Soutenance mémoire
Dynamique de l’écoulement de cavité
L’écoulement de cavité fournit une configuration académique pour étudier les oscillations autoentretenues d’une couche de cisaillement impactante. Ce phénomène physique intervient dans la production du son de certains instruments à vent comme la flûte. Mais c’est aussi la principale source de nuisances sonores dans plusieurs applications.
Rappels de notion de mécanique des fluides
Pour décrire l’écoulement d’un fluide, il faut connaître le mouvement de chacune des particules « élémentaires » constitutives de ce milieu (atomes, ions ou molécules). Dans la description mésoscopique que nous adopterons, le fluide est considéré comme un milieu continu et déformable. La ”particule” fluide est définie comme un « petit » volume de fluide. Ce volume est considéré assez grand pour contenir un très grand nombre de particules élémentaires mais petit devant le libre parcours moyen des éléments microscopiques. Dans un intervalle de temps ∆t autour de t, nous associons à la particule fluide une vitesse, une pression, une masse volumique, etc. Chaque particule fluide est soumise à des forces de volume, telles que le poids, les forces d’inertie et autres forces de contact transmises à la surface de la particule par les éléments environnants.
Descriptions Eulérienne et Lagrangienne d’un fluide
En dynamique des fluides, deux descriptions peuvent être utilisées. Dans la description Lagrangienne on s’intéresse à une particule de fluide dont on suit l’évolution au cours du temps. Cette description est particulièrement bien adaptée dans les applications de mélange par advection chaotique, mais présente un inconvénient : le référentiel se déplace avec le fluide. Il est donc difficile de connaître l’état du fluide en un point donné de l’espace et du temps. A l’opposé, dans la description Eulérienne, on s’intéresse aux différentes grandeurs qui caractérisent l’élément macroscopique de fluide qui se trouve au point d’observation M, fixe par rapport à un référentiel d’étude à l’instant t. Le champ de vitesse dans cette description sera décrit en donnant à tout instant t le vecteur vitesse en tout point M : ~u(M, t). En pratique, cette description est parfaitement adaptée à l’étude des écoulements fluides, car nous mesurons généralement les grandeurs physiques à l’aide de capteurs placés en des points fixes de l’écoulement.
Dérivée particulaire
Il s’agit de connaître l’évolution de toute grandeur physique liée à une particule fluide que l’on suit dans son mouvement. Dans la description Eulérienne, les grandeurs sont définies en un point géométrique M. Pour suivre la grandeur dans son mouvement, il faut attacher le point géométrique M à la particule fluide et la suivre dans son mouvement.
Dispositif considéré
Pour pouvoir contrôler un dispositif réel de cavité, nous disposons au LIMSI d’un banc d’essai équipé d’un actionneur plasma à décharge à barrière diélectrique placé en amont et alimenté par une source haute tension d’une puissance de quelques Watt. Un état de l’art sur le contrôle d’écoulement par ce type d’actionneur ainsi que les propriétés électriques et mécanique du vent ionique produit, sont proposés par Moreau [Mor07]. Plus de détail sur le contrôle de l’écoulement de cavity avec l’actionneur plasma à décharge à barrière diélectrique pourront être trouvés dans [Dou14]. Cet actionneur a la particularité d’être très fin, avec une consommation énergétique faible et facile à intégrer de sorte qu’il ne change pas les caractéristiques de la couche limite. L’actionneur plasma appartient à la famille des actionneurs à jet synthétique [CRDG13] : il n’y a pas d’apport de matière dans l’écoulement. Ce banc est équipé également d’un capteur de pression placé sous le coin aval de la cavité (voir figure 1.5). Nous désirons construire un modèle d’ordre réduit capable de saisir la dynamique responsable de l’apparition du cycle limite (oscillations auto-entretenues). La première démarche qui vient à l’esprit de tout automaticien est d’extraire ce modèle à partir des équations qui régissent l’écoulement. Mais à cause de leur complexité, due à la grande dimension du problème et aux non-linéarités, de telles équations ne permettent pas d’avoir un modèle pour exploiter les outils de contrôle. La deuxième démarche consiste à considérer la cavité comme une boite noire et d’essayer d’extraire sa réponse fréquentielle en introduisant des signaux d’excitation qui balaient une large bande de fréquences. Malheureusement, nous nous confrontons à trois obstacles majeurs :
− la méconnaissance de la fonction de transfert de l’actionneur ;
− la présence de bruit environnant qui entache la qualité de la mesure ;
− la restriction sur l’allure des signaux à envoyer à l’actionneur et du coup une limitation en bande de fréquences excitées. En effet, l’actionneur plasma ne permet d’adresser que des pulses positifs d’une durée donnée.
Simulations numériques directes et implémentation d’un actionneur
Un simulateur numérique 2D de l’écoulement de cavité permet de contourner ces obstacles. Ce simulateur est basé sur la résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles. La résolution s’appuie sur une méthode d’éléments finis. La convergence de cette méthode, ainsi que la précision de la solution, dépendent fortement du maillage utilisé. Généralement, cette méthode requiert un maillage aligné avec la direction principale de l’écoulement et très fin dans les zones de forts gradients. Plus le maillage est fin plus les résultats sont précis mais plus les besoins en mémoire et en temps de simulation sont élevés. Nous optons pour un maillage rectiligne irrégulier raffiné dans la couche de cisaillement et proches des parois . Quelques modifications ont été apportées au code OLORIN de Y. Fraigneau pour pouvoir introduire l’effet de l’actionneur. Une force horizontale ~f a été introduite dans les équations de Navier-Stokes, sur un petit domaine carré d’une longueur Lf = 5×10⁻³ m.
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Table des matières
Introduction générale
1 Dynamique de l’écoulement de cavité
1.1 Introduction
1.2 Rappels de notion de mécanique des fluides
1.2.1 Descriptions Eulérienne et Lagrangienne d’un fluide
1.2.2 Dérivée particulaire
1.2.3 Conservation de la masse
1.2.4 Viscosité et couche limite
1.2.5 Équation de Navier-Stokes et nombre de Reynolds
1.2.6 Épaisseur de quantité de mouvement
1.3 Écoulement de cavité
1.3.1 Mécanisme des oscillations auto-entretenues
1.3.2 Dispositif considéré
1.3.3 Simulations numériques directes et implémentation d’un actionneur
1.3.4 Validation de la modélisation de l’effet d’actionneur
1.3.5 Comportement dynamique de l’écoulement de cavité
1.4 Principaux travaux d’identification de modèle linéaire de cavité
1.4.1 Techniques empiriques d’identification du modèle de cavité
1.4.2 Techniques d’identification du modèle basées sur les lois physiques de la mécanique des fluides
1.4.2.1 Observabilité et commandabilité
1.4.2.2 Modèle de type Rossiter
1.5 Modèle linéaire
1.5.1 Identification de la partie linaire du modèle de cavité
1.5.1.1 Identification du cycle limite
1.5.2 Identification linéaire simplifiée
1.5.3 Synthèse de correcteur
1.5.4 Synthèse H∞
1.5.5 Résolution du problème H∞
1.5.6 Synthèse et analyse du correcteur H∞
1.6 Conclusion
2 Modélisation non-linéaire
2.1 Introduction
2.2 Modèle de type Van der Pol
2.2.1 Oscillateur de Van der Pol et analyse harmonique
2.2.1.1 Condition d’auto-oscillation
2.2.1.2 Étude de la stabilité d’une auto-oscillation
2.2.2 Analyse harmonique de l’oscillateur de Van der Pol forcé
2.2.2.1 Solution particulière
2.2.3 Identification du modèle de l’oscillateur à partir des résultats expérimentaux
2.2.4 Synthèse d’une loi de commande
2.2.5 Application à l’écoulement de cavité
2.3 Modèle à phase dynamique
2.3.1 Modèlisation
2.3.2 Synthèse d’une loi de commande
2.3.3 Synthèse d’un observateur
2.4 Conclusion
3 Contrôle empirique
3.1 Introduction
3.2 Commande pulsée à quadrature de phase
3.3 Contrôle à retard
3.3.1 Contrôle à retard sur l’écoulement de cavité
3.3.2 Contrôle à retard sur Rössler
3.4 Commande Pyragas
3.5 Conclusion
4 Eigensystem Realization Algorithm
4.1 Introduction
4.2 ERA en boucle ouverte
4.2.1 Commandabilité
4.2.2 Observabilité
4.2.3 Démarche à suivre pour l’identification du modèle
4.3 ERA en boucle fermée
4.3.1 OCID
4.3.2 Identification avec une dynamique de correcteur connue
4.4 Exemple d’application
4.5 Conclusion
5 Analyse et contrôle de la dynamique linéaire de l’écoulement de cavité
5.1 Introduction
5.2 Synthèse H2
5.3 Identification et contrôle optimal pour l’écoulement de cavité
5.4 Conclusion
Conclusion
