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Introduction
En 1952 S. S. Chern et N. H Kuiper ont défini une distribution sur une variété Riemannienne M qui assigne à tout point m ∈ M le sous-espace : Nm = {X ∈ TmM : R(X, Y ) = 0 pour tout Y ∈ TmM}, où R est la courbure de la connexion Riemannienne sur M. L’espace Nm est appelé espace de nullité en m. La distribution définie par les sous-espaces Nm en tout point m de M est appelée distribution de nullité de la variété Riemannienne M. L’entier µ(m) = dimR(Nm) est appelé indice de nullité en m ∈ M. Chern et Kuiper ont montré que si µ est constante dans un certain ouvert alors N y est une distribution complètement intégrable et les feuilles du feuilletage associées à N sont plates. Plus tard, Maltz dans [4] montre que ces feuilles sont totalement géodésiques. Nous allons étendre les résultats obtenus par Chern, Kuiper et Maltz dans le cas d’une variété affine. Dans le premier chapitre, nous allons voir quelques rappels de géométrie différentielle. Dans le deuxième chapitre, nous allons caractériser la distribution de nullité N dans une variété affine. Comme nous allons le voir N est alors involutive et intégrable sur toute sous-variété V dans laquelle l’indice de nullité µ est localement constant. Un cas particulier est celui des variétés affines localement symétriques dans lesquelles la distribution N est non-singulière. Les résultats obtenus dans le cas Riemannien seront étendus dans le cas affine, toute feuille L de N est auto-parallèle, totalement géodésique et plate. Dans le troisième chapitre, nous allons étudier un cas particulier qui est celui des espaces affines symétriques. Ce qui est très intéressant c’est qu’un espace affine symétrique M est difféomorphe à l’espace homogène G/H, avec G le groupe de Lie des transformations affines de M et H un certain sous-groupe d’isotropie en un point fixé o ∈ M. Nous pouvons ainsi étudier un espace affine symétrique M au moyen de l’espace homogène G/H. L’espace de nullité No en o ∈ M sera alors isomorphe au plus grand idéal abélien de m, avec g = h + m est la décomposition canonique de l’algèbre de Lie g de G. Nous allons aussi voir que certaines propriétés de l’espace de nullité se caractérisent dans g comme nous allons le voir dans le Corollaire 3.2.11 et la Proposition 3.2.6. Ensuite, les mêmes méthodes seront alors utilisées pour étudier le cas d’un espace symétrique Riemannien. Nous allons voir que dans un espace symétrique Riemannien M de type compact ou de type non-compact, la distribution de nullité N est nulle. Dans le dernier chapitre, on verra quelques applications dans la théorie des groupes de Lie. Un groupe de Lie compact G peut être muni d’une certaine connexion Riemannienne bi-invariante ∇ qui va nous permettre d’aborder la notion de distribution de nullité. Un groupe de Lie compact G est alors semi-simple si et seulement si sa distribution de nullité est nulle. De plus pour un groupe de Lie compact G, le centre g et l’espace de nullité Ne coïncident, avec e l’élément neutre de G. Les résultats exposés dans cette ouvrage se trouvent principalement dans [6].
Groupe et algèbre de Lie
Définition 1.3.1. Un groupe de Lie est un groupe muni d’une structure de variété différentiable de classe C∞ où la loi de composition et l’inverse sont lisses.
Exemple 1.3.2. L’espace Euclidien (Rn, +) muni de la topologie usuelle est un groupe de Lie.
Définition 1.3.3. Soit G un groupe de Lie. Un sous-ensemble H de G est appelé un sous-groupe de Lie si :
1. H est un sous-groupe de G,
2. H est une sous-variété de G.
Exemple 1.3.4. Le groupe (Z, +) est un sous-groupe de Lie de (R, +).
Définition 1.3.5. Soit K un corps commutatif. Une K-algèbre de Lie est un K-espace vectoriel A muni d’une application K-bilinéaire :[ , ] :A × A → A(X, Y ) 7→ [X, Y ] , appelé crochet de Lie et satisfaisant les deux axiomes :
1. [X, X] = 0 pour tout X ∈ L, ce qui est équivalent à [X, Y ] = − [Y, X] pour tous X, Y ∈ A et car(K) 6= 2 (où car(K) est la caractéristique du corps K).
2. [X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y ]] + [Y, [Z, X]] = 0 pour tous X, Y, Z ∈ A (identité de Jacobi).
Exemple 1.3.6. Tout K-espace vectoriel E muni du crochet nul est une algèbre de Lie.
Exemple 1.3.7. L’espace vectoriel Mn(R) sur R des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans R muni du crochet : [A, B] = AB − BA, pour tous A, B ∈ Mn(R), est une algèbre de Lie.
Exemple 1.3.8. Soit (A, +, .) une K−algèbre. Alors A muni du crochet : [x, y] := x.y − y.x, est une algèbre de Lie.
Exemple 1.3.9. L’ensemble X(V ) des champs de vecteurs d’une variété différentiable V peut être muni d’une structure de R−algèbre de Lie en posant : [X, Y ]m(f) := XmY (f) − YmX(f), avec X, Y ∈ X(V ), m ∈ V et f ∈ F(V ).
Définition 1.3.10. Soit g une algèbre de Lie, un sous-espace vectoriel h de g est appelé sous-algèbre de Lie de g si [X, Y ] ∈ h pour tous X, Y ∈ h. Évidement, une sous-algèbre de Lie forme une algèbre de Lie.
Définition 1.3.11. Soit G un groupe de Lie et soit x ∈ G. On appelle translation à gauche par x (resp. à droite) le difféomorphisme lx (resp. rx) de G défini par : lx(g) = xg (resp. rx(g) = gx), pour tout g ∈ G.
Définition 1.3.12. Soient M et N deux variétés différentiables de classe C∞ et soit ϕ : M → N une application C∞. Deux champs de vecteurs X ∈ X(M) et Y ∈ X(N) sont ϕ−reliées si : (dϕ)mXm = Yϕ(m), pour tout m ∈ M.
Proposition 1.3.13. Soient M et N deux variétés différentiables de classe C ∞ et soit ϕ : M → N une application C∞. Soient X, X1 ∈ X(M) et Y, Y1 ∈ X(N). Supposons que X est ϕ−relié à Y et que X1 est ϕ−relié à Y1. Alors [X, X1] est ϕ−reliée à [Y, Y1].
Définition 1.3.14. Soit G un groupe de Lie. Un champ de vecteurs X ∈ X(G) est dit invariant à gauche s’il est lσ−relié à lui-même pour tout σ ∈ G. Ce qui se traduit par : (dlσ)gXg = Xlσg, pour tous σ, g ∈ G. L’ensemble des champs de vecteurs invariants à gauche sur G sera noté par g.
Proposition 1.3.15. Soient G un groupe de Lie et g l’ensemble des champs de vecteurs invariants à gauche sur G. On a :
1. g est un R−espace vectoriel.
2. L’application ρ : g → TeG, X 7→ Xe est un isomorphisme.
3. [X, Y ] ∈ g, pour tous X, Y ∈ g.
Démonstration. Il est évident que g est un R− espace vectoriel. Pour(2), soient X, Y ∈ g tels que ρ(X) = ρ(Y ), c’est-à-dire que Xe = Ye. Puisque X et Y sont invariants à gauche, on a l’égalité : Xg = (dlg)eXe = (dlg)eYe = Yg, pour tout g ∈ G, ce qui montre que X = Y et d’où l’injectivité de ρ. Maintenant, soit x ∈ TeG et prenons le champ de vecteurs X défini par : Xg = (dlg)e(x), pour tout g ∈ G. On a alors : ρ(X) = Xe = (dle)e(x) = x, (1.10) Xτσ := (dlτσ)e(x) = (dlτ )σ(dlσ)e(x) = (dlτ )σXσ, pour tous σ, τ ∈ G. (1.11) Ce qui montre que ρ(X) = x et que X et bien invariant à gauche, d’où la surjectivité. Montrons maintenant la relation (3). Soient X, Y ∈ g, c’est-à-dire que X est lσ−relié à lui-même pour tout σ ∈ G, de même pour Y . D’après la
Proposition 1.3.13, [X, Y ] est donc aussi lσ−relié à lui-même pour tout σ ∈ G, ce qui prouve que [X, Y ] ∈ g. Cette dernière assertion nous montre ainsi que l’ensemble des champs de vecteurs invariants à gauche sur un certain groupe de Lie G forme une algèbre de Lie. Ceci va nous permettre de donner une définition de l’algèbre de Lie d’un groupe de Lie G.
Définition 1.3.16. Soit G un groupe de Lie. On appelle algèbre de Lie de G, noté Lie(G) l’algèbre de Lie g des champs de vecteurs invariants à gauche sur G. Alternativement, on peut prendre comme algèbre de Lie du groupe de Lie G l’espace tangent TeG muni de la structure d’algèbre de Lie induite par l’isomorphisme défini dans la Proposition 1.3.15.
Exemple 1.3.17. Sous l’addition, l’ensemble des nombres réels R est un groupe de Lie. Les champs de vecteurs invariants à gauche sont tout simplement les champs de vecteurs constants {λ(d/dr) : λ ∈ R}, le crochet de tels champs est nul.
Définition 1.3.18. [8] Soit G un groupe de Lie, on appelle représentation adjointe de G l’application définie par : Ad : G → Aut(g)σ 7→ d (Intσ)e, où Intσ est l’automorphisme intérieur de G défini par : Intσ : G → Gg 7→ σgσ−1. Par suite, on note par ad := d(Ad) : g → End(g) la différentielle de la représentation adjointe de G.
Proposition 1.3.19. [8] Soit G un groupe de Lie d’algèbre de Lie g. Soient X, Y ∈ g,alors : adXY = [X, Y ] .
Définition 1.3.20. Soient G un groupe de Lie et g son algèbre de Lie. Soit X ∈ g, on a : λddx 7→ λX, pour tout λ ∈ R, est un homomorphisme de Lie(R) dans g. Puisque R est simplement connexe, le Théorème 3.27 de [8] dit qu’il existe une et une seule application expX : R → G, telle que : d expX(λddx) = λX, pour tout λ ∈ R.
En d’autre terme t 7→ expX(t) est l’unique courbe telle que le vecteur tangent au point 0 soit Xe. On appelle exponentiel l’application définie par : exp : g → GX 7→ expX(1).
Feuilletage de la distribution de nullité
Dans cette section, on suppose que la distribution de nullité N sur la variété affine (M, ∇) est non-singulière et que la courbure est parallèle à N, c’est-à-dire que ∇XR = 0, pour tout X ∈ N. Soit M0 une sous-variété de M. En générale la connexion ∇ sur M n’induit pas une connexion sur M0. Dans le cas d’une variété Riemannienne, il est facile de voir que la connexion Riemannienne sur M induit une connexion ∇0 sur M0 . En effet, on prend la métrique induite sur la sous-variété M0 puis, on prend l’unique connexion ∇0 à torsion nulle compatible avec la métrique induite pour obtenir une connexion sur M0. Dans le cas affine, si M0 est une sous-variété auto-parallèle de la variété affine (M, ∇), alors la connexion ∇ sur M induit de façon naturelle une connexion sur M0 comme nous allons le voir.
Définition 2.2.1. [3] Une sous-variété M0 de M est dite auto-parallèle si pour toute v ∈ TmM0 et tout courbe γ dans M0 partant de m ∈ M (γ(0) = m), le transport parallèle de v le long de γ par rapport à la connexion ∇ sur M donne un vecteur tangent à M0.
Lemme 2.2.2. Une sous-variété M0 d’une variété affine (M, ∇) est auto-parallèle si et seulement si ∇XY est tangent à M0 pour tous X, Y ∈ X(M0).
Démonstration. On ne va montrer que l’implication, quant à la réciproque voir [3]. Supposons que M0 soit une sous-variété auto-parallèle de (M, ∇).
Conclusion
L’étude de la distribution de nullité de la courbure d’un espace symétrique affine et Riemannien a permis d’obtenir plusieurs résultats intéressants. En particulier l’obtention d’une condition nécessaire et suffisante à la semi-simplicité d’un groupe de Lie compact. Un objet de recherche intéressant serait de généraliser ces résultats dans le cas d’une variété finslérienne symétrique munie d’une connexion de Grifone, qui est une généralisation naturelle d’un espace symétrique Riemannien.
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Table des matières
Introduction
Notations
1 Préliminaires
1.1 Variété différentiable
1.2 Connexion Riemannienne
1.3 Groupe et algèbre de Lie
2 Distribution de nullité
2.1 Indice de nullité
2.2 Feuilletage de la distribution de nullité
3 Espace symétrique
3.1 Espace affine symétrique
3.1.1 Aspect géométrique d’un espace symétrique
3.1.21 Aspect algébrique d’un espace symétrique
3.2 Connexion canonique sur un espace symétrique
3.3 Espace symétrique Riemannien
4 Applications
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