconducteurs, une bande de valence et une bande de conduction séparées par une bande interdite. Le maximum de la bande de valence est situé en comme pour tous les semiconducteurs conventionnels. Une des particularités du silicium est sa bande interdite indirecte (c’est à dire que le minimum de la bande de conduction se situe à k 6= 0). Nous allons discuter brièvement la structure de la bande de conduction puis celle de la bande de valance.

Bande de conduction

Le minimum de la bande de conduction du silicium se situe le long le chemin ! X à une distance k0 0:85 2 =a0 du point . Compte tenu de la symétrie de la zone Brillouin [voir figure 1.7], il y a FIGURE 1.7 – Réseau réciproque cubique centré de paramètre de maille 4 =a0 et première zone de Brillouin (octaèdre tronqué) du réseau réel cubique à faces centrées. est le centre de zone. X [2 =a0kx] et L [ =a0(kx + ky + kz)] sont des points en bord de zone. a0 = 0:543 nm pour le silicium. Adapté de la référence [24].

FIGURE 1.8 – Structure de bandes du silicium. Cette structure est tracée le long du chemin L ! ! X de la premère zone de Brillouin. Le maximum de la bande de valence se situe en (l’énergie à ce point est nulle par convention). Le minimum de la bande de conduction se situe sur le chemin ! X à une distance k0 = 0:85 2 =a0 du point . La bande interdite du silicium Eg = 1:17 eV à T = 0 K [25] est donc indirecte. La zone rectangulaire délimitées par des pointillés est agrandie dans la figure 1.10. La structure de bandes est calculée avec une méthode de liaisons fortes sp3d5s par le code TB_Sim du CEA.

six points équivalents au point X. Le minimum de la bande de conduction est donc six fois dégénérés. Ces six vallées sont notées f X; Y; Zg, et correspondent respectivement aux minimums présents en k0kx, k0ky, k0kz (voir figure 1.9)

FIGURE 1.9 – Six minima d’énergie équivalents dans la bande de conduction du silicium massif. Les surfaces de niveaux dans l’espace réciproque sont des ellipsoïdes centrées en k0 = 0:85 2 =a0 sur chaque axe kx, ky et kz.

Autour de ces minima, la structure de bandes peut être décrite par une théorie de masse effective [26] où, par exemple, l’énergie E associée aux vallées X s’écrit : E =~2kx2 +~2(ky2 + kz2) ;(1.10) 2m2m? k où mk = 0:92m0 correspond à la masse effective « longitudinale » d’un électron selon l’axe x, m? = 0:19m0 à la masse effective « tranverse » d’un électron selon les axes y et z, et m0 est la masse d’un électron libre. Ces masses effectives résultent du couplage entre la bande de conduction et les bandes éloignées [26]. Compte tenu de l’expression de l’énergie (1.10), et de l’anisotropie des masses, les surfaces d’énergie constante dans la première zone de Brillouin sont des ellipsoïdes centrées sur chaque minimum et dont le grand axe est aligné selon le vecteur d’onde k0 correspondant (voir la figure 1.9).

Dans les nanostructures, le confinement structural lève la dégénérescence des vallées. Si la direction de confinement est z = [001] par exemple, alors les deux états de vallées de plus basse énergies sont Z. La dégénérescence résiduelle entre les vallées Z est en général levée de quelques dizaines de eV à quelque meV par les champs électriques à l’interface Si/SiO2. La séparation entre les vallées Z peut donc être comparable à l’énergie Zeeman (1.4). Ainsi, le degré de liberté « vallée » peut être limitant puisqu’il est parfois difficile d’isoler proprement les deux états de spin du qubit des excitations de vallées. Cependant, le couplage spin-orbite est faible dans la bande de conduction, et limite donc la décohérence, mais aussi les opportunités de manipuler électriquement le spin d’un électron.

Bandes de valence

Précédemment, nous avons mentionné que le maximum de la bande de valence est atteint en . En ce point, cette bande est six fois dégénérée en l’absence de couplage spin-orbite (les fonctions de Bloch étant en première approximation des combinaisons liantes des orbitales 3px, 3py, et 3pz du silicium toutes équivalentes dans la structure cubique). En prenant en compte le couplage spin-orbite, elle se sépare en deux bandes dégénérées et une bande plus profonde distante de so 44 meV. Ces deux premières bandes se nomment trous lourds et trous légers, et la troisième se nomme bande de split off. La figure 1.10 représente ces différentes bandes. Les bandes de valence peuvent être décrites autour de en utilisant des méthodes k p qui sont des généralisations de la masse effective [éq. 1.10]. Le chapitre 2 est consacré à ces méthodes. À l’inverse de la bande de conduction, le couplage spin-orbite est fort dans la bande de valence. Au cours de cette thèse, nous allons montrer comment exploiter ce couplage pour manipuler électriquement le spin d’un trou.

Certaines des propriétés du silicium sont exploitées pour définir des qubits de spin. Par la suite, nous allons discuter des différents qubits de spin qui ont été implémentés dans le silicium.

FIGURE 1.10 – Structure du maximum des bandes de valence du silicium. Cette figure est un agrandis-sement de l’encadré en pointillés de la figure 1.8. Nous notons ! X la direction vers le point X (idem avec le point L).

Qubit de spin silicium

De façon similaire aux dispositifs basés sur des hétérostructrures GaAs/AlGaAs décrits dans le pa-ragraphe 1.1.4, des boites quantiques peuvent être obtenues par déplétion de charges à partir d’un gaz 2D d’électrons dans des hétérostructures Si/SiGe [27, 28]. Là encore, la manipulation de l’état d’un qubit a été démontrée dans ces systèmes avec des temps de cohérences T2 de deux ordres de grandeurs plus grand que ceux dans les hétérostructures GaAs/AlGaAs [28] compte tenue de la faible interaction hyperfine du silicium avec le spin du qubit.

Manipulation magnétique de spin

Dans les années 2010, une équipe australienne à Sydney (UNSW pour University of New South Wales) a démontré l’implémentation d’un qubit de spin à partir d’un électron lié à un donneur de phos-phore implanté dans un substrat de silicium [29, 30]. Dans ces expériences, le donneur de phosphore et un électron sont couplés à un transistor à un électron (SET pour Single Electron Transistor) servant à la fois de détecteur de charge pour la mesure du spin et de réservoir d’électrons. La figure 1.11 a) représente un donneur implanté intentionnellement dans un substrat de silicium. Un champ magnétique B0 est appliqué au dispositif, ce qui permet de séparer les deux états de spin de l’électron. L’état de spin électronique peut être mesuré en positionnant le potentiel chimique du SET, situé à proximité du donneur, entre les deux niveaux « » » et « # » du qubit [voir figure 1.11 b)]. Le courant à travers le SET dépend de son environnement électrostatique, et, en particulier, de l’occupation du donneur. La figure 1.11 b) représente ce courant source-drain ISET en fonction de l’état de spin du qubit où seul l’électron « » » sur le donneur peut transiter vers le SET, entraînant un pic de courant qui perdure jusqu’à ce qu’un nouvel électron se lie au donneur. Dans ce système, une ligne de courant ESR permet de créer un champ magnétique ac qui, en résonance, entraîne des rotations de spin. Aussi des oscillations de Rabi ont été démontrées dans ce dispositif.

Cependant, il est difficile de contrôler des qubits individuellement avec un champ magnétique ac (ce champ étant généralement non local). De plus, la production de ce champ oscillant nécessite la présence d’une ligne de courant « volumineuse » pour le contrôle d’un seul spin. Cette ligne peut entre autres dissiper une certaine quantité de chaleur au voisinage du qubit, ce qui dégrade ses propriétés. À l’opposé, un champ électrique ac local est facilement obtenu en faisant varier les tensions de grilles ciblant le spin à manipuler. Ce champ électrique ac peut engendrer des oscillations de spins via une interaction spin-orbite [31] ou via un gradient de champ magnétique [27, 32, 33]. La manipulation électrique offre donc des solutions intéressantes pour le contrôle d’un grand nombre de qubits sur une puce.

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Table des matières

1 Introduction
1.1 Système quantique à deux niveaux : le qubit
1.1.1 Dynamique intrinsèque d’un qubit de spin
1.1.2 Oscillations cohérentes de spin
1.1.3 Perte de l’information
1.1.4 Réalisations de qubits de spin
1.2 Silicium
1.2.1 Cristal de silicium
1.2.2 Structure de bandes du silicium
1.3 Qubit de spin silicium
1.3.1 Manipulation magnétique de spin
1.3.2 Manipulation électrique de spin
1.4 Conclusions
1.5 Objectifs de la thèse
2 Méthodes théoriques et numériques
2.1 Description empirique : la méthode k p
2.1.1 Bandes de valence sans spin
2.1.2 Bandes de valence avec couplage spin-orbite
2.1.3 Nanostructure : fonctions enveloppes
2.2 Effet du champ magnétique
2.2.1 Effet du potentiel vecteur
2.2.2 Effet Zeeman
2.2.3 Effet total du champ magnétique sur les fonctions de Bloch
2.3 Physique numérique : dispositif réel
2.3.1 Présentation d’une géométrie
2.3.2 Fonctionnement du code TB_Sim
2.4 Conclusions
3 Expériences sur les qubits de trou
3.1 Double boite quantique
3.1.1 Remplissage des boites quantiques
3.1.2 Courant drain-source
3.2 Dispositif expérimental
3.2.1 Manipulation électrique de spin
3.2.2 Contrôle électrique : oscillations cohérentes de spin
3.3 Anisotropie des facteurs gyromagnétiques
3.3.1 Formalisme de la matrice gyromagnétique
3.3.2 Caractérisation expérimentale du tenseur gyromagnétique
3.4 Anisotropie de la fréquence de Rabi
3.4.1 Mécanismes des oscillations de Rabi
3.4.2 Caractérisation expérimentale de la fréquence de Rabi
3.5 Conclusions
4 Formalismes de calcul de la fréquence de Rabi et applications
4.1 Formalismes de calcul de la fréquence de Rabi
4.1.1 Présentation générale
4.1.2 Traitement du champ magnétique en perturbation
4.1.3 Formalisme de la matrice gyromagnétique
4.2 Effets des symétries sur la matrice gyromagnétique et la fréquence de Rabi
4.2.1 Forme de la matrice gyromagnétique
4.2.2 Anisotropie de la fréquence de Rabi
4.3 Application à un qubit spin-orbite de trou
4.3.1 Dispositif SOI et modèle
4.3.2 Fréquence de Rabi d’un qubit de trou
4.3.3 Interprétation
4.3.4 Analyses des facteurs gyromagnétiques
4.3.5 Comparaison avec les données expérimentales
4.4 Conclusions
5 Impact du matériau sur les performances du qubit
5.1 Modèle simplifié pour une boite quantique
5.1.1 Structure et hamiltonien
5.1.2 Base minimale pour les fonctions enveloppes
5.2 Fréquence de Rabi
5.2.1 Équations générales ..
5.2.2 … dans la base minimale
5.3 Validation des hypothèses du modèle
5.3.1 Traitement du champ électrique statique
5.3.2 Limite de la couche mince
5.3.3 Base minimale
5.3.4 Intensité du couplage spin-orbite
5.3.5 Limitations du modèle
5.4 Physique des oscillations de Rabi
5.4.1 Ingrédients nécessaires aux oscillations de Rabi
5.4.2 Orientation du champ magnétique
5.5 Effet de l’orientation et choix du matériau
5.6 Conclusions
6 Interaction spin-phonon
6.1 Temps de relaxation assisté par des phonons
6.1.1 Expression générale
6.1.2 Structure de bandes isotropes des phonons
6.1.3 Application à une méthode k p six bandes
6.2 Application à un qubit spin-orbite de trou sur SOI
6.2.1 Effet de la fréquence de Larmor
6.2.2 Termes dominants
6.2.3 Effet du champ électrique
6.2.4 Effet de l’orientation du champ magnétique
6.2.5 Retour sur le modèle de la boite quantique
6.2.6 Limite du modèle
6.3 Conclusions
7 Conclusions et perspectives
7.1 Conclusions générales
7.2 Code développé
7.3 Perspectives
Bibliographie
Annexe A Paramètres de la méthode k p
Annexe B Hamiltonien effectif : rotation de la base de spin
Annexe C Résonance électrique de spin iso-Zeeman dans un potentiel harmonique
Annexe D Équivalence entre le formalisme de la matrice ^g et la série de perturbation
Annexe E Calcul numérique de la dérivée de la matrice ^g
Annexe F Théorie des groupes pour les matrices ^g et ^g0
Annexe G Contraintes et fréquence de Rabi pour un trou léger
Annexe H Décomposition de la fréquence de Rabi
Résumé/Abstract