Ecoulement autour d’une géométrie complexe dans différents états de mer

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Historique de la décomposition fonctionnelle dansles équations de Navier-Stokes

Ci-dessous, nous retraçons l’historique de la méthode SWENSE et de son développement au LMF. Ensuite, nous recensons les approches similaires développées depuis lors et basées sur une décomposition fonctionnelle dans les équations de Navier-Stokes en la somme d’un champ incident explicite et d’un champ complémentaire. Pour preuve de l’actualité de cette technique, deux nouvelles propositions de couplage sont apparues au cours de la dernière année et ont fait l’objet de présentations à la conférence ISOPE 2010 à Pé- kin. Ces deux nouvelles formulations (l’une pour la LES, et l’autre dans un modèle lattice Boltzmann) sont développées par des doctorants encadrés par Stephan Grilli, professeur à Rhode Island.
Il est intéressant de noter que le professeur Grilli au cours de ses différentes collaborations a adopté une trajectoire classique pour arriver jusqu’à une formulation similaire à SWENSE 4. Dans le cadre de l’étude du phénomène de shoaling et de déferlement, il a tour à tour procédé à une décomposition spatiale entre domaine potentiel et domaine visqueux dans Guignard et al. [27], puis à l’initialisation du calcul visqueux par un calcul potentiel dans Biausser et al. [10] pour finalement proposer, pour le même problème, l’utilisation d’une décomposition fonctionnelle dans Janssen et al. [38]. Il s’agit du même cheminement méthodologique que celui qui a eu cours au LMF ces dernières années.

Décomposition fonctionnelle en fluide visqueux

C’est dans la thèse de Pierre-Emmanuel Guillerm [29], en 2001, qu’apparait pour la première fois au LMF une décomposition fonctionnelle dans les équations de NavierStokes et destinée au traitement du problème de l’interaction entre la houle et un corps. L’essentiel de sa thèse porte sur un couplage spatial entre un code potentiel et un code RANSE et cette nouvelle formulation n’est évoquée qu’à la fin du manuscrit. Par contre, la mise en équations comporte une erreur puisqu’il procède à une simplification abusive en considérant que le champ incident respecte les équations de Navier-Stokes (et non simplement les équations d’Euler). De plus, le modèle de houle proposé pour générer le champ incident n’est pas complètement non-linéaire.

Première décomposition fonctionnelle dans les équations de Navier-Stokes

A notre connaissance, c’est Dommermuth et al. [17] en 1996 qui procéda pour la première fois à une décomposition fonctionnelle dans les équations de Navier-Stokes en la somme d’un champ irrotationnel et d’un champ complémentaire. Par une coïncidence amusante 7, c’est à la même conférence où Pierre Ferrant présentait son article sur la décomposition fonctionelle en fluide parfait [21] que Douglas Dommermuth présenta son travail. Dans son papier, Douglas Dommermuth s’intéresse au sillage turbulent d’une frégate en mer plate dans le cadre d’une simulation en LES (Large Eddy Simulation). La décomposition est appliquée dans l’équation de quantité de mouvement en séparant les parties rotationnelle (basée sur un champ de vitesse Ui) et irrotationnelle (dérivant d’un potentiel φ) du champ à partir d’une décomposition de Helmholtz du type :ui =∂xi + Ui∂φ.

Modèles de houle

Les équations exposées au chapitre précédent sont basées sur une décomposition fonctionnelle faisant intervenir un champ incident explicite. Les données associées au champ de vagues incident doivent donc être évaluées dans l’ensemble du domaine fluide correspondant à l’écoulement total. Il faut choisir avec soin les modèles en théorie fluide parfait permettant de simuler la propagation des ondes de gravité. Comme nous allons l’expliquer, ces modèles doivent respecter certaines propriétés. Les deux modèles de houle finalement retenus sont issus des méthodes spectrales et leurs caractéristiques vont être exposées. Il s’agit des mêmes que ceux utilisés et implémentés par Romain Luquet au cours de sa thèse de doctorat [45].

Cahier des charges

L’intérêt majeur de la décomposition champ incident-champ diffracté est de rendre le calcul de la propagation de la houle rapide et précis. Il est alors naturel d’attendre de la résolution fluide parfait un temps de calcul négligeable comparativement au calcul NavierStokes. Il faut aussi que le modèle de champ incident fournisse une solution fiable en tout point du domaine et ceci, à chaque pas de temps. Son utilisation au sein de la méthode SWENSE nécessite en effet que les conditions de surface libre ainsi que les équations d’Euler soient vérifiées très précisément pour éviter toute perturbation du champ diffracté.
Une dernière caractéristique est essentielle à l’application de la décomposition des variables. De fait, le calcul du champ diffracté dans le programme RANSE va nécessairement s’opérer en résolvant dans le domaine global les équations écrites pour le problème total, dans lequel les quantités incidentes apparaîtront sous la forme de termes de forçage. Le système d’équations va donc être résolu sur un domaine de calcul suivant la déformée de la surface libre totale. Or, cette déformée totale sera évidemment différente de la dé- formée incidente (pour laquelle le corps n’existe pas) au voisinage du corps où le champ diffracté sera non-nul. A certains pas de temps, la déformée totale pourra se situer au dessus de la déformée incidente et donc en dehors du domaine fluide incident, voir figure 2.1. L’application de la méthode va donc imposer d’évaluer les termes de forçage du champ incident hors de leur domaine de calcul, ce qui semble malaisé a priori. La solution la plus évidente serait de prolonger continûment la solution incidente, ce qui compliquerait la méthode et en diminuerait certainement la précision. C’est pourquoi il faut choisir un modèle de champ incident fournissant une solution vérifiant les équations d’Euler dans le domaine total, c’est à dire non seulement dans le domaine liquide mais aussi au-dessus.
Enfin, le champ incident se doit d’être continu à la traversée de sa surface libre pour ne pas introduire d’erreurs dans les formules de différences finies.

Rienecker & Fenton

La méthode de Rienecker & Fenton exposée ici succinctement permet de reproduire une houle stationnaire non-linéaire 11. Sa formulation a été exprimée pour la première fois par Rienecker & Fenton [58] en 1981. Ils proposent une solution spectrale pour calculer le profil non-linéaire de la houle régulière de cambrure quelconque. Pour ce faire, ils suivent la houle dans son mouvement 12, elle a donc un profil permanent dans le domaine considéré. Ils partent du profil de la houle d’Airy 13 à la cambrure choisie, et ils obtiennent ensuite les estimations successives par la méthode itérative de Newton. Le potentiel est exprimé sous la forme d’un développement spectral direct, mais à la différence de l’équation 2.6, à travers l’emploi d’une fonction de courant ψ. Les inconnues du système sont donc les amplitudes modales de la fonction de courant et les élévations de surface libre en des noeuds de collocation. Le système d’équations comprend, outre les conditions de surface libre non-linéaires et l’équation de Laplace, quelques équations supplémentaires telles que la spécification de la cambrure ou la conservation du volume ; comme le fait remarquer David Le Touzé dans sa thèse [44], cela permet de tenir compte d’inconnues supplémentaires incluant notamment la pulsation de la houle dont la solution non-linéaire est elle aussi différente de l’estimation linéaire de départ 14. Les détails de la programmation de cette méthode peuvent d’ailleurs être trouvées dans la thèse de ce dernier.

Implémentation dans ICARE

Introduction : ICARE, un code RANSE basé sur une formulation en différences finies

Le code de calcul ICARE résout les équations de Navier-Stokes moyennées au sens de Reynolds pour un écoulement à surface libre, icompressible et turbulent. Ce code est basé sur une formulation en différences finies et applique un processus de suivi de surface libre. Il est développé au sein du LMF depuis 1993 et fait suite au travail de thèse de Bertrand Alessandrini [3]. Il connait de constantes évolutions, notamment une parallélisation récente, le développement d’une version multiblocs dans le cadre de la thèse d’Aurélien Drouet et le développement d’une formulation Level set (que nous évoquerons au chapitre 8) dans le cadre de la thèse de Gabriel Reliquet. C’est ce code (d’abord dans sa version 2D par Lionel Gentaz puis dans sa version 3D par Romain Luquet) qui a été utilisé afin d’implémenter la méthode SWENSE.

Discrétisation des équations

La résolution du système d’équations présentées au chapitre 1 est basée sur une discrétisation par différences finies et utilise des schémas au second ordre en espace et en temps. Les termes de champ incident étant traités de façon explicite, ils sont renvoyés aux seconds membres des équations à l’exception, bien évidemment, des termes incidents couplés aux termes diffractés qui restent dans la partie implicite. Ainsi, la discrétisation des équations employée est tout à fait similaire à celle mise en oeuvre dans la version classique d’ICARE. Les détails de ces schémas de discrétisation peuvent être obtenus aussi bien dans Alessandrini & Delhommeau [4] ou bien dans la thèse de Lionel Gentaz [24] et nous n’allons pas les restituer ici, mais donner seulement les grandes lignes de la discrétisation. Pour ce qui est de l’écriture des équations en coordonnées curvilignes (sur lesquelles s’effectuent effectivement la discrétisation), nous renvoyons à la thèse de Romain Luquet [45].
L’équation de continuité de mouvement est linéarisée en considérant les termes convectifs obtenus à l’itération non-linéaire générale précédente (et dans le cas où on se trouve à la première itération non-linéaire, on considère les termes convectifs obtenus au pas de temps précédent). Les trois équations scalaires sont écrites sur les noeuds du maillage où sont placées les inconnues de vitesse.
L’équation de pression est obtenue en appliquant l’opérateur divergence à l’équation de conservation de la quantité de mouvement. Pour éviter tout problème de découplage pair-impair, la méthode de type Rhie et Chow [57] est appliquée pour obtenir l’équation de pression.
Enfin, dans l’équation de condition cinématique de surface libre, les gradients spatiaux de la hauteur de surface libre sont explicités afin de linéariser l’équation.

Consistance du maillage avec les inconnues à résoudre

Nous souhaitons résoudre les équations RANSE au temps t. Pour qu’il y ait une consistance entre le domaine discrétisé et les champs de variables, il est nécessaire de résoudre les équations sur le domaine de calcul Ωt calculé à partir de la déformée de surface libre au temps t. Ceci est paradoxal car au début de l’itération temporelle, nous ne disposons que du domaine de calcul Ωt–1. Néanmoins, ceci peut être réalisé au terme d’un bouclage sur les itérations non-linéaires générales du calcul, avec à chaque début d’itération non-linéaire générale un remaillage prenant en compte la solution calculée à l’itération non-linéaire générale précédente.

Consistance du maillage avec le champ incident : boucle de remaillage

L’introduction d’un champ incident explicite dans les équations complique légèrement le problème. A chaque itération non-linéaire générale, le champ incident doit être évalué sur le domaine de calcul Ω qui est issu de l’itération non-linéaire générale précédente (ou de l’itération temporelle précédente dans le cas de la première itération non-linéaire générale). Or la consistance entre le champ incident calculé et ce domaine de calcul n’est pas assuré, et il y a incompatibilité entre la position de la déformée de surface libre et les inconnues du champ incident.
C’est pourquoi une stratégie de remaillage hybride est mise en place. A chaque ité- ration non-linéaire, la hauteur du champ incident est calculée plusieurs fois de suite, et à chaque fois le domaine de calcul est ajusté. La figure 2.11 explique le processus itératif utilisé pour, à chaque itération non-linéaire générale, faire converger l’élévation de surface libre η vers sa valeur désirée. Dans sa thèse [45], Romain Luquet avait déjà mis en place cette stratégie et analysé l’influence du nombre d’itérations de cette boucle de remaillage hybride. Quelques tests ont à nouveau été réalisés et qui nous ont permis de nous assurer que cinq itérations sont suffisantes pour obtenir une convergence partout dans le domaine.

Longue simulation en houle irrégulière 2D

Le spectre de vague généré expérimentalement est un spectre de Bretschneider avec une fréquence de pic fP = 0.65 Hz et une hauteur significative Hs = 0.02 m. L’essai a duré 600 secondes en bassin et a été entièrement reproduit par la méthode SWENSE. A notre connaissance, il n’avait jamais été réalisé auparavant une simulation reproduisant une durée aussi longue dans le cas du problème de l’interaction entre la houle et une structure en fluide visqueux. Ce genre de calcul est difficilement envisageable dans le cadre d’une approche directe où la houle serait calculée depuis la frontière. Nous avons utilisé au total 60.000 pas de temps de 0.01 s, ce qui correspond à environ 150 pas de temps par période de houle moyenne (Tm ≈ 1.54 s). La simulation a duré deux mois sur un processeur AMD Opteron 250 (2.4 GHZ).
Comme l’essai en houle irrégulière a été réalisé au bassin de l’ECN, nous possédons l’historique des mouvements du batteur, et par conséquent, nous pouvons reproduire exactement le champ incident dans l’ensemble du bassin avec la méthode HOS (plus précisé- ment avec la formulation bassin de houle). De cette façon, notre simulation a un caractère déterministe et il est possible de comparer à chaque pas de temps les résultats de la simulation avec l’expérience. Par exemple, la figure 3.8 montre une comparaison temporelle entre 140 et 170 secondes de l’élévation surfacique du point P (situé à x = 2.98 m et y = 2.40 m relativement au centre de gravité du modèle), ainsi que des mouvements de pilonnement et de tangage. L’accord peut être considéré comme satisfaisant, même si nous échouons à reproduire avec précision certains extrema des signaux de pilonnement et de tangage.

Table des matières

Introduction
Partie I Théorie et mise en oeuvre
Chapitre 1 Méthode SWENSE
1.1 Equations générales
1.1.1 Equations de Navier-Stokes
1.1.2 Equations moyennées au sens de Reynolds
1.1.3 Modèle de turbulence
1.1.4 Conditions aux limites
1.2 Décomposition fonctionnelle et équations SWENSE
1.2.1 Introduction de la décomposition fonctionnelle dans les équations moyennées au sens de Reynolds
1.2.2 Cas particulier d’un champ incident irrotationnel
1.2.3 Modèle de turbulence
1.2.4 Introduction de la décomposition fonctionnelle dans les conditions aux limites
1.3 Historique de la décomposition fonctionnelle dans les équations de NavierStokes
1.3.1 Historique de la méthode SWENSE au LMF
1.3.2 Première décomposition fonctionnelle dans les équations de NavierStokes
1.3.3 Décomposition fonctionnelle suivie d’un moyennage au sens de Reynolds appliquée à des écoulements stationnaires
1.3.4 Application de la décomposition fonctionnelle à la simulation en LES en écoulement instationnaire à surface libre
1.3.5 Méthodes particulaires
1.3.6 Conclusion
Chapitre 2 Outils et mise en oeuvre numérique
2.1 Modèles de houle
2.1.1 Cahier des charges
2.1.2 Principe et formulation
2.1.3 Méthodes spectrales
2.1.4 Rienecker & Fenton
2.1.5 High-Order Spectral
2.1.6 Etablissement de la houle
2.2 Implémentation dans ICARE
2.2.1 Introduction : ICARE, un code RANSE basé sur une formulation en différences finies
2.2.2 Discrétisation et localisation des inconnues
2.2.3 Maillages
2.2.4 Consistance du maillage avec les inconnues à résoudre
2.2.5 Consistance du maillage avec le champ incident : boucle de remaillage
2.2.6 Organisation du code
Chapitre 3 Tenue à la mer au point fixe
3.1 Introduction
3.2 Dispositif expérimental
3.3 Détails numériques
3.4 Houle régulière
3.5 Longue simulation en houle irrégulière 2D
3.5.1 Analyse statistique des signaux par la méthode de Welch
3.5.2 Indicateur d’erreur ǫ.
3.5.3 Fonctions de transfert
3.6 Houle focalisée
3.6.1 Résultats numériques
3.6.2 Réflexions sur la détermination numérique des fonctions de transfert
3.7 Conclusion
Chapitre 4 Ecoulement autour d’une géométrie complexe dans différents états de mer
4.1 Présentation
4.2 Utilisation du code HOS pour retrouver la position de la maquette dans le bassin
4.3 Détails numériques
4.4 Houle régulière
4.4.1 Traitement des données expérimentales
4.4.2 Influence de la taille du domaine de maillage
4.4.3 Convergence en nombre de points de maillage
4.5 Visualisation des tourbillons. Critère Q.
4.6 Houle irrégulière 2D
4.6.1 Caractéristiques de l’essai expérimental reproduit
4.6.2 Résultats numériques
4.6.3 Comparaison des signaux numériques et expérimentaux
4.6.4 Influence du pas de temps HOS
4.7 Houle irrégulière 3D
4.7.1 Caractéristiques de l’essai expérimental reproduit
4.7.2 Résultats numériques
4.7.3 Traitement statistique des résultats
4.8 Conclusion
Partie III Développements
Chapitre 5 Interpolations HOS/RANSE
5.1 Introduction
5.2 Méthodes d’interpolation
5.2.1 Interpolation tri-linéaire
5.2.2 Carreaux bi-cubiques de Hermite
5.2.3 Interpolation de type Lagrange
5.2.4 Quadrangles de Bézier
5.2.5 Splines
5.3 Comparaison des différentes méthodes
5.3.1 Reconstruction ponctuelle des champs HOS
5.3.2 Indicateur d’erreur et commentaires
5.3.3 Résultats sur un cas d’application : bouée JIP en houle irrégulière 3D
Chapitre 6 Dynamique du navire et couplage ICARE-AQUAPLUS
6.1 Introduction
6.2 Addition d’une masse ajoutée virtuelle.
6.3 Couplage ICARE-AQUAPLUS
6.3.1 Le code AQUAPLUS
6.3.2 Introduction d’AQUAPLUS dans ICARE
6.3.3 Période du mouvement prise en compte dans AQUAPLUS
6.4 Exemple d’utilisation du couplage ICARE – AQUAPLUS
6.4.1 Présentation du cas-test du ferry
6.4.2 Conditions du calcul
6.4.3 Résultats
Chapitre 7 SWENSE parallèle
7.1 Parallélisation du code
7.1.1 Généralités – parallélisation d’ICARE
7.1.2 Parallélisation de SWENSE
7.2 Tests de scalabilité
7.2.1 Organisation des tests de scalabilité
7.2.2 Accélération et efficacité en fonction du nombre de processeurs
7.2.3 Comparaison avec CFDSHIP-IOWA
7.3 Cas d’application de la parallélisation
7.3.1 Giration dans la houle
7.3.2 Zigzag dans la houle
7.3.3 Perspectives ouvertes par la parallélisation du code
Chapitre 8 Déferlement, Level set et SWENSE variable en espace
8.1 Introduction
8.2 Méthodes de traitement du déferlement dans ICARE-SWENSE
8.2.1 Approches géometriques
8.2.2 Approche physique
8.3 Evolution de la méthode : introduction du Level set
8.3.1 Formulation théorique du Level set
8.3.2 Mise en oeuvre dans le code ICARE
8.4 SWENSE variable en espace
8.4.1 Problématique
8.4.2 Développement théorique
8.4.3 Choix de la fonction spatiale α
8.4.4 Un premier résultat pour SWENSE variable en espace
Conclusion
Annexe A Repères relatifs
Annexe B Distance normalisée à la paroi
Références bibliographiques 

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