EDP modélisant le prix d’un call à volatilité stochastique -Modèle Heston

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Taux de change

Le taux de change d’une devise (une monnaie) est le cours (autrement dit le prix) de cette devise par rapport à une autre. On parle aussi de la parité d’une monnaie.
Les taux de change, cotés sur les marchés des changes, varient en permanence ; ils varient également en fonction de la place de cotation.

Flux …nancier

Le ‡ux …nancier s’exerce entre di¤érents secteurs institutionnels, c’est la valeur de ventes et d’achats dans une période comptable, le plus souvent un trimestre ou une année.

Marché …nancier

Les marchés …nanciers, (en anglais, on dit de plus en plus : capital markets, soit marchés de capitaux, au lieu de …nancial markets), sont les marchés où sont e¤ectuées les transactions sur des actifs …nanciers et de plus en plus, leurs produits dérivés.

Actif …nancier

Un actif …nancier est un titre ou un contrat, généralement transmissible et négociable (par exemple sur un marché …nancier), qui est susceptible de produire à son détenteur des revenus et/ou un gain en capital, en contrepartie d’une certaine prise de risque.

Produit dérivé

Un produit dérivé ou contrat dérivé ou encore derivative product est un instrument …nancié : dont la valeur ‡uctue en fonction de l’évolution du taux ou du prix d’un produit appelé sous-jacent ; qui ne requiert aucun placement net initial ou peu signi…catif ; dont le réglement s’e¤ectue à une date future.
Il s’agit d’un contrat entre deux parties, un acheteur et un vendeur, qui …xe des ‡ux …nanciers futurs fondés sur ceux d’un actif sous-jacent, réel ou théorique, généralement …nancier.

Notions fondamentales sur le langage …nancier 7

Forward

Un contrat forward est un contrat à terme, il est donc considéré comme un produit dérivé (…nance).
Il s’agit d’un accord d’acheter ou de vendre un actif à un prix et une date future précisée dans le contrat. En fait, la dé…nition du forward est identique à celle des contrats futures à la di¤érence prés qu’ils sont négociés de gré à gré, entre banques et institutions …nancières alors que les contrats de futures sont négociés sur un marché organisé, localisé à un endroit bien précis.

Contrat à terme

Un contrat à terme (future en anglais) est un engagement ferme de livraison standardisé, dont les caractéristiques sont connues à l’avance, portant sur : une quantité déterminée d’un actif sous-jacent précisément dé…ni, à une date, appelée échéance, et un lieu donné et négocié sur un marché à terme organisé. Les contrats à terme sont les instruments …nanciers les plus traités au monde.

Swap

Le swap (de l’anglais to swap : échanger) ou l’échange …nancier est un produit dérivé …nancier. Il s’agit d’un contrat d’échange de ‡ux …nanciers entre deux parties, qui sont généralement des banques ou des institutions …nancières.

Option

Une option est un produit dérivé, en …nance de marché, qui donne le droit, lorsqu’on l’achate, ou l’obligation, lorsqu’on la vend, d’acheter ou de vendre un actif …nancieré un prix …xé à l’avance (strike) pendant un temps donné ou à une date …xée, dans une optique de spéculation ou d’assurance. Il existe également des options dites exotiques qui obéissent à des régles plus complexes, les stock options, en tant que forme de rémunération.

Notions fondamentales sur le langage …nancier 8

Warrant

Un warrant est un contrat transférable qui confère à son détenteur le droit, et non l’obliga-tion, d’acheter ou de vendre une quantité donnée d’un actif spéci…que, à un prix déterminé d’avance, à la date d’échéance du contrat (warrant européen) ou en tout temps jusqu’à cette date (warrant américain).

Actif sous-jacent

On appelle actif sous-jacent tout actif sur lequel porte une option ou plus largement un produit dérivé. Il peut être …nancier (actions, obligations, bons du Trésor, contrats à terme, devises, indices boursiers…) ou physique (matiéres premiéres agricoles ou minérales…).
L’actif sous-jacent est l’actif réel sur le prix contractuel duquel porte le produit dérivé concerné. Il désigne en e¤et l’instrument support d’un contrat à terme dont la qualité est strictement dé…nie.

Volatilié

En …nance, la volatilité est une mesure de l’ampleur des variations du cours d’un actif …nan-cier. Elle sert de paramètre de quanti…cation du risque de rendement et de prix d’un actif …nancier. Lorsque la volatilité est élevée, l’espérance de gain est plus importante, mais le risque de perte aussi. C’est par exemple le cas de l’action d’une société plus endettée, ou disposant d’un potentiel de croissance plus fort et donc d’un cours plus élevé que la moyenne. Si la croissance des ventes est moins forte qu’espérée ou si l’entreprise peine à rembourser sa dette, la chute du cours sera trés forte.
La notion est plus souvent utilisée pour les oscillations à court terme que pour les grandes ‡uctuations boursières sur plusieurs années, souvent quali…ées (bien qu’irrèguliéres dans leur fréquence) de cycles boursiers. En réalité, le terme volatilité concerne aussi bien le court terme que le moyen et long terme. Il ne caractérise pas l’indécision du marché, mais l’ampleur des variations de cours qu’il peut subir, à la hausse comme à la baisse, les variations de court terme n’étant que des anticipations des variations à moyen et long terme.
Les traders sont appelés les risk player en ce sens qu’ils parient notamment sur la volatilité future.

Notions fondamentales sur le langage …nancier 9

Trader

Parfois appelés » golden boy », les traders sont des négociateurs de valeurs engagés par une banque, une société de bourse, une société d’investissement. Spéculateurs …nanciers, …ns analystes économiques, ils ont une mission principale : anticiper les ‡uctuations permanentes du cours de valeurs boursières pour engendrer des pro…ts.
Description des tâches et conditions de travail
Le métier de trader est une activité professionnelle liée aux échanges internationaux.
Elle consiste à gérer du risque …nancier en jouant sur des écarts de cours, le plus souvent à court terme.
C’est un métier stressant et à haut risque. En e¤et, le trading demande une réactivité per-manente puisqu’il faut décider en temps réel de l’achat ou de la vente d’actions, de devises, d’obligations ou d’options. Concrètement, le trader doit acheter aux uns pour revendre à d’autres.
Pour y parvenir, il est armé de plusieurs téléphones, de fax, de télex, de micro-ordinateurs qui délivrent des informations en temps réel et permettent de surveiller l’évolution et les ‡uctuations des marchés internationaux. Il jauge et apprécie les risques, …xe ou propose parfois le prix des produits et négocie, minute par minute, les transactions : achat ou vente. Il posséde une trés bonne maitrise du fonctionnement de l’économie, jongle avec les modèles mathématiques les plus sophistiqués, les statistiques et l’informatique, sans oublier une par-faite connaissance de l’anglais. Le trader a également des compétences administratives et d’excellentes notions de gestion.
Il est résistant physiquement et nerveusement car les salles de marchés dans lesquelles il travaille sont toujours en e¤ervescence même si elles sont moins bruyantes qu’autrefois. Les journées de travail sont longues puisque l’ouverture des bourses des marchés internationaux se succédent tout au long de la journée (Tokyo, Frankfort, Paris, Londres , New York).
En général, il travaille dans les grandes villes, où sont implantées les bourses de valeurs, les grandes entreprises, les sociétés de bourse, les banques, etc.

Notions fondamentales sur le langage …nancier 10

Salaires et revenus
Le salaire d’un trader est trés variable. Il se compose d’une rémunération de base à laquelle on ajoute une prime/rétribution annuelle proportionnelle aux pro…ts obtenus. En termes de salaire la fourchette retenue se situe entre 4 000 et 6 000 e par mois.
Evolution professionnelle
Le trader peut se spécialiser dans la gestion d’actions, de bons du Trésor, de devises (cam-biste), de matières premières ou énergétiques. Un trader peut devenir » market maker », ou » teneur de marché ». Cela implique une présence active et permanente sur le marché. Il doit produire des prix compétitifs en toutes circonstances.
Un trader peut aborder d’autres métiers de la …nance et de la Bourse : gestionnaire de portefeuille, trésorier d’entreprise. . . Il peut également travailler au » back o¢ ce » et contréler l’exécution des ordres, l’encaissement des ventes et détecter toute anomalie juridique ou comptable.
Etudes et formations
Pour devenir trader, il faut être diplômé d’une école de commerce ou de gestion, ou titulaire d’un 3e cycle universitaire en …nances, gestion, droit ou économie. Une parfaite maîtrise d’une ou plusieurs langues étrangéres est indispensable. Quelque soit votre pro…l, pour vous aventurer dans une salle de Front O¢ ce une solide formation initiale en mathématiques ainsi qu’une expérience dans le secteur bancaire ou boursier con…rmée par une formation professionnelle complémentaire sont des atouts majeurs.

Processus aléatoire

Un processus aléatoire X est une famille de variables aléatoires indexée par un sous-ensemble de R ou N, souvent assimilé au temps. C’est donc une fonction de deux variables, le temps et l’état du monde !. L’ensemble des états du monde est traditionnellement noté . L’applica-tion qui à un ! …xé associe X(!; t), t variable, est appelée trajectoire du processus ; c’est une simple fonction du temps (sans caractére aléatoire) qui représente la réalisation particuliére du processus sous l’occurence !. Pour un t donné , X(!; t) est une simple variable aléatoire dont la valeur exacte n’est connue qu’en t. Le mouvement brownien est un exemple parti-culiérement simple de processus aléatoire indexé par R. Il peut-être dé…ni comme l’unique processus Wt à accroissement gaussien tel que la corrélation entre Wt et Ws soit min(t; s). On peut également le voir comme la limite d’une marche aléatoire lorsque le pas de temps tend vers 0.

Filtration

Une …ltration Ft; t 2 N, est une famille de sous-tribus emboitées de , qui peut s’interpréter comme l’information disponible qui évolue au cours du temps. Ainsi, une …ltration est une famille de sigma-algèbres, indexée par le temps t 0 telle que Fs Ft si s t, ce qui re‡ète l’augmentation de l’information disponible.

Mouvement brownien

Le mouvement brownien, ou processus de Wiener est une description mathématique du mou-vement aléatoire d’une grosse particule immergée dans un ‡uide et qui n’est soumise à aucune autre interaction que des chocs avec les petites molécules du ‡uide environnant. Il en résulte un mouvement trés irrégulier de la grosse particule, qui a été décrit pour la premiére fois en 1827 par le botaniste Robert Brown en observant des mouvements de particules à l’intérieur de grains de pollen de Clarkia pulchella (une espéce de ‡eur sauvage nord-américaine), puis de diverses autres plantes.

La description physique la plus élémentaire du phénomène est la suivante :

entre deux chocs, la grosse particule se déplace en ligne droite avec une vitesse constante, la grosse particule est accélérée lorsqu’elle rencontre une molécule de ‡uide ou une paroi.

Ce mouvement permet de décrire avec succés le comportement thermodynamique des gaz (théorie cinétique des gaz), ainsi que le phénomène de di¤usion. Il est aussi trés utilisé dans des modèles de mathématiques …nancières.

Brown aperçut dans le ‡uide situé à l’intérieur des grains de pollen (le mouvement brownien n’a pas été observé sur les grains de pollen eux-mêmes comme souvent mentionné), de trés petites particules agitées de mouvements apparemment chaotiques. Ceux-ci ne pouvaient s’ex-pliquer par des écoulements, ni par aucun autre phénomène physique connu. Dans un premier temps, Brown les attribua donc à une activité vitale. L’explication correcte du phénomène viendra plus tard. Brown n’est pas exactement le premier à avoir fait cette observation. Il si-gnale lui-même que plusieurs auteurs avaient suggéré l’existence d’un tel mouvement (en lien avec les théories vitalistes de l’époque). Parmi ceux-ci, certains l’avaient e¤ectivement décrit. On peut mentionner en particulier l’abbé John Turberville Needham (1713-1781), célébre à son époque pour sa grande maîtrise du microscope.

La réalité des observations de Brown a été discutée tout au long du XXe siécle. Compte tenu de la médiocre qualité de l’optique dont il disposait, certains ont contesté qu’il ait pu voir véritablement le mouvement brownien, qui intéresse des particules de quelques micromêtres au plus. Les expériences ont été refaites par l’Anglais Brian Ford au début des années 1990, avec le matériel employé par Brown et dans les conditions les plus semblables possibles. Le mouvement a bien été observé dans ces conditions, ce qui valide les observations de Brown.

Notion de processus stochastique

La di¢ culté de modélisation du mouvement brownien réside dans le fait que ce mouvement est aléatoire et que statistiquement, le déplacement est nul : il n’y a pas de mouvement d’en-semble, contrairement à un vent ou un courant. Plus précisément, à un instant donné, la somme vectorielle des vitesses de toutes les particules s’annule (il n’y a pas de mouvement d’ensemble), si on suit une particule donnée au cours du temps, le barycentre de sa trajectoire est son point de départ, elle » virevolte » autour du même point. Il est di¢ cile dans ces condi-tions de caractériser le mouvement. La solution fut trouvée par Louis Bachelier et présentée dans sa thèse soutenue le 29 mars 1900. Il démontra que ce qui caractérise le mouvement, p ce n’est pas la moyenne arithmétique des positions mais la moyenne quadratique hX2i, si x(t) est la distance de la particule à sa position de départ à l’instant t, alors : 1Zt X2 =x2 ( ) d(1.14)

On démontre que le déplacement quadratique moyen est proportionnel au temps : X2 = 2dDt(1.15)

où d est la dimension du mouvement (linéaire, plan, spatial), D le coe¢ cient de di¤usion, et t le temps écoulé.

Dé…nition mathématique du mouvement brownien

On peut dé…nir de façon formelle un mouvement brownien : c’est un processus stochastique dont les accroissements disjoints sont indépendants et tels que Bt+s Bt suit une loi normale de moyenne nulle et de variance s.

Cette dé…nition permet de démontrer des propriétés du mouvement brownien, comme par exemple sa continuité (presque sûre), le fait que presque sûrement, la trajectoire n’est di¤é-rentiable nulle part, et de nombreuses autres propriétés.

On pourrait également dé…nir le mouvement brownien par rapport à sa variation quadratique moyenne. Cette dé…nition, classiquement appelée théoréme de Levy, donne la caractérisation suivante : un processus stochastique à trajectoires continues dont la variation quadratique est t est un mouvement brownien. Ceci se traduit mathématiquement par le fait que pour une …ltration donnée (Bt)(t 0) et (Bt2 t)(t 0)sont des martingales.

Equation di¤érentielle stochastique (EDS)

Une équation di¤érentielle stochastique EDS est une généralisation de la notion d’équation di¤érentielle prenant en compte un terme de bruit blanc. Les EDS permettent de modéliser des trajectoires aléatoires, tels des cours de bourse ou les mouvements de particules soumises à des phénomènes de di¤usion. Elle permettent aussi de traiter théoriquement ou numériquement des problèmes issus de la théorie des équations aux dérivées partielles.
Les domaines d’application des EDS sont vastes : physique, biologie, dynamique des populations, écologie, mathématiques …nancières, traitement du signal, théorie du contrôle, …
Une équation di¤érentielle stochastique EDS est la donnée d’une équation du type dX = (X; t)dt + (X; t)dW t (1.29)
où X est un processus aléatoire inconnu, que l’on appelle communément équation de di¤usion. Intégrer l’EDS, c’est trouver l’ensemble des processus véri…ant la di¤usion entière.

Modèle de Elias M. Stein & Jeremy C.Stein

Introduction

Dans l’article de Stein et Stein[24], une formule fermée est obtenue pour la distribution du sous-jacent, qui s’avére être un mélange de distributions log-normales. Les prix de calls déduits de cette formule présentent une forme en U de volatilité proche des phénomènes de marché. Ce U n’est pas capturé par le modèle de Black Scholes, d’où l’intérêt d’utiliser les modèles à volatilité stochastique, ils ont étudié la distribution des prix des actions, dans le cas où les prix S des sous-jacents suivent un mouvement brownien géométrique et la volatilité suit un processus de Ornstein-Uhlenbeck arithmétique. On considére les dynamiques de S et dSt = Stdt + StdWt1(3.17) d t = ()dt + kdWt2(3.18)

Avec W 1 et W 2 deux mouvements browniens non corrélés, le taux de retour à la moyenne, k un facteur constant.

Les auteurs cherchent à évaluer des options dans un monde où la volatilité suit un processus autorégressif . Ce qui caractérise ce modèle, est le retour à la moyenne pour que la vola-tilité reste en général au voisinage des mêmes niveaux. Empiriquement, on constate que les probabilités de volatilité négatives sont trés faibles donc négligeables.

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Table des matières

Introduction
1 Rappel
1.1 Notions fondamentales sur le langage …nancier
1.1.1 Action
1.1.2 Obligation
1.1.3 indice boursier
1.1.4 Taux de change
1.1.5 Flux …nancier
1.1.6 Marché …nancier
1.1.7 Actif …nancier
1.1.8 Produit dérivé
1.1.9 Forward
1.1.10 Contrat à terme
1.1.11 Swap
1.1.12 Option
1.1.13 Warrant
1.1.14 Actif sous-jacent
1.1.15 Volatilié
1.1.16 Trader
1.1.17 Stratégie et marché
1.2 Notions fondamentales sur les probabilités
1.2.1 Variable aléatoire
1.2.2 Densité de probabilité
1.2.3 Espérance mathématique
1.2.4 Variance
1.2.5 Covariance
1.2.6 Loi normalle gaussienne
1.2.7 Loi Log-normale
1.3 Notions fondamentales sur le calcul stochastique
1.3.1 Processus aléatoire
1.3.2 Filtration
1.3.3 Mouvement brownien
1.3.4 Notion de processus stochastique
1.3.5 Dé…nition mathématique du mouvement brownien
1.3.6 Martingale
1.3.7 Martingale dans N.
1.3.8 Exemple de martingale à temps continu
1.3.9 Processus adapté
1.3.10 Intégrale d’Itô
1.3.11 Processus d’Itô
1.3.12 Intégrale de Wiener et intégrale stochastique
1.3.13 Lemme d’Itô
1.3.14 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck
1.3.15 Equation di¤érentielle stochastique (EDS)
1.3.16 Volatilité stochastique
1.3.17 Matrice stochastique
1.3.18 Méthode Monté-Carlo
2 Etude du modèle Black & Scholes
2.1 Volatilité
2.1.1 Volatilité implicite
2.1.2 « Smile » de la volatilité
2.1.3 Exemple
2.1.4 Conclusion
3 Etude de quelques modèles Financiers à volatilité stochastique
3.1 Modèle de Hull et White
3.1.1 Déscription du modèle
3.1.2 Conclusion
3.2 Modèle de Elias M. Stein & Jeremy C.Stein
3.2.1 Introduction
3.2.2 Intégration des équations du modèle
3.2.3 Prix d’un call européen par la formule fermée
3.3 Modèle Jean-Pierre Fouque, George Papanicolaou et K. Ronnie Sircar
3.3.1 Décription du modèle
3.3.2 Prix d’une option europenne
4 EDP modélisant le prix d’un call à volatilité stochastique -Modèle Heston
4.1 Modélisation d’une option à volatilité stochastique
4.1.1 Conditions aux limites
4.2 Nouvelle Equation Di¤érentielle
4.2.1 Nouvelles conditions aux limites et nouveau domaine
4.3 Résolution de L’EDP par la méthode des di¤érences …nies
4.3.1 Schéma numérique
4.3.2 Conditions aux limites du schéma numérique
4.3.3 Résultats numériques et commentaires
4.3.4 Conclusion
5 Conclusion générale
Conclusion et perspectives
Bibliographie