Dynamique optimale de systèmes articulés à cinématique fermée

Systèmes articulés à cinématique fermée

   Ce type de systèmes se rencontre de plus en plus en plus fréquemment dans l’industrie où des machines à architecture parallèle variées commencent à apparaître. Contrairement à un robot série « traditionnel » à chaîne cinématique ouverte, un robot parallèle est constitué de chaînes articulées à cinématique fermée. Ainsi, au lieu de disposer les axes articulaires et les moteurs en série avec l’accumulation des jeux et des flexibilités, le robot à agencement parallèle permet à la fois de rigidifier la structure, d’améliorer la précision et de diminuer la puissance des moteurs. Le poids d’un robot parallèle qui est ainsi généralement plus faible que celui d’un robot série dans un domaine d’utilisation analogue, génère alors des accélérations élevées et donc des temps de réalisation de tâches plus faibles. Un autre avantage non négligeable de la parallélisation des systèmes d’actionnement réside dans les symétries inhérentes à ce type d’architecture qui induit une standardisation des actionneurs de chaque axe du robot. Aujourd’hui encore, peu de robots à architecture parallèle ont une vie commerciale. On peut citer l’exemple, dans le domaine de la manipulation industrielle, du robot Delta de la société Demaurex (Figure I–1). Ce robot industriel est le plus rapide qui soit en atteignant des accélérations de l’ordre de 200m/s2. On peut également mentionner la plate-forme de GoughStewart dont la structure est utilisée dans le domaine des simulateurs de vol (Figure I–2) et le Double-delta du LMS (Figure I–3) dans lequel un assemblage de deux structures de type « Delta » permet un découplage des mouvements de translation de la nacelle de ses mouvements de rotation. La présentation qui suit est essentiellement limitée aux systèmes plans. Les simulations numériques réalisées dans le troisième chapitre concernent uniquement de tels systèmes. La complexité calculatoire qui leur est associée ne présente pas de difficultés techniques majeures pour la formulation des équations dynamiques que nous envisageons de traiter. On peut distinguer deux types de systèmes fermés selon qu’ils présentent ou non des liaisons unilatérales. Le niveau de complexité des problèmes à traiter est plus élevé lorsque des liaisons unilatérales doivent être prises en compte.

Formulation dans une configuration minimale

   Cette approche permet de passer d’un problème à paramètres dépendants à un problème à paramètres indépendants. Elle est développée particulièrement dans [GAR 94]. L’avantage de travailler avec ce type de paramétrage est de réduire le nombre d’équations à intégrer. Cela permet également de supprimer les phénomènes d’instabilité qui se manifestent lors de l’intégration des équations de contraintes. Ce processus de transformation des paramètres repose sur un point important qui est le choix des paramètres indépendants. En effet, pour un même mécanisme se trouvant dans deux configurations différentes, les paramètres indépendants choisis peuvent être appropriés dans un cas mais pas dans l’autre (cf. [GAR 94]). Il existe plusieurs méthodes permettant de développer les formulations dynamiques d’un système bouclé dans une configuration à paramètres indépendants ([GAR 94], [FÜH 91]). Néanmoins, toutes ces techniques présentent certains inconvénients : non seulement elles génèrent des algorithmes complexes rendant extrêmement difficile la résolution du problème d’optimisation dynamique, mais aussi elles font apparaître des phénomènes de singularités qui bloquent les processus numériques d’intégration. Elles conduiraient, de plus, à des formulations ingérables pour réaliser les dérivations d’ordre supérieur nécessaires pour l’écriture des conditions d’optimalité énoncées par le principe du maximum de Pontryagin.

Technique du plan de phase

   Cette méthode a été développée pendant les années 80 et le début des années 90. Elle a été utilisée au départ pour résoudre le problème de parcours en temps minimal d’une trajectoire donnée, suivie par l’extrémité d’un bras manipulateur ([BOB 83], [PFE 86], [SLO 89]). Cette technique consiste à considérer les paramètres de rotations articulaires comme des fonctions de l’abscisse curviligne de la trajectoire à suivre. De cette manière, les variables de phase du mouvement sont réduites à l’abscisse curviligne et à sa dérivée par rapport au temps. L’accélération est alors considérée comme la nouvelle et unique variable de commande du problème. La résolution du problème d’optimisation est effectuée par la construction d’une trajectoire optimale dans le plan de phase. Dans [SHI 97] cette technique a été étendue à l’évitement d’obstacles en la complétant par une méthode de paramétrisation de la trajectoire à suivre qui est ainsi optimisée. A la différence de la technique du plan de phase, les deux méthodes suivantes, beaucoup plus générales que la précédente, permettent d’optimiser le mouvement complet.

Principe du maximum de Pontryagin (PMP)

   Le principe du maximum de Pontryagin ([PON 62], [BRY 75], [IOF 79], [LEW 95]) est, sur le plan théorique, parfaitement adapté à la résolution des problèmes d’optimisation de mouvements. Malgré cette adéquation, le principe du maximum est resté assez peu utilisé pour le traitement numérique des problèmes d’optimisation dynamique. Cela semble dû aux difficultés que peut poser la résolution numérique du problème aux limites en deux points auquel il conduit. Parmi les toutes premières applications du PMP dans le domaine de l’optimisation de mouvements de systèmes articulés, on peut citer [KAH 71] et [CHO 71]. Dans la première référence les auteurs Kahn et Koth cherchent à optimiser les mouvements d’un bras de robot manipulateur à trois articulations actives. Pour cela, ils utilisent un modèle dynamique linéarisé. Dans la seconde référence, Chow et Jacobson s’intéressent à l’optimisation de la marche humaine. Ils concentrent leur étude sur l’optimisation du mouvement d’une seule jambe bisegmentaire. Les formulations du problème sont longuement développées pour une recherche de solutions explicites. Ces premières tentatives d’implémentation du PMP concernent la recherche de solutions au problème de commande en temps minimal comme dans [WEI 85], [GEE 86]. Dans [CHEN 90] et [BES 92] ce problème est indirectement résolu en minimisant un critère de performance mixte portant sur la durée et la somme quadratique des couples actionneurs articulaires. Cette somme constitue un terme complémentaire régularisant qui fait disparaître les discontinuités des commandes optimales dites « bang-bang » qui apparaissent dans la recherche de mouvements à temps de transfert minimal. Plus récemment, Galicki dans [GAL 98], et Galicki et Ucinski dans [GAL 00] ont utilisé une forme variationnelle du principe du maximum de Pontryagin pour résoudre un problème de planification optimale de trajectoires soumises à des contraintes sur l’état. Cette approche a été appliquée à la construction de trajectoires qui évitent un obstacle dans le plan du mouvement.

Paramétrage et conditions de fermeture de chaîne

   Le choix d’un paramétrage avec le pied d’appui de la phase unipodale maintenu à plat sur le sol permet d’introduire une configuration minimale à six paramètres pour le bipède à sept corps (ou à cinq paramètres dans le cas du bipède sans pieds). Cette configuration est élargie à sept paramètres pour la description de la phase bipodale (Figure II–5) avec une ouverture de chaîne au niveau du contact pied-sol avant. En réalité, si l’on prend q = cste 1 (angle de rotation absolue du pied arrière en PDA) durant la phase unipodale, les deux paramétrages sont alors identiques, ce qui permet de formuler le même modèle dynamique pour les deux phases du mouvement.

Table des matières

INTRODUCTION GENERALE
CHAPITRE I MODÈLES DYNAMIQUES DE SYSTÈMES À CINÉMATIQUE FERMÉE
I.1 INTRODUCTION
I.2 SYSTÈMES ARTICULÉS À CINÉMATIQUE FERMÉE
I.2.1 Systèmes fermés avec liaisons bilatérales
I.2.2 Systèmes fermés avec liaisons unilatérales
I.2.3 Paramétrage du mouvement
I.2.3.1 Système bouclé sur sa base par deux liaisons bilatérales non glissantes
I.2.3.2 Système bouclé sur appuis par contact unilatéral
I.3 MODÈLES DYNAMIQUES
I.3.1 Formulation dans une configuration minimale
I.3.2 Formulation dans une configuration de chaîne ouverte
I.3.2.1 Équations du mouvement avec multiplicateurs de Lagrange
I.3.2.2 Formulation hamiltonienne des équations du mouvement avec multiplicateurs
I.3.2.3 Élimination du multiplicateur
I.3.2.4 Introduction des forces de liaisons comme variables de commande complémentaires
I.3.2.5 Equation d’état du système
I.3.3 Exemple : modèle dynamique d’un système plan à boucle fermée
I.4 CONCLUSION
CHAPITRE II OPTIMISATION DE MOUVEMENTS DE SYSTÈMES ARTICULÉS EN BOUCLE OUVERTE ET BOUCLE FERMÉE
II.1 INTRODUCTION
II.2 TECHNIQUES D’OPTIMISATION
II.2.1 Technique du plan de phase
II.2.2 Optimisation paramétrique
II.2.3 Principe du maximum de Pontryagin (PMP)
II.3 FORMULATION DU PROBLÈME D’OPTIMISATION POUR LES SYSTÈMES À BOUCLE OUVERTE
II.3.1 Équation d’état et conditions aux limites
II.3.2 Domaine de commandes admissibles
II.3.3 Critère de performance
II.3.4 Contraintes sur les variables d’état
II.3.4.1 Contraintes sur les coordonnées articulaires et leurs dérivées
II.3.4.2 Contraintes anti-collision
II.3.5 Critère de performance pénalisé
II.3.6 Application du principe du maximum de Pontryagin
II.4 SYSTÈMES À BOUCLE FERMÉE
II.4.1 Paramétrage et conditions de fermeture de chaîne
II.4.2 Description des forces de liaison
II.4.3 Domaine de commande admissible
II.4.4 Le cas de contacts unilatéraux non libérés
II.4.5 Critère pénalisé
II.4.6 Conditions d’optimalité
II.4.7 Techniques de résolution
II.5 CONCLUSION
CHAPITRE III SIMULATIONS NUMÉRIQUES
III.1 INTRODUCTION
III.2 SYSTÈME PLAN À BOUCLE FERMÉE AVEC LIAISONS BILATÉRALES
III.2.1 Description du système
III.2.2 Modèle dynamique
III.2.3 Critère et contraintes
III.2.4 Expression de la commande optimale
III.2.5 Résultats numériques
III.3 ESSAIS DE SYNTHÈSES OPTIMALES DE LA MARCHE SAGITTALE
III.3.1 Bipède sans pied
III.3.1.1 Données cinématiques du bipède plan à cinq corps
III.3.1.2 Modèle dynamique
III.3.1.3 Critère et contraintes
III.3.1.4 Conditions d’optimalité
III.3.1.5 Forces de contact appliquées à la patte arrière – conditions de contact
III.3.1.6 Résultats numériques
III.3.2 Bipède plan à cinématique anthropomorphe
III.3.2.1 Caractéristiques cinématiques du bipède plan à sept corps
III.3.2.2 Distribution des masses et inerties
III.3.2.3 Modèle dynamique
III.3.2.4 Critère et contraintes
III.3.2.5 Conditions d’optimalité
III.3.2.6 Unilatéralité des forces d’appui sur le pied porteur en phase de balancement
III.3.2.7 Unilatéralité des forces d’appui sur la pointe du pied arrière en phase de double appui
III.3.2.8 Résultats numériques
III.4 CONCLUSION

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