DYNAMIQUE DE LA RÉCURRENCE DE MYRBERG GENERALISÉE

Plan paramètrique – Bifurcations

Un des problèmes fondamentaux pratiques de la dynamique non linéaire est l’étude des bifurcations dans l’espace paramétrique. Une bifurcation correspond à un changement qualitatif du comportement du système quand le paramètre λ traverse une valeur critique λ0. En particulier les valeurs de λ correspondent à un cas critique de Lyapunov sont liées à des bifurcations dites classiques. Sous l’effet d’une petite variation autour λ0, ce changement peut correspondre soit à l’apparition ou à la disparition de nouvelles singularités, soit à une modification de la nature des singularités. Pour les transformations décrites par (1.5) plusieurs sortes de bifurcations se produisent.

Structure de bifurcation Boîtes-emboîtées

La structure de bifurcation « boîtes-emboîtées » a été mise en évidence en 1975, cette structure est un autre type d’organisation fractal pour l’ensemble de bifurcation dans le plan paramètrique d’un système dynamique donné. Rappelons que le terme bifurcation désigne des changements qualitatifs du système sous l’effet des variations des paramètres. Ici le terme fractal indique que les boîtes sont autosimilaires c’est à dire que l’ensemble est semblable aux parties ( boîtes) et ceci reste vrai même quand ces parties sont infinitésimales. Cette structure fractale donne une route vers le chaos pour un grand nombre de systèmes dynamiques. La cascade de Merberg ou cascade de doublement de période constitue une partie de la structure de bifurcation « boîtes-emboîtée » les détails concernant cette structure peuvent être trouvés dans Mira et Gumowski [26, 37]. Appelons Ω1 l’intervalle hλ(1)0,λ∗1i de l’axe paramètrique contenant tous les structures de bifurcation « boîtes-emboîtées ». A l’intérieur de cette boîte Ω1 on distingue deux sous intervalles (boîtes) sur l’axe paramètrique notés ω1 et ∆1. En général, l’indice k utilisé désigne les boîtes ωk et ∆k qui forment la boîte Ωk, cette dernière traduit la même organisation des bifurcations que la boîte Ω1 mais par rapport à la transformations Tk.

Etude du plan de phase

Nous allons considérer la structure des attracteurs, leurs bassins d’attraction et les bifurcations de ces bassins. Deux types du bassins sont illustrés dans cette section. D’abord, nous choisissons les paramètres pour le cas d’existence de deux attracteurs. Nous remarquons que les deux attracteurs ne subissent pas les mêmes bifurcations dans le plan des paramètres, tandis qu’un attracteur passe par une bifurcation flip et l’autre par la bifurcation fold lorsqu’on fixe c = 0.95225, et si nous donnons une valeur négative au paramètre d = −0.07 nous avons apparition d’un changement de type de bifurcations à l’intérieur du même bassin après des bifurcations hétérocliniques. Diminuons la valeur du paramètre d, nous avons la situation suivante : le portrait de phase de la récurrence T2 en d = −0.1 est illustré dans la Figure 3.10, les deux cycles-2 stables changent leur cols associés. En accord avec le diagramme de bifurcations Figure 3.1a, la jonction entre les zones permet ce changement entre les attracteurs. Pour le cas p = 3 et q = 2, fixons les valeurs des paramètres c = 0.9, d = −0.32, et r = 1.5, nous avons deux cycles-2 avec deux points-flip type cols et un point col régulier sur la frontière commune entre les deux.

Conclusion et perspectives

Le travail que nous avons présenté dans cette thèse concerne l’étude d’un système non linéaire réel modélisé par des transformations ponctuelles de dimensions deux. Dans le cas particulier où nous considérons un modèle basé sur des fonctions polynomiales, nous avons étudié les types de bifurcations locales (flip, fold) analytiquement et numériquement dans les six plans de paramètres (p, r),(q, r),(c, r),(p, q),(q, c),(p, c) et dans le plan de phase, les bifurcations globales et les courbes critiques. Cette thèse a contribué à développer les travaux initiés depuis quelques années sur les transformations inversibles et non inversibles. Nous avons étudié le comportement des cycles d’ordre k, (k ≥ 1) dans chaque plan paramètriques. Pour un paramètre de prolongement c petit (c = 0.1), la bifurcation big bang apparait dans ces plans et existe même dans le cas où les applications ne sont pas défini par morceaux. Les effets de bifurcation pour c petit sont semblables à ceux dans le cas unidimensionnel. Cependant, quand c augmente, ils changent qualitativement. Une structure de bifurcation particulière est détectée au voisinage de la valeur c = 1 où nous avons trouvé une infinité de points de codimension-2 sur la courbe ∆c=1, et pour c > 1 nous avons obtenu que les cycles d’ordre k ≥ 1 tous instables. L’étude dans le plan de phase nous a confirmé ces résultats, avec la mise en évidence de l’attracteur chaotique et les bifurcations hétérocliniques des points cols, situés à l’intérieur ou sur la frontière du bassin d’attraction. Ce phénomène provient de l’apparition des bassins non connexes avec des points cols à l’extérieur et des courbes critiques dans le cas général (∀p, q > 2). Et ce travail est composé de trois chapitres.
— A titre de suggestion, nous proposons pour le deuxième chapitre de la présente thèse de se pencher sur la bifurcations big bang dans les six plans des paramètres étudiés et faire un balayage bien précis.
— Pour le troisième chapitre, approfondir et compléter l’étude de l’endomorphisme de dimension2 par la variation des paramètres en valeurs négatives.
— Comme prochaine étude, nous allons proposer de déterminer numériquement les courbes du plan (c, r) par variation du paramètre c, c = 0, c = 1 et 0 < c < 1 et α, pour lequelles les cycles de la transformation à variables réelles T2 définie par T3 :(xn+1 = rxn(1 − yn) + yn(1 + αx2n)yn+1 = cx,(4.3) ont le produit de leurs multiplicateurs égal à 1 (S1S2 = 1). (4.3) est un difféormorphisme pour α > 0, à jacobien non constant J = −c(1 + αx2n) et possède trois points fixes qui sont tous des foyers attractifs si α = 1 et |c| < 1.

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Table des matières

Introduction
1 Définitions et propriétés générales sur les systèmes dynamiques
1.1 Ensembles stables et instables
1.2 Attracteur, attracteur chaotique et chaos
1.3 Bassin d’attraction
1.4 Bifurcation concernant les bassins d’attraction
1.5 Plan paramètrique – Bifurcations
1.6 Structure feuilletée d’un plan paramétrique
1.7 Plan de phase d’une transformation non inversible
1.8 Rôle des lignes critiques dans les bifurcations fondamentales des basins
2 Plan paramétrique
2.1 Rappels et définitions
2.2 Les transformations de Hénon généralisées
2.3 Le passage d’un endomorphisme en dimension-1 au difféomorphisme de dimension-2
3 Plan de phase
3.1 Le passage d’un diffeomorphisme à un endomorphisme de dimension deux
4 Les ensembles de commutation
4.1 Calcul des ensembles de commutation dans le cas général
4.2 Les ensembles de commutation et l’application inverse
4.3 Les courbes invariantes du difféomorphisme quadratique
4.4 Quelques applications
Conclusion et perspectives
Bibliographie
Programme MAPLE