Soutenance mémoire
Structures à bandes interdites photoniques
La propriété de bandes interdites dans un réseau d’atomes de silicium n’est pas spécifique à ce matériau et aux autres semi-conducteurs. Il suffit que des interférences destructives apparaissent lorsqu’une onde se propage dans une structure périodique pour retrouver des bandes d’énergie interdites. La révolution électronique engendrée par l’utilisation du silicium dans la plupart des circuits électroniques pousse à reproduire des structures périodiques équivalentes en optique.
L’analogie est d’autant plus justifiée que l’équivalent de l’équation de Schrödinger dans les semi-conducteurs est une équation analogue en optique : celle de Helmholtz . La périodicité du potentiel ionique est quant à elle remplacée par une périodicité de l’indice de réfraction. Si on trouve quelques cristaux photoniques tridimensionnels dans la nature , leur réalisation artificielle est restée inaccessible jusqu’aux années quatre-vingt avec les travaux de Yablonovitch [YGL91]. Il a imaginé des matériaux à Bande Interdite Photonique en essayant d’obtenir une première zone de Brillouin la plus proche possible d’une sphère. Les inclusions arrangées dans un schéma cristallin cubique face centrée, tels des réseaux 3D de diélectriques ou de sphères en alumine, sont les candidats idéaux car caractérisés par une zone de Brillouin octaédrique. Malheureusement, la bande interdite est incomplète dans ce cas.
Le premier cristal photonique formé de billes de silicium arrangées dans une structure cristalline de diamant revient à K. Ho et al [HCS90]. Yablonovitch [Yab93] réussit lui aussi à produire une BIP à bande complète quelques années plus tard . Elle consiste en du plexiglas perforé périodiquement avec trois tiges, inclinées de 35°, et séparées de 120°, et présente une bande interdite complète à 15 GHz. Des cristaux photoniques similaires peuvent être produits en superposant des couches de silicium. Le résultat final est un réseau 3D Silicium/Air nommé “tas de bois“ . Une structure similaire à base d’AsGa a été réalisée par Noda et al [NTYC00] par fusion et élimination du substrat.
Surfaces à haute impédance
Dans le domaine micro-ondes, nous évoquons plutôt des matériaux à Bande Électromagnétique Interdite. Leurs premières utilisations remontent à 1919, sur un brevet [MF19] affirmant l’intérêt de joindre à une antenne parabolique un réseau de tiges métalliques afin d’en améliorer les performances. Suivirent les surfaces sélectives en fréquences, d’abord utilisées pour réduire la surface équivalente radar avant d’être appliquées à l’amélioration d’antennes, râdomes et filtres.
Sievenpiper [Sie99, SZB+99] a étendu leurs applications potentielles en introduisant les surfaces électromagnétiques à haute impédance (High Impedance Surface). Normalement, le champ électromagnétique est nul sur un conducteur électrique. La composante tangentielle du champ devant être conservée, un déphasage se produit entre l’onde incidente et réfléchie. Les HIS permettent précisément d’avoir une onde réfléchie en phase avec la source émettrice. La surface est caractérisée par une impédance équivalente qui peut devenir très élevée à certaines fréquences. La structure proposée par Sievenpiper est constituée de patchs en forme d’alvéoles reliés à un plan métalliques avec des fils (ou via) . Les propriétés intéressantes d’une telle surface font qu’on la substitue au plan réflecteur situé sous les antennes afin d’en améliorer les propriétés. Et contrairement au plan de masse qui doit être positionné à λ/4 de l’antenne, la HIS peut y être accolée. Itoh [QYI98] a pour sa part proposé un circuit planaire constitué de cristaux compacts périodiquement disposés. Cet Unipolar Compact Photonic Band Gap peut facilement s’intégrer dans des circuits micro-ondes [CQI03].
Métamatériaux à paramètres électromagnétiques négatifs
Les métamatériaux sont des structures périodiques dont la période est faible devant la longueur d’onde. Le préfixe “méta“ indique un comportement singulier de ces matériaux artificiels. En effet, leur permittivité, perméabilité, et indice de réfraction, peuvent devenir négatifs sur certaines bandes de fréquences. Les cristaux photoniques décrits par Notomi [Not02] agissent comme si leur indice était négatif, bien que ce dernier soit positif. Il n’en est pas de même avec les métamatériaux théoriques de Veselago. Ces matériaux Main Gauche, nommés ainsi car le trièdre {E, H, k} est indirect, ont bénéficié d’un large intérêt ces dernières années.
Plus que leur comportement exotique qui va de l’inversion des effets Doppler et Cerenkov à celui de la loi de Snell-Descartes, ce sont leurs applications potentielles qui justifient un tel engouement. Très tôt a été théorisée la possibilité de les utiliser pour miniaturiser les antennes [AO07a], réaliser des lentilles haute résolution [BHS06, Pen00], voire masquer entièrement un objet au rayonnement électromagnétique. Cette dernière application a récemment été réalisée avec succès dans le domaine micro-ondes . L’onde électromagnétique est complètement déviée avec le cylindre interne, mais n’est pas perturbée par le cylindre externe, qui occulte donc ce qu’il entoure .
Pendry put relier en 1998 les grandeurs d’un plasma aux dimensions de tiges métalliques très fines [PHRS98]. Il semblait dès lors possible d’abaisser la fréquence plasma aux fréquences micro-ondes, et obtenir une structure à permittivité négative dans cette gamme de fréquence. Une année plus tard [PHRS99], son équipe de recherche introduit un rouleau suisse (swiss roll) dont la géométrie en spirale permet la réalisation d’un matériau à perméabilité négative. Le Résonateur à Anneau Fendu (ou Split-Ring Resonator), qu’ils ont initialement substitué au rouleau suisse afin d’en limiter l’absorption, va devenir la structure phare dans le monde des métamatériaux. Ce dernier résonne à des longueurs d’onde largement supérieures à son diamètre, et concentre une très grande énergie électrique au niveau de la fente.
Éclatement périodique dans le domaine temporel
État de l’art des méthodes d’homogénéisation
Une manière simple d’obtenir des caractéristiques macroscopiques d’un matériau hétérogène est d’appliquer un processus de moyenne. La masse volumique d’un mélange hétérogène est ainsi calculée en divisant la masse par le volume. On peut aussi remonter à cette masse volumique à partir de la moyenne des densités, pondérées par les fractions volumiques, des divers matériaux homogènes mélangés.
L’approche est bien plus complexe quand il s’agit de calculer les paramètres électromagnétiques équivalents d’une structure, car ce qui invite à une telle démarche est avant tout la connaissance des interactions du champ électromagnétique avec le matériau équivalent. Cette démarche nommée homogénéisation , qui n’est en aucun cas une simple prise de moyenne, consiste alors à trouver les paramètres électromagnétiques uniformes équivalents tout en conservant une propagation cohérente des ondes électromagnétiques.
Alors qu’on est en mesure de calculer une masse volumique pour tous les matériaux et sans hypothèses restrictives, il n’en est pas de même lorsqu’on homogénéise les paramètres électromagnétiques, tels que la permittivité et perméabilité µ. Le fait même de considérer un matériau hétérogène comme homogène ne peut être valide que lorsque la longueur de l’onde éclairante est « très grande » par rapport à la taille des inhomogénéités. Comme pour les systèmes optiques au pouvoir de résolution limité, l’onde électromagnétique ne peut alors distinguer les détails d’une structure, bien que leur influence demeure notable sur sa propagation. Le grand intérêt porté à l’interaction des ondes avec les structures périodiques a motivé la recherche de diverses approches pour déterminer la réponse électromagnétique de divers mélanges.
Ils souhaitaient incorporer des concepts atomiques dans les équations de Maxwell pour prendre en compte les oscillations électriques des particules. La formulation incontournable lorsqu’on s’intéresse aux lois de mélange est celle de Maxwell-Garnett [MG04] . Après une série d’expériences, Faraday avait bien avant conclu au fort impact de petites sphères métalliques sur la propagation de la lumière. Garnett confirma ces conclusions avec sa formule analytique. Les années trente ont vu l’émergence du formalisme de Bruggeman [Bru35] dont l’approche est radicalement différente de ses prédécesseurs. D’autres lois de mélange existent, elles ne concernent en général que des inclusions elliptiques, petites et bien espacées.
Les paramètres électromagnétiques tels que la permittivité ∈ et la perméabilité µ varient rapidement au sein de la structure périodique, ce qui rend le traitement numérique des équations de Maxwell délicat. Les techniques asymptotiques telles que la convergence à deux échelles [All92], le développement multi-échelles [BLP78] et l’éclatement périodique [BGM04] séparent les échelles microscopique (au sein d’une cellule) et macroscopique (à l’échelle du réseau), puis relèguent les fluctuations rapides à la variable microscopique. L’information sur le comportement général du matériau étant contenue à l’échelle macroscopique, on n’y parvient qu’en considérant la taille des cellules comme très petite devant celle de l’échantillon.
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Table des matières
Introduction
I Éclatement périodique dans le domaine temporel
État de l’art des méthodes d’homogénéisation
1 Formalismes d’homogénéisation analytique
1.1 Lois de mélange dans le domaine fréquentiel
1.1.1 Formalisme de Maxwell-Garnett
1.1.2 Formalisme de Clausius-Mossotti
1.1.3 Lois de puissances
1.1.4 Formalisme généralisé
1.2 Lois de mélange dans le domaine temporel
1.2.1 Mélange de deux matériaux dispersifs
1.2.2 Modèles de polarisation
1.3 Conclusion
2 Homogénéisation par éclatement périodique
2.1 Position du problème
2.2 Opérateur d’éclatement périodique
2.3 Éclatement du réseau
2.4 Formulation variationnelle du problème homogénéisé
3 Simulation d’une structure périodique dispersive
3.1 Discrétisation temporelle
3.2 Discrétisation spatiale de la forme variationnelle
3.2.1 Méthode des éléments finis
3.2.2 Application au calcul des paramètres effectifs
3.3 Prise en compte de la périodicité
3.4 Conclusion
4 Résultats des simulations
4.1 Impact de la géométrie de l’inclusion
4.2 Effet du contraste de permittivité : cas de la neige sèche
4.3 Homogénéisation d’un gruyère anisotrope
4.4 Homogénéisation dans le domaine temporel
4.5 Dans le domaine fréquentiel : le mélange éthanol-eau
4.6 Permittivité extrinsèque négative
Conclusion et perspectives
II Homogénéisation dans le domaine fréquentiel d’un réseau d’anneaux fendus
Introduction à l’homogénéisation dynamique
1 Formulation théorique de la perméabilité effective
1.1 Position du problème
1.2 Homogénéisation par décomposition de Floquet-Bloch
1.2.1 Décomposition de Floquet-Bloch
1.2.2 Homogénéisation des équations de Maxwell
1.3 Nécessité d’un second paramètre
1.3.1 Formulation variationnelle du problème homogénéisé
1.3.2 Introduction des pertes par effet Joule
1.4 Formulation analytique pour les structures bidimensionnelles
1.5 Conclusion
2 Discrétisation du problème
2.1 Maillage du modèle
2.2 Simulation d’une boîte vide avec conditions périodiques
2.3 Prise en compte du potentiel multivoque
2.3.1 Problème discrétisé sans pertes
2.3.2 Problème discrétisé avec pertes
2.4 Conclusion
3 Simulation d’un réseau anneaux fendus
3.1 Structure du programme
3.2 Calcul de la perméabilité effective
3.3 Carte du champ électromagnétique
3.4 Influence de divers paramètres
3.4.1 Finesse du maillage
3.4.2 Dimensions de l’anneau
3.4.3 Propriétés électromagnétiques des matériaux utilisés
3.5 Simulation de structures bidimensionnelles
Conclusions et perspectives
III Caractérisation de métamatériaux en espace libre
État de l’art des méthodes de caractérisation
1 Banc de caractérisation en espace libre
1.1 Architecture du banc
1.2 Dimensionnement des lentilles focalisantes
1.3 Étalonnage en transmission-réflexion
1.4 Filtrage temporel
1.5 Calcul des paramètres effectifs
1.5.1 Inversion de Nicholson-Ross-Weir (NRW)
1.5.2 Algorithme itératif NIST
2 Résultats expérimentaux des caractérisations
2.1 Corrections de la mesure
2.1.1 Nécessité de l’étalonnage
2.1.2 Effet du filtrage temporel
2.2 Calcul des paramètres constitutifs de diélectriques
2.2.1 Plaque de plexiglas
2.2.2 Plaque d’alumine
2.3 Mesure de métamatériaux
2.3.1 Surfaces à Haute Impédance à base de champignons
2.3.2 Réseau d’anneaux fendus
2.3.3 Réseau de fils métalliques
Conclusion et perspectives
Conclusion générale
