Dynamique chaotique et changements de régime

Dynamique chaotique et changements de régime

PROPRIETES DYNAMIQUES : MESURES ET TESTS

Successivement, la dimension de l’attracteur, le plus grand exposant de Lyapunov, la statistique BDS et les tests de mémoire longue.

 Mesures

On trace nos trajectoires dans l’espace des phases (graphique 4.1). Puis nous procédons à la mesure de la dimension de l’attracteur.
1) Dimension de corrélation
L’estimation de la mesure de l’attracteur selon l’algorithme de Grassberger et Procaccia (dimension de corrélation) est effectuée sur Dpalme dont on rappelle qu’elle est la série logarithmique différenciée des prix mensuels de l’huile de palme en livre sterling courante à Liverpool (1818-1960) et à Rotterdam (1960-1997), soit 2158 données.La dimension de l’espace de plongement m (embedding dimension) varie de 1 à 10. Une condition de fiabilité de la mesure n de l’attracteur dans ces espaces successifs est que m soit supérieur ou égal à 2n + 1. Les attracteurs de dimension supérieure à 5 ne sont donc pas retenus ici, ce principe de précaution n’exprimant rien de plus que la difficulté de dissocier statistiquement hasard et chaos dans des systèmes à nombre élevé de degrés de liberté.

Résultats : On constate la présence d’un attracteur de dimension faible ou nulle, mesuré dans un espace de dimension de 1 à 7, qui ensuite se dilate parallèlement à l’axe y = x ainsi que le ferait un bruit blanc (graphique 4.2). Ce résultat étrange pourrait traduire l’existence d’un système dissipatif convergeant vers un point fixe (dimension nulle) mais contrarié par des perturbations qui l’empêchent de converger. L’algorithme est incapable de fournir une approximation globale de la dimension de l’attracteur.

Exposant de Lyapunov

On choisit un espace de plongement de dimension m = 10. Le rayon ε de l’hypersphère est fixé à 10-4, la longueur des trajectoires à trois points. La valeur λ* du plus grand exposant de Lyapunov est mesurée en bit / unité de temps. L’écart entre deux trajectoires proches augmente de λ* entre deux unités de temps (respectivement diminue si λ* est négatif). La valeur maximale est l’unité (doublement de l’écart). Rappelons qu’en théorie une valeur positive signale le chaos.
Résultats : λ* = 0.046 > 0 : la dynamique des prix est chaotique. Potentiellement. L’absence de test statistique sur λ* ne permet pas pour l’instant de rejeter l’hypothèse selon laquelle la divergence observée serait uniquement l’effet d’un bruit prépondérant dans le signal (lequel possède également un exposant de Lyapunov positif). Cette hypothèse eût été rejetée en cas de stabilité globale, que nous n’observons pas. On recourt au test BDS pour confirmer la présence d’une structure déterministe chaotique dans les trajectoires de Dpalme.

Test BDS de bruit blanc

DPalme est débarrassée de ses composantes identifiables par les outils traditionnels des séries temporelles : extraction d’une tendance linéaire (modèles ARMA) puis extracttion de la non linéarité que produit la corrélation des variances (modèles non linéaires GARCH). La série filtrée sous ARMA et la série filtrée sous ARMA-GARCH, sont passées au crible du test BDS. Rappelons l’hypothèse nulle de ce test : la série est un bruit blanc. Les résidus du modèle ARMA-GARCH seront l’objet d’une attention particulière. Le rejet de l’hypothèse BDS de bruit blanc conduira à affirmer que les non linéarités saisies par GARCH ne suffisent pas à blanchir le bruit : du chaos le colore.

Ecriture du modèle

Les tests de racines unitaires sont dans un premier temps menés sur la série Palme. L’hypothèse d’une racine unitaire ne peut être rejetée. La série est non stationnaire et peut être stationnarisée par passage au différences premières.persistance infinie des « chocs ». L’estimation, au temps t, de la persistance d’un choc survenu en t-k grâce à l’algorithme d’analyse des rapports de variance de Cochrane (1988) confirme le résultat des tests de racine unitaire. Cochrane dans son article s’intéresse à la variance des différences kèmes du PNB par tête. Dans le cas d’une marche aléatoire, le PNB au temps t, yt s’écrit :
y t = m + yt-1 + et [4.1]
où et est un bruit blanc et m une constante qui peut être nulle ; le coefficient précédant le terme avec retard, yt-1, est égal à l’unité : la « racine » est unitaire. On sait que la variance des différences kèmes croît avec k :
var(yt – yt-1) = k σ2e [4.2]
Tandis que dans le cas d’un modèle à tendance déterministe, la variance est indépendante de k. Le comportement de var(yt – yt-1)/k lorsque k s’accroît renseigne en conséquence sur la nature du trend : ce rapport est constant dans le cas d’une marche au hasard ; il tend vers 0 dans le cas d’une tendance déterministe. L’existence d’une valeur asymptotique dit l’importance ou la « grosseur » (big) de la composante marche aléatoire de la série étudiée. Une résolution graphique facilite considérablement la lecture des résultats. En abscisse sont placés les retards « k », en ordonnée le rapport var(yt – yt-1) / k. On pose, par simplification, σ2= 1. Des valeurs en ordonnée égalent à 1 indiquent des chocs permanents et une marche au hasard pure ; déclinant vers 0 elles marquent la présence de chocs essentiellement transitoires autour d’une tendance déterministe. Les analyses de Fama et French (1988) sur séries financières, également celles de Poterba et Summers (1988) et Lo et Mac Kinlay (1988) sur rendements boursiers, ont montré que les comportements des prix ne pouvaient en réalité être décrits par un type de tendance à l’exclusion de l’autre : après une période de déambulation au hasard, une tendance déterministe se fait jour vers laquelle les prix retournent. Connu sous le nom de retour à la moyenne (mean reverting process) ce phénomène a été également observé sur des séries agricoles par Araujo Bonjean (1997) : les séries tendent à retourner à leur moyenne avant dix ans.

Table des matières

INTRODUCTION
I) Les inconstances de la volatilité
1) La marche au hasard
2) Quelles alternatives à la loi de Gauss ?
II) Interprétation théorique de la volatilité
1) Les sources exogènes de la volatilité
2) Les sources endogènes de la volatilité
III) La dynamique complexe
1) Définition
2) Implications en terme de volatilité
3) Questions, hypothèses et plan
IV) Les données
PREMIERE PARTIE Dynamique chaotique et changements de régime
CHAPITRE 1 Identité statistique de la série
I) Comportement des moments empiriques
II) La distribution des variations de prix
1) Une distribution normale ?
2) Une distribution changeant dans le temps : mesure de l’exposant caractéristique
3) Mesurer la volatilité : quelle longueur d’échantillon retenir ?
III) Absence de cycles réguliers et présence de non linéarités
1) Cycles périodiques
2) Non linéarités
a) Le test ARCH de non linéarité par la variance
b) Le test Hsieh des moments d’ordre 3
CHAPITRE 2 Propriétés dynamiques : les enjeux
I) L’espace des phases
II) Chaos et économie
1) Des chocs mis en boîte
2) Anticipations et incertitude
3) Mesures et probabilités
4) Incertitude et politiques
CHAPITRE 3 Propriétés dynamiques : les outils
I) Les mesures
1) Dimension de l’attracteur
2) La sensibilité aux conditions initiales
II) Les tests
1) Le test BDS
2) Les tests de mémoire longue
a) La statistique R/S
b) La statistique de Lo
CHAPITRE 4 Propriétés dynamiques : mesures et tests
I) Mesures
1) Dimension de corrélation
2) Exposant de Lyapunov
II) Test BDS de bruit blanc
1) Ecriture du modèle
2) Test BDS
III) Tests de mémoire longue
1) Statistique R/S et statistique de Lo
2) Test d’égalité des variances en périodes rose et grise
CHAPITRE 5 Des changements de régime aux changements de la volatilité
I) Un modèle univarié de changements de régimes avec chaînes de Markov
1) Application à Dpalme, 1818-1997
2) Application à Dpalme, 1960-1997
II) Un modèle bivarié à deux horizons temporels avec chaînes de Markov
1) Application à Dpalme, 1960-1997
2) Application à Dpalme, 1818-1997
DEUXIEME PARTIE Vitesse d’ajustement et taille de marché
CHAPITRE 6 Liverpool
I) A l’origine de l’échange : Leblanc et Chevreul
II) L’offre d’huile de palme au XIXe siècle
III) La demande d’huile de palme au XIXe siècle
CHAPITRE 7 Rotterdam, Hambourg, Marseille
I) Rotterdam, l’entrée continentale
1) Margarine et commerce
2) Margarine : antécédents et histoire
3) L’approvisionnement
II) Hambourg triture
III) Marseille supplante Bordeaux
CHAPITRE 8 Guerres, grain, gras
I) Une transition alimentaire : lipides et sucre
1) En Europe puis en Asie
2) Les effets de la transition alimentaire sur l’échange
II) Protectionnisme et préférence pour l’Empire
III) Modifications de la géographie de l’échange
CHAPITRE 9 De l’hévéa au palmier
I) Etat, Felda, Palmiers
II) Le rôle des institutions
III) Recherche privée et innovations
1) Les entrepreneurs
2) Les conditions initiales
3) Les innovations
CHAPITRE 10 Les déterminants des changements de la volatilité
I) Les déterminants : entretiens
II) Tests de cointégration : la méthode
III) Application : période 1960-1997
IV) Application : période 1879-1939
1) Séries « PALME » et « ARACHIDE »
2) Séries « PALME » et « BEURRE »
3) Séries « PALME » et « LIN »
TROISIEME PARTIE Deux modèles déterministes des changements de la volatilité
CHAPITRE 11 Un modèle à deux horizons et un produit
I) Le tâtonnement walrasien formalisé par Samuelson
1) La version linéaire de l’ajustement
2) Un modèle non linéaire
II) Un modèle à deux horizons
1) Une duplication du modèle Day-Huang
2) Une modification du modèle Day-Huang ou modèle Rotterdam/Bombay
3) Applications numériques
III) Les changements de la volatilité
CHAPITRE 12 Un modèle à deux horizons et deux produits
I) Un modèle à deux produits ou modèle Palme/Soja
1) Le marché de l’huile de palme ou marché Rotterdam/Bombay
2) Le marché de l’huile de soja ou marché Rotterdam/Chicago
3) Clearing
II) Simulations du modèle Palme/Soja
1) Variations simultanées des vitesses d’ajustement sur les marchés de l’huile de palme et de l’huile de soja
2) Accroissement de la vitesse de réaction du négociant « Bombay », les autres horizons d’échange étant fixés
III) Un modèle de changements de la volatilité, 1818-1997
CONCLUSION
Bibliographie
Liste des tableaux
Liste des graphiques

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