Échange de chaleur et de matière avec le gaz : effets thermiques s’appliquant sur une particule

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Différents régimes d’écoulement

Un fluide est composé d’un certain nombre de molécules. Lorsqu’il y en a peu (en un sens qui sera précisé plus loin), le comportement du fluide s’obtient en modélisant la densité de particules dans l’espace des phases (position, vitesse, degrés de liberté interne des molécules), grâce à l’équation de Boltzmann (équation qui sera abordée dans le chapitre 2 pour la phase particulaire). A l’inverse, quand le nombre de molécules devient très important, il devient plus judicieux d’utiliser des modèles continus tels que ceux de Navier-Stokes ou d’Euler. La caractérisation du régime d’écoulement est donnée par le nombre de Knudsen, défini comme le rapport entre une longueur de référence de l’écoulement L et le libre parcours moyen du fluide l . Ce nombre est donc lié à la fois à la géométrie et au fluide étudié. Kn = l (1.16).

Équations de Navier-Stokes sans réaction chimique

Les équations d’Euler, découvertes à la fin du XVIIème siècle, décrivent le comportement d’un fluide parfait, c’est-à-dire sans viscosité. Ces équations s’obtiennent à partir des lois de conservation (de masse, de quantité de mouvement et de l’énergie) sur un volume de fluide. Quelques années plus tard (1823), Navier a introduit le concept de viscosité dans ces équations. Enfin, en 1845, Stokes a formalisé le concept de viscosité, donnant ainsi naissance aux équations de Navier-Stokes. Celles-ci permettent de simuler le com-portement d’un fluide visqueux. Pour simplifier la compréhension, nous commencerons par la description des équations de Navier-Stokes sans termes de réaction chimique, pour ensuite envisager le cas général.
Considérons un fluide contenu dans un ouvert de R3. Notons X un point de . (t;X) (kg:m 3), u (m:s 1), p(t;X) (P a), e(t;X) (J:kg 1) désigneront respectivement la densité, le vecteur vitesse, la pression et l’énergie interne par unité de masse du fluide.
Équation de conservation de la masse : @ + r ( u) = 0 (1.17)
Équation de conservation de la quantité de mouvement : @ ( u) + r ( u u) = p + r + g (1.18)

Influence du choix du modèle sur la température

Afin d’illustrer l’importance du choix du modèle, nous comparons les températures de l’écoulement en zone post-choc en réalisant plusieurs coupes à différentes hauteurs :
— y = 0 (en orange sur la figure 1.8),
— y = R=2 (en noir sur la figure 1.8),
— y = R (en violet sur la figure 1.8).
Nous traçons ensuite la température en fonction de la position x et ce pour les trois modèles simplifiés décrits précédemment (« gaz parfait à constant », aussi appelé « Per-fect Gas », « gaz parfait à variable et chimie figée », aussi appelé « Frozen Gas », « gaz parfait à variable et chimie infiniment rapide », aussi appelé « Equilibrium Gas ») et le modèle global comprenant la cinétique chimique, aussi appelé « Chemical Gas ». Pour chaque nombre de Mach infini M1, nous réaliserons les quatre figures suivantes :
— l’écoulement entier (à gauche),
— la coupe au niveau de la ligne d’arrêt y = 0 (en bas à droite),
— la coupe à y = R=2 (au milieu à droite),
— la coupe à y = R (en haut à droite).
Comme attendu, les différences entre les modèles sont d’autant plus grandes que la température est importante. Tant que la température reste faible, les quatre modèles sont valables : c’est le cas de l’écoulement à Mach 2 dans lequel la température n’excède pas les 550 K. Dès que la température augmente, les modèles de « gaz parfait à constant » et de « gaz parfait à variable et chimie figée » deviennent faux. A l’inverse, le modèle à l’équilibre est une bonne approximation puisque les résultats sont très proches de celui avec chimie réactive. La coupe, réalisée au niveau de la ligne d’arrêt pour l’écoulement à Mach 25, nous permet de nous rendre compte de l’importance du choix du modèle : avec le modèle de « gaz parfait à constant », l’écoulement atteint une température proche de 40000 K alors que le calcul en chimie réactive (plus fidèle à la réalité) fournit un résultat de 10000K, soit une température quatre fois moins grande.

Influence du choix du modèle sur la distance de choc

Les conditions initiales du fluide sont résumées dans les tableaux 1.3 et 1.4. Nous traçons ci-dessous (cf. Fig. 1.12) l’évolution de la distance de choc en fonction du nombre de Mach pour les quatre modèles. A l’instar de ce qui est fait dans la littérature, les distances de choc sont adimensionnées par le diamètre de la sphère.
Comme précédemment, les modèles de « gaz parfait à constant » et de « gaz parfait à variable et chimie figée » restent valables tant que la température est faible. Dans notre cas, ce n’est pas directement la température mais le nombre de Mach infini qui joue (les deux grandeurs étant reliées comme nous le verrons plus tard) :
— pour des nombres de Mach inférieurs à 4, le modèle de « gaz parfait à constant » est valable,
— pour des nombres de Mach inférieurs à 8, le modèle de « gaz parfait à variable et chimie figée » est valable.
Le modèle « à l’équilibre » et le modèle « chimie réactive » sont encore confondus. Cela est dû au fait que la densité de l’écoulement est grande et sa vitesse est faible (ce qui correspond aux hypothèses du modèle à l’équilibre).
Nous traçons ci-dessous l’évolution de la distance de choc en fonction du Mach pour un écoulement cent fois moins dense, tout en maintenant la même température.

Modélisation des phénomènes physiques à l’échelle d’une particule

Les particules sont supposées à l’équilibre thermodynamique avec le fluide avant le choc détaché. Du fait de leurs inerties thermique et dynamique, elles se retrouvent en déséqui-libre après le choc. Lorsque le déséquilibre dynamique est trop important, les particules peuvent se fragmenter sous l’action des forces aérodynamiques. Elles peuvent également collisionner entre elles. Dans cette partie, nous allons décrire ces phénomènes, évaluer leur importance relative, et proposer une modélisation pour chacun d’eux.

Forces aérodynamiques s’appliquant sur une particule

Bilan des forces

Dans le cas général, la force exercée par le fluide porteur sur une particule est complexe à calculer. Elle est la somme de nombreuses contributions (ref [6], [73]) appelées force de flottabilité, force de trainée stationnaire, force d’histoire ou force de Basset, force de masse ajoutée, force de Tchen, et force de portance.
Dans le cas où la particule a une densité nettement supérieure au fluide porteur, la force de traînée est prédominante devant les autres [16]. Dans la suite du manuscrit, nous considérerons donc que la particule n’est soumise qu’à la force de traînée, dont nous rappelons l’expression pour une sphère rigide : Fd = 8 dp 2 f CD kuf vp k (uf vp) (2.1)
où dp représente le diamètre de la particule, f la densité du fluide, CD le coefficient de traînée, uf et vp les vitesses du fluide et de la particule. Dans le cas où la particule se déforme, l’expression de la force peut se ramener à celle de l’équation (2.1) en introduisant un paramètre de sphéricité 1, compris entre 0 et 1. Les effets de la déformation sont pris en compte dans le coefficient de traînée qui devient une fonction de .
L’expression de la force de traînée s’écrit alors : Fd = dp f CD 2 def ( ) kuf vpk (uf vp) (2.2)
Plus de détails sur la prise en compte de la non-sphéricité peuvent être trouvés dans [37, 90]. Dans la suite du manuscrit, nous considérerons que le coefficient de traînée d’une particule déformable CDdef peut s’écrire comme le produit du coefficient de traînée d’une particule sphérique rigide CD par une fonction g dépendant du paramètre de sphéricité . La déformation étant principalement liée à la fragmentation, nous expliciterons g lors de la description de ce phénomène. CDdef = CD g( ) (2.3)

Expression du coefficient de traînée pour une sphère rigide

L’expression du coefficient de traînée ne peut être calculée de manière explicite. Cepen-dant, lorsque l’écart de vitesse entre la particule et l’écoulement est faible, il est possible de le calculer en négligeant le terme non-linéaire [33] des équations de Navier-Stokes. Son expression vaut alors : CD = 24 Rep (2.4)
où Rep désigne le nombre de Reynolds particulaire. Il représente le rapport des forces d’inerties et des forces de viscosité et a pour expression : Rep = dp f kuf vpk (2.5)
Lorsque la vitesse est importante, il n’est plus possible de calculer le coefficient de traînée de manière explicite. Il faut alors utiliser des lois empiriques basées sur des mesures du coefficient de traînée en fonction du nombre de Reynolds particulaire. Il existe de nom-breuses lois empiriques, nous rappelons ici l’une des plus connues et des plus éprouvées, celle de Clift et Gauvin [63] : CD = 24 1 + 0:15Rep0:687 + 0:42 (2.6)
Cette expression est valable tant que l’écoulement relatif par rapport à la particule est subsonique. Si l’écart de vitesse entre l’écoulement et la particule est tel que le nombre de Mach particulaire Map est supérieur à 1, cette formule n’est pas correcte. En effet, comme nous l’avons vu au chapitre précédent, il y a alors un choc détaché devant la particule qui vient changer la répartition de la pression autour de celle-ci, et donc par conséquent la valeur du coefficient de traînée. Dans cette configuration, il convient d’utiliser des formules adaptées, qui sont alors fonction du nombre de Reynolds particulaire et du nombre de Mach particulaire : Map = kuf vpk (2.7)
où cf désigne la célérité du son dans le fluide en amont du choc détaché devant la particule.
Il existe dans la littérature deux formules pour calculer le coefficient d’une sphère plongée dans un écoulement supersonique : la formule de Swain [80] et la formule d’Henderson [38]. Nous rappelons ci-dessous l’expression de ces deux formules.

Échange de chaleur et de matière avec le gaz : effets thermiques s’appliquant sur une particule

Comme nous l’avons vu au chapitre précédent, la température du fluide dans la zone post-choc est très grande (de l’ordre de quelques milliers de K). Une particule va donc recevoir un flux thermique très important, notée Qf . Ce flux va provoquer l’échauffement de la particule et son évaporation (ou sa sublimation si elle est solide) (cf. Fig. 2.2).
En première approximation, les effets thermiques peuvent se décomposer en deux phases :
— une phase de chauffage qui permet à la particule d’atteindre sa température d’ébul-lition (ou de sublimation),
— une phase d’évaporation.

Évaluation des temps caractéristiques liés aux effets thermiques

Le choix du modèle thermique dépend fortement du niveau de modélisation souhaité. En effet, si les effets thermiques jouent un rôle prépondérant dans une étude il faudra s’orienter vers des modèles plus complexes du type « modèle à diffusion effective » ou « modèle du Vortex de Hill ». A l’inverse, si les effets thermiques ne sont pas primordiaux, les modèles de « conduction nulle » ou de « conduction infinie » sont plus adéquats car moins coûteux à résoudre. Pour choisir le modèle le plus adapté nous avons effectué une analyse des temps caractéristiques de chauffage et d’évaporation.
Calcul du temps caractéristique de chauffage d’une particule Pour calculer l’ordre de grandeur du temps de chauffage, nous avons utilisé le modèle de conduction infinie. En utilisant l’équation (2.24) nous obtenons : < BT =0 m = 0 ) 8 Qf = Qp (2.28)

Caractérisation de l’interaction particules-paroi

La modélisation des interactions particules-paroi est un problème très difficile qui fait l’objet de nombreuses recherches ([23, 24, 40, 77]). Il s’agit de prendre en compte des phénomènes complexes tels que le « splashing » ou l’érosion de la paroi, le dépôt partiel avec dans chaque cas réémission de particules secondaires. Dans le cadre de la thèse, nous nous sommes limités à une modélisation simple. Nous avons considéré que tout impact conduisait à la réémission de particules secondaires issues à la fois de l’érosion de la paroi et de la fragmentation de la particule impactante.
Afin de prendre en compte les différents phénomènes pouvant se produire, nous avons introduit cinq paramètres n, t, F , E et H :
— n, t sont les coefficients de restitution normal et tangentiel permettant de resti-tuer la diminution de vitesse lors de l’impact,
— F est un paramètre de gain/perte en nombre de particules. Il sert à prendre en compte les phénomènes d’érosion et de fragmentation (F > 1),
— G est un paramètre de gain/perte en masse des particules qui sert à modéliser l’érosion de la paroi (G > 1) ou le dépôt partiel (G < 1),
— H est un paramètre de gain/perte d’énergie interne lors de l’impact.
Notons alors ni, mi, vi, hi la concentration en nombre (nombre de particules par unité de volume), la masse d’une particule, la vitesse et l’enthalpie des particules incidentes et nr, mr, vr, hr celles des particules secondaires réémises après l’impact. Avec n, t respectivement le vecteur normal et tangentiel à la paroi (cf. Fig. 2.7), nous avons les relations suivantes .

Description du phénomène de fragmentation d’une particule liquide

Comme nous l’avons décrit précédemment, après le passage du choc, la particule se trouve en fort déséquilibre avec le gaz. S’il s’agit d’une particule liquide, les contraintes aérodynamiques qu’elle subit vont mener à sa fragmentation. Dans cette partie, nous ferons des rappels généraux sur le phénomène de fragmentation et introduirons certains des modèles utilisés dans le chapitre 4, dédié à l’étude et à la modélisation détaillée du phénomène dans le cas des écoulements supersoniques. La fragmentation, aussi appelée atomisation secondaire, a fait l’objet de nombreuses études, en particulier dans le cadre de la modélisation des moteurs Diesel [34, 68]. La caractérisation de la fragmentation se fait en utilisant le nombre sans dimension de Weber représentant le rapport entre les forces d’inertie et de tension superficielle : W e = dp f kvp uf k2 (2.49)
où p est la tension superficielle du liquide. Il semble assez naturel d’introduire ce nombre. En effet, plus la différence de vitesses est grande plus les forces aérodynamiques propor-tionnelles à f kvp uf k2 d2p vont être importantes et vont mener à la fragmentation de la particule. A l’inverse, plus les forces de tension de surface (proportionnelles à p dp) sont grandes, plus la particule pourra « résister » à la fragmentation. Pour illustrer l’im-portance de ce nombre, considérons le cas très simplifié de l’écoulement d’un fluide parfait incompressible de vitesse uf autour d’une particule de diamètre dp initialement au repos.
L’utilisation du théorème de Bernoulli nous permet d’accéder au différentiel de pression du fluide entre l’avant pav et l’arrière par de la particule : pav par = pf = f kuf k 2 (2.50)
C’est ce différentiel de pression qui entraîne la déformation de la particule. Pour quantifier cette déformation, revenons à l’expression de la différence de pression entre l’intérieur pint et extérieure pext d’une particule de tension superficielle p et de diamètre dp. D’après la loi de Laplace nous avons la relation suivante : pint pext = 4 p (2.51)

Quelques modes de fragmentation

Vibrationnal breakup (We 12) (premier mode sur la figure 2.10)
Pour de faibles différences de vitesses, la particule se déforme en gardant sa cohésion. Elle se met
à osciller et peut fragmenter, donnant naissance à des fragments appelés particules filles, de taille semblable à celle de la particule initiale, appelée particule mère.
Bag breakup 12 We 50 (deuxième mode sur la figure 2.10) La particule se déforme et forme un ’sac’ qui éclate en petites particules ne laissant qu’un anneau. Cet anneau se casse quelques temps après en formant des petites particules.
Bag and stamen breakup 50 We 100 (troisième mode sur la figure 2.10) La différence avec le modèle précédent est la présence d’un jet au centre de l’anneau.
Stripping breakup 100 We 350 (quatrième mode sur la figure 2.10) La particule se déforme, les extrémités de celle-ci forment un film qui donne naissance à des particules de petites tailles. Ce processus a lieu jusqu’à ce que la taille de la particule devienne stable.
Catastrophic breakup We 350 (cinqième mode sur la figure 2.10) Ce mode correspond au moment où les instabilités présentes au sein de la particule sont suffisantes pour faire éclater la particule mère. Tant que la particule n’est pas stable, ce processus continue.

Temps caractéristique de breakup

Une des caractéristiques importantes de la fragmentation est sa durée totale. Elle com-mence dès l’apparition de perturbations à la surface des particules et se termine par la création de nouvelles particules. Ce temps est appelé temps de fragmentation, noté frag. Dans certaines études, le temps de fragmentation est tellement rapide devant les autres temps caractéristiques que la fragmentation est supposée instantanée. Dans notre cas, nous verrons qu’il est comparable aux autres temps caractéristiques. De nombreuses corrélations existent pour calculer le temps de fragmentation. La plupart de celles-ci dé-finissent le temps de fragmentation comme un multiple du temps caractéristique Ra de Rayleigh, défini par la relation suivante : dp Ra = r p kvp uf k f L’utilisation de ce temps est historique car les premières études sur la fragmentation étaient basées sur le développement et l’accroissement d’instabilités de type Rayleigh-Taylor à la surface de la particule. Le temps caractéristique de développement de ces instabilités étant Ra, c’est à partir de celui-ci que les corrélations ont été basées.
Pilch et Erdman [61] définissent le temps de fragmentation en fonction du nombre de Weber : 8 25 12 < W e < 18 6 (W e 12) 0: 0:25.

Traitement de l’inateraction particule-paroi dans le cadre du modèle multi-classes

Comme nous l’avons vu, l’interaction avec la paroi est prise en compte en utilisant un modèle de réémission. Dans le cas particulier du modèle multi-classes, cela revient à dupliquer dès l’initialisation du calcul la liste des classes, pour prendre en compte les particules qui seront émises depuis la paroi à la suite de l’impact de particules appar-tenant aux classes dites « primaires ». Ainsi, si nous souhaitons modéliser N classes de particules, l’initialisation sera faite avec 2 N classes, les N premières étant associées aux particules incidentes et les N suivantes aux particules réémises. Lorsqu’une classe atteint la paroi, les paramètres de la classe correspondant aux particules réémises sont initialisés grâce aux paramètres de la classe incidente, selon les équations (2.39) de la page 59.

Traitement des termes de rétroaction dans le cadre du modèle multi-classes

Enfin, pour conclure sur l’écriture du système d’équations dans le cadre du modèle multi-classes choisi, nous abordons ici la prise en compte de la rétroaction des particules sur le fluide. L’interaction entre le fluide et les particules se fait via trois échanges :
— un échange de masse dû à l’évaporation,
— un échange de quantité de mouvement dû à la force de traînée,
— un échange d’énergie dû aux transferts thermiques et au travail de la force de traînée.
Pour modéliser l’effet des particules sur le fluide nous introduisons un terme source dans les équations qui régissent le comportement du fluide : en notant Uf le vecteur ( f ; f uf ; f Ef )t les variables conservatives du fluide (la densité, la quantité de mouve-ment et l’énergie totale du fluide), nous pouvons écrire l’équation du fluide sous la forme suivante : @Uf + rx(Uf ; rUf ) = Sext + Schim + Spart (2.101)
Les vecteurs Sext et Schim correspondent aux termes sources dus aux forces extérieures et aux réactions chimiques, comme nous l’avons vu au chapitre précédent. Le vecteur Spart correspond aux termes sources dus aux particules, il s’exprime alors sous la forme d’une somme de toutes les contributions de chaque classe : 0 Qin 1 nm + n m (d ) B Qinmv C S part N B i p0 i di vi + ni mi vi C = B Qi + nimp0(di) di C B> > ; 0 0 19 0 > > B > C> N B 0 > C> B > C> B 2 > C> B vi > C> > i=1 B ni mi vi vi + nimp0(di) di k k C> X B 2 C= B 0 C  A> > >| {z } | {z } ;
Puissance volumique Energie cinétique de la force de traînée évaporée Second membre lié au choix de travailler en énergie interne (2.102)
Notons que le vecteur Spart n’est pas l’opposé du second membre des équations des particules. Cela vient du choix de travailler avec une équation sur l’énergie interne des particules et non l’énergie totale, la puissance volumique de la force de traînée et l’énergie cinétique des particules qui se sont évaporées ne sont alors pas prise en compte dans le bilan d’énergie. Il convient donc de le rajouter au moment de calculer le terme source transmis au fluide.

Table des matières

1 Modélisation de l’écoulement gazeux 
1.1 Choc autour d’un objet
1.2 Comportement de l’air à haute température
1.2.1 Cas d’un gaz pur diatomique
1.2.1.1 Degrés de liberté des molécules
1.2.1.2 Dissociation et ionisation
1.2.2 Comportement de l’air sans réaction chimique
1.2.3 Comportement de l’air dans le cas général
1.3 Équations générales des écoulements hypersoniques
1.3.1 Différents régimes d’écoulement
1.3.2 Équations de Navier-Stokes sans réaction chimique
1.3.2.1 Lois de comportement
1.3.2.2 Loi d’évolution de µ en fonction de T
1.3.2.3 Loi d’état
1.3.3 Équation de Navier-Stokes pour les mélanges de gaz réactifs
1.3.3.1 Liens entre les grandeurs par espèce et les grandeurs du mélange
1.3.3.2 Calcul de la viscosité du mélange
1.3.3.3 Calcul de la conductivité thermique du mélange
1.3.3.4 Calcul des termes de production massique des espèces
1.3.3.5 Calcul des termes de diffusion massique
1.3.4 Modèles simplifiés
1.3.4.1 Modèle « gaz parfait à γ constant »
1.3.4.2 Modèle « gaz parfait à γ variable et chimie figée »
1.3.4.3 Modèle « gaz parfait à γ variable et chimie infiniment rapide » dit « à l’équilibre »
1.4 Analyse des phénomènes physiques prépondérants dans le cas de l’interaction entre un écoulement d’air hypersonique et un obstacle
1.4.1 Configuration géométrique étudiée
1.4.2 Influence du choix du modèle sur la température
1.4.3 Influence du choix du modèle sur la distance de choc
1.4.4 Amélioration de la formule de Billig pour le calcul de la distance de choc
1.4.4.1 Introduction
1.4.4.2 Constats initiaux
1.4.4.3 Idée directrice
1.4.4.4 Construction de la formule
1.4.4.5 Mise en évidence de deux états asymptotiques
1.4.4.6 Détermination de la transition
1.4.4.7 Validation
1.5 Conclusion
2 Modélisation du brouillard de particules 
2.1 Modélisation des phénomènes physiques à l’échelle d’une particule
2.1.1 Forces aérodynamiques s’appliquant sur une particule
2.1.1.1 Bilan des forces
2.1.1.2 Expression du coefficient de traînée pour une sphère rigide
2.1.2 Échange de chaleur et de matière avec le gaz : effets thermiques s’appliquant sur une particule
2.1.2.1 Expression des flux thermiques reçus par une particule
2.1.2.2 Présentation des principaux modèles de chauffage et d’évaporation
2.1.2.3 Évaluation des temps caractéristiques liés aux effets thermiques
2.1.2.4 Évaluation du temps caractéristique des effets thermiques pour une particule solide
2.1.3 Caractérisation de l’interaction particules-paroi
2.1.4 Étude de l’influence des collisions entre les particules
2.1.5 Description du phénomène de fragmentation d’une particule liquide
2.1.5.1 Quelques modes de fragmentation
2.1.5.2 Temps caractéristique de breakup
2.1.5.3 Tailles et vitesses des fragments
2.2 Équation de Williams-Boltzmann associée au brouillard
2.2.1 Expression des termes Φv, Φd et Φe
2.2.2 Discrétisation dans l’espace des phases (vp, dp, ep, Ψp)
2.2.3 Équations générales du système multi-classes
2.2.3.1 Traitement de l’interaction particule-paroi dans le cadre du modèle multi-classes
2.2.3.2 Traitement des termes de rétroaction dans le cadre du modèle multi-classes
2.3 Conclusion
3 Discrétisation numérique du modèle et tests académiques de validation 81Table des matières 
3.1 Discrétisation du système
3.1.1 Discrétisation spatiale
3.1.1.1 Rappels généraux sur la méthode des volumes finis
3.1.1.2 Application au cas du système fluide-particules
3.1.2 Discrétisation temporelle
3.1.2.1 Rappels généraux sur la méthode de discrétisation temporelle des systèmes différentiels
3.1.2.2 Application au cas du système fluide-particules
3.1.3 Quelques propriétés mathématiques du schéma de discrétisation utilisé pour la phase particulaire
3.1.3.1 Préservation de la positivité du nombre de particules
3.1.3.2 Principe du maximum sur la masse des particules
3.1.3.3 Principe du maximum sur la vitesse des particules
3.1.3.4 Principe du maximum sur l’énergie et le facteur de déformation
3.1.4 Traitement numérique de la configuration axisymétrique
3.1.5 Traitement numérique des conditions aux limites
3.1.6 Traitement numérique des termes de rétroaction
3.1.6.1 Etude de la stabilité du système couplé avec relaxation
3.2 Résultats des tests de validation sur des configurations académiques
3.2.1 Cas d’épreuve #1 : Validation du traitement numérique du transport et des phénomènes thermiques
3.2.2 Cas d’épreuve #2 : Validation du traitement numérique du système complet
3.2.2.1 Présentation du cas test et des hypothèses de calcul
3.2.2.2 Équations du système couplé ffluide+particulesg
3.2.2.3 Validation de la conservativité globale : calcul des conditions de sortie en fonction des conditions d’entrée
3.2.2.4 Validation du système global : linéarisation du système
en l’absence d’effets thermiques, calcul de solutions explicites et comparaison avec les résultats obtenus par le code SDFS
3.2.2.5 Validation du système global : calcul de solutions explicites du système en l’absence d’effets dynamiques et comparaison avec les résultats obtenus par le code SDFS
3.2.3 Validation de l’implémentation numérique des conditions aux limites d’interaction particules paroi
4 Modélisation de la fragmentation de particules liquides
4.1 Description de deux modèles de fragmentation adaptés au régime supersonique
4.1.1 Description du modèle de fragmentation proposé par Reinecke
4.1.1.1 Présentation du modèle
4.1.1.2 Traitement numérique du modèle de fragmentation de Reinecke
4.1.1.3 Validation de l’implémentation numérique du modèle de fragmentation de Reinecke
4.1.2 Description du modèle de fragmentation de Chauvin
4.1.2.1 Présentation du modèle
4.1.2.2 Traitement numérique du modèle de fragmentation de Chauvin
4.1.2.3 Validation de l’implémentation numérique du modèle de fragmentation de Chauvin
4.2 Mise en évidence de l’importance de la fragmentation dans la caractérisation d’un spray supersonique
4.2.1 Évaluation du temps caractéristique de fragmentation
4.2.2 Analyse des flux de masse impactant la paroi en fonction du modèle de fragmentation
4.3 Description des nouveaux modèles de fragmentation
4.3.1 Description du modèle de fragmentation dit « à deux classes »
4.3.1.1 Mise en exergue des limites des modèles de Reinecke et de Chauvin
4.3.1.2 Présentation du modèle
4.3.1.3 Traitement numérique du modèle à deux sections
4.3.2 Description du modèle multiclasses
4.3.2.1 Description du dispositif expérimental et présentation des principaux résultats
4.3.2.2 Présentation du modèle proposé
4.3.2.3 Formulation Eulérienne du modèle de fragmentation multiclasses
4.4 Conclusion
5 Premières applications du modèle pour la restitution d’expériences complexes d’interaction d’un brouillard avec un choc 
5.1 Expérience d’Alice Chauvin
5.1.1 Diagramme d’ondes (x;t) dans le tube à choc
5.1.2 Mise en évidence de trois états
5.1.3 Caractérisation de la pression asymptotique
5.1.4 Pistes d’amélioration du modèle
5.2 Expérience de Boeing
5.2.1 Présentation de l’expérience
5.2.2 Présentation des travaux de Hulin et Znaty [44]
5.2.3 Reproduction des travaux de Hulin et Znaty [44]
5.2.4 Étude de sensibilité
5.3 Conclusion
Conclusion et perspectives
Bibliographie 

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