Ecoulement de Jeffery-Hamel

Les écoulements de Jeffery-Hamel constituent une famille de solutions exactes des équations de Navier-Stokes pour un écoulement permanent radial bidimensionnel d’un fluide visqueux incompressible à partir d’une ligne source à l’intersection de deux parois planes rigides.

L’intérêt de cet écoulement radial engendré par une source (divergent) ou par un puits (convergent) est fondamental. Bien qu’il ait été proposé et étudié, en premier, par Jeffery (1915) et indépendamment par Hamel (1916), et décrit ensuite dans plusieurs manuels par de nouvelles contributions apportées par plusieurs autres auteurs, l’écoulement de Jeffery-Hamel n’est pas largement compris. La théorie classique, d’après Jeffery-Hamel des solutions exactes des équations de Navier Stokes qui décrivent l’écoulement radial bidimensionnel permanent d’un fluide visqueux incompressible, était raffinée depuis des années (cf. Batchelor, 1967, section 5.6) [37], et Fraenkel (1962) [10] avait classé définitivement toutes les solutions. Il existe une infinité de solutions pour chaque paire de valeurs des principaux paramètres adimensionnels, à savoir le demi-angle ? entre les deux parois inclinées et le nombre de Reynolds ?? = ?/2?, où ? est le flux par unité de longueur de la ligne de source à l’intersection des parois et ? est la viscosité cinématique du fluide.

Certains problèmes complexes avaient surgi de l’examen de la stabilité de l’écoulement de Jeffery-Hamel. Les expériences de laboratoires et des simulations numériques ne sont pas faciles. Aussi, le progrès dans le développement de la théorie a été lent. Bien que la théorie de la stabilité linéaire des écoulements de Jeffery-Hamel soit étroitement analogue à celle des écoulements plans parallèles, les variables ne sont pas séparables de sorte qu’il semble ne pas y avoir un problème à valeur propre et à différentielle-ordinaire analogue au problème d’OrrSommerfeld.

L’écoulement de Jeffery-Hamel est aussi beaucoup plus important qu’une simple famille dans la collection mathématique des solutions exactes des équations de Navier-Stokes parce qu’il peut être généralisé et employé dans une variété de contextes. Il peut être utilisé pour approcher localement l’écoulement permanent dans un canal bidimensionnel avec parois de faible courbure (Fraenkel 1962) [10]. Pour voir cela, considérons l’écoulement permanent le long d’un canal qui a, dans le plan (?, ?), des parois ? = ?(?) et ? = −?(?). Supposons qu’il y ait un flux permanent ? donné dans la direction ? positive. A présent, les équations des parois peuvent être de manière équivalente exprimées par ? = ?(?) et ? = −?(?), où tan ? ? = ?′ (?), tan ? ? = ?′(?) ; et ? est défini comme l’angle que fait la tangente à la paroi à la position ? avec l’axe ? positif. Alors il peut être vu que d’après la fig.1 [1], le canal ressemble localement à la configuration de l’écoulement de Jeffery-Hamel si ? et ? varient lentement, i.e. si la courbure des parois est faible.

Sobey et Drazin (1986) [18] n’avaient pas seulement utilisé l’écoulement de JefferyHamel pour décrire l’écoulement du canal mais avaient aussi simplifié la présentation de l’écoulement de Jeffery-Hamel par l’emploi des diagrammes de bifurcation et avaient suggéré que tout écoulement avec distribution de vitesse radiale des deux signes est instable. Cela les conduit à douter de la validité de l’emploi de l’écoulement de Jeffery-Hamel pour l’approximation dans un canal avec des parois de faible courbure partout où il n y a pas un écoulement de Jeffery-Hamel approprié avec vitesse radiale d’un seul signe. Ils avaient, en réexaminant les solutions à la lumière de la théorie de la bifurcation, reconnu que, lorsque ?? croît à partir de zéro pour l’angle ? fixé de la solution primaire, qui est symétrique autour de l’axe de l’écoulement et correspond à l’écoulement de Stokes lorsque ?? = 0, en général, évolue jusqu’à ce qu’il y est une bifurcation de la fourchette subcritique, où la symétrie est brisée, à une certaine valeur de ??, appelée ??2 ? par Fraenkel. Il existe une autre bifurcation de l’écoulement primaire au point de retour à ?? = ??3 ? > ??2 ? , où la symétrie est préservée. Pour ?? > ??3 ? il n y a pas d’expansion continue de l’écoulement primaire. Sobey et Drazin avaient déduit que l’écoulement primaire est instable pour ?? > ??2 ? , et que toutes les autres solutions de Jeffery-Hamel sont toujours instables.

Ecoulement de Jeffery-Hamel 

L’écoulement de Jeffery-Hamel auquel nous nous sommes particulièrement intéressés, constitue une famille de solutions exactes des équations de Navier Stokes régissant les mouvements radiaux bidimensionnels permanents d’un fluide visqueux incompressible à partir d’une ligne source à l’intersection de deux parois planes rigides formant un angle 2α entre-elles .

Stabilité linéaire dans le temps de l’écoulement de Jeffery-Hamel 

La stabilité du mouvement d’un fluide fait, depuis longtemps, l’objet d’études approfondies. Dans de très nombreux secteurs de l’industrie l’amélioration du rendement de toute machine traversée par un fluide nécessite une bonne connaissance des zones de stabilité et d’instabilité du mouvement de ce fluide dans les conduits de cette machine. En général, l’étude de la stabilité linéaire de tel ou tel mouvement vis-à-vis de perturbations infinitésimales se fait suivant le schéma ci après. On superpose à la solution stationnaire, ?(?, ?, ?), qui représente le champ de base d’une petite perturbation non stationnaire, ?(?, ?, ?,?) prise de manière que le mouvement résultant, ? = ? + ?, satisfaire aux équations du mouvement.

La condition à la limite est que u soit nulle sur les surfaces solides fixes, de sorte que u vérifie un système d’équations différentielles linéaires avec des coefficients qui sont fonctions des seules coordonnées mais non du temps. La solution générale de telles équations peut être représentée par la somme de solutions particulières où ? dépend du temps par l’intermédiaire d’un facteur de la forme ?−??? . Les « fréquences » ω elles mêmes des perturbations ne sont pas arbitraire, mais sont déterminées après résolution des équations perturbées avec les conditions aux limites correspondantes. Ces « fréquences » sont en général complexes. Mais s’il est de ω de partie imaginaire positive alors ?−??? croîtra indéfiniment au cours du temps. En d’autres termes, une fois apparues de telles perturbations iront croissant, c’est-à-dire que le mouvement sera instable vis-à-vis de ces perturbations. La stabilité linéaire du mouvement exige que toutes les ’’fréquences’’ possibles ω aient leurs parties imaginaires négatives. S’il en est ainsi les perturbations s’amortiront exponentiellement au cours du temps .

Table des matières

Introduction générale
Chapitre I Ecoulement de Jeffery-Hamel
I.1. Introduction
I.2. Solutions exactes des équations de Navier-Stokes de l’écoulement de Jeffery-Hamel
I.2.1.Traitement analytique
I.2.2.Traitement numérique
I.2.2.1. Résultats et discussion
I.3. Conclusion
Chapitre II Stabilité linéaire dans le temps de l’écoulement de Jeffery-Hamel
II.1.Introduction
II.2.Mise en équation
II.3.Traitement mathématique de la stabilité linéaire. Cas ?? = 0
II.4.Equation adimensionnelle modifiée de la perturbation
II.5.Conclusion
Chapitre III Modélisation de perturbation
III.1. Introduction
III.2. Choix du point de l’évolution de la perturbation
III.3. Mise en équation
III.4. Conclusion
Chapitre IV Calculs numériques
IV.1. Introduction
IV.2. Méthode de Bairstow pour la résolution du polynôme
IV.2.1.Test d’arrêt classique
IV.2.2.Test d’arrêt optimal
IV.2.3.Contrôle et amélioration de la précision de la racine du polynôme
IV.2.4.Evaluation de la précision et amélioration éventuelle de la solution
IV.2.5.Organigramme de la méthode de Bairstow avec test d’arrêt optimal
IV.3. Traitement informatique de la stabilité du modèle utilisé
IV.4. Résultats et discussion
IV.5. Conclusion
Conclusion générale
Bibliographie

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