Discrétisation par MEF et traitement algorithmique

Modélisation de la solidification

Au point de vue macroscopique, la solidification est un phénomène de changement de phase liquide/solide qui se caractérise par l’apparition d’une interface mobile qui sépare les deux phases (liquide et solide), ainsi qu’une discontinuité dans le gradient de température du au changement de phase et au dégagement de la chaleur latente. L’interface mobile au cours de solidification est considérée comme un front ou une frontière interne mobile dans le domaine solidifié, ce qui ramène la solidification à un problème de frontière mobile. Le premier travail sur la modélisation des phénomènes de changement de phase liquide/solide revient à Lame et Clapeyron [1] en 1831. La solidification est considérée largement dans la littérature comme un problème de Stefan. Cette appellation a été attribuée suite aux travaux du fameux chercheur Stefan ([2],[3]) qui a étudié le problème de fusion et de congélation d’eau en 1890. C’était le premier travail de modélisation du phénomène de changement de phase liquide/solide. Les modèles mathématiques dans la littérature qui décrivent le phénomène de solidification sont essentiellement basés sur l’équation de la conduction de la chaleur, ils sont classifiés en trois catégories : modèles d’interface pointue (sharp interface models), modèles enthalpiques (enthalpy models) et modèles de phase de champ (phase field models) [4].

Modèles d’interface pointue

Pour le cas des modèles d’interfaces pointues, on suppose que les deux phases liquide-solide sont séparées par une interface qui est une courbe ou une surface infiniment épaisse. Dans cette approche, les deux phases suivent le même modèle mathématique avec une condition fournie par Stefan qui décrit le dégagement instantané de la chaleur latente et traduit l’équilibre d’énergie au niveau de l’interface mobile. En résolvant les modèles d’interface pointues (modèles de Stefan), la difficulté vient du fait que la position d’interface doit être calculée en tant qu’élément du processus de la solution [5] où la majorité des cas n’ont pas une solution analytique et exige une solution numérique. Concernant les solutions analytiques du modèle de Stefan, plusieurs études pour le cas 1D ont été faites, à commencer par le travail de Neumann qui a étendu le problème de Stefan à deux phases, en considérant le phénomène de fusion dans un domaine semi-infini, initialement à l’état solide (voir figure .1) [6]. La solution analytique de Neumann donne la position de l’interface à chaque instant ainsi que la distribution de la température de chaque phase. Une autre solution analytique a été proposée par Paterson dans le cas de fusion 1D en coordonnées cylindriques (figure .1) où les solutions présentent la position du front et le profil de température.

D’autres solutions analytiques sont basées sur la méthode « heat balance integral », avec des flux imposés comme conditions aux limites. L’une de ces solutions est présentée dans le travail de Goodman qui a développé une équation intégrale qui exprime l’équilibre thermique global du système en intégrant l’équation unidimensionnelle de conduction de chaleur. Cette méthode a été utilisée pour résoudre le problème monophasé de fusion de glace avec différents types de conditions aux limites. Goodman et Shea ont appliqué cette méthode à des problèmes de fusion en considérant les deux phases dans un domaine fini (figure .2) [6]. Ils ont déterminé la position du front de fusion ainsi que la distribution de température dans les deux portions (liquide et solide). Généralement, les solutions analytiques pour les modèles de Stephan restent très limitées pour des cas 1D avec des conditions aux limites et des propriétés thermo-physiques constantes, et ce contrairement aux situations pratiques où les conditions aux limites et les propriétés thermo-physiques sont variables et multiples ainsi que les géométries sont multidimensionnelles et irrégulières, ce qui nécessite des techniques numériques puissantes pour les étudier. Vu le mouvement de l’interface et la représentation explicite de la condition de changement de phase, les modèles d’interface pointue (sharp interface model) exige des technique de détection et de suivi du mouvement de l’interface (front tracking technics).

Les techniques d’approximation d’interface mobile ont été bien avancées au cours des deux dernières décennies et elles influent considérablement sur l’évolution de plusieurs disciplines stratégiques d’ingénierie comme l’élaboration des matériaux (moulage et soudage), les écoulements multiphasiques, la propagation des flammes … etc. Les techniques d’approximation d’interface mobile sont classifiées essentiellement en deux catégories : méthodes de suivi d’interface (front tracking methods) et les méthodes de détection d’interface (front capturing methods) [7]. La différence entre ces deux méthodes, est que les méthodes de suivi d’interface sont lagrangiennes et le maillage représente l’interface explicitement, tandis que les méthodes de détection d’interface sont eulériennes, l’interface est définie implicitement dans un maillage fixe. Dans les méthodes de suivi du front, l’interface solide/liquide est dépistée continuellement. Les deux domaines liquide et solide sont traités séparément et par conséquence ces méthodes sont appelées aussi des méthodes des deux domaines ou multi-domaines.

Le dégagement de la chaleur latente est traité comme une condition à la limite liée aux domaines solide et liquide [8]. L’une des techniques les plus simples pour suivre un front est d’ajuster itérativement la position du noeud près de l’interface liquide/solide. Pour les interfaces solide/liquide planes, il est possible d’ajuster le pas de temps pour que l’interface coïncide toujours avec les noeuds. Rubinsky et Carvahlo [9] ont introduit un noeud additionnel à l’interface pour diviser l’élément qui contient les deux phases en deux éléments à chaque phase. Askar [10] a résolu des problèmes de congélation en utilisant des éléments unidimensionnels quadratiques, il a adapté l’élément qui coïncide avec l’interface en ajoutant un noeud à la position du front.

Application de la modélisation de processus de solidification dans le moulage des métaux Dans les dernières années, la modélisation de solidification des moulages a reçu de plus en plus une attention considérable due à son potentiel énorme dans l’amélioration de la productivité de l’industrie de moulage des métaux en réduisant le cout et le temps de travail comparé aux techniques traditionnelles de moulage basées sur l’expérimentation dans le cas des moules permanant où le prototype peut être extrêmement cher. La modélisation numérique de la solidification des moulages a trouvé aussi son application dans le domaine de la prothèse, elle est considérée comme un outil fiable pour l’optimisation et l’empêchement des défauts dans les dents ([41], [42]).

La simulation de la solidification des moulages représente une base utile pour la prédiction des configurations de solidification et les défauts des pièces moulées. Le procédé de moulage est très difficile à modéliser, cela est du aux phénomènes physiques complexes impliqués dans la modélisation comme la convection naturelle de l’état liquide au cours de changement de phase, le rétrécissement, la porosité, la macro-ségrégation dans les alliages, le transfert thermique entre le moule et la pièce moulé et les contraintes thermomécaniques dans le lingot. Un autre facteur très complexe à contourner aussi réside dans le fait que les moules ont pratiquement des géométries compliquées et qui exigent des modélisations 3D. Un accord qualitatif des simulations avec les données expérimentales est aussi mentionné dans la littérature avec des temps de simulation qui sont énormément importants [43]. La majorité des simulations numériques des procédés de moulages se trouvant dans la littérature sont accomplies en utilisant la méthode des éléments finis [8].

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Table des matières

Introduction Générale
Chapitre I Etude bibliographique
1.Modélisation de la solidification
1.1. Modèles d’interface pointue
1.2. Modèles d’enthalpie
1.3. Modèles de phase de champs
2.Application de la modélisation de processus de solidification dans le moulage des métaux
Application au domaine de la cryochirurgie
Objectif du travail
Chapitre II Formulation de problème de solidification
1.Phénomènes physiques au cours de processus de changement de phase liquide/solide
1.1. Transfert thermique et de masse
1.2. Variation de la température de changement de phase
1.3. Super-refroidissement
1.4. Variation des propriétés thermo-physiques
1.5. Variation de la densité
2.Hypothèses simplificatrices
3.Méthode d’enthalpie
4.Changement de phase iso-thermique
5.Changement de phase non iso-thermique (avec zone étroite)
6.Traitement de cancer de poumon par congélation cryogénique
6.1. Destruction des cellules de tissu sous les conditions cryogéniques
6.2. Modèle de changement de phase dans un tissu biologique
6.3. Formulation mathématique par la méthode d’enthalpie
Chapitre III Discrétisation par MEF et traitement algorithmique
1.Formulation de problème de changement de phase
2.Discrétisation par la méthode des éléments finis (MEF)
2.1. Problème de convection-diffusion stationnaire
2.1.1. Méthode de stabilisation
2.1.2Paramètre de stabilisation
2.1.3. Schéma SUPG des éléments finis
2.1.4. Linéarisation relaxée
2.1.5. Forme discrète
2.1.6. Algorithme de résolution
2.2. Problème de conduction instationnaire
2.2.1. Linéarisation relaxée
2.2.2. Forme discrète
2.2.3. Algorithme de résolution
3.Configuration de maillage
4.Organigrammes de calcule
4.1. Cas de convection diffusion stationnaire
4.2. Cas de conduction instationnaire
Chapitre IV Applications, résultats et discussion
1.Tests de validation
1.1. Problèmes de convection-diffusion stationnaire
1.1.1. Influence du nombre de Stefan
1.1.2. Influence du nombre de Peclet
1.2. Problèmes instationnaires
2.Exemple d’application
2.1. Problème de moulage continu avec un refroidissement par nucléation
2.1.1. Résultats et discussion
2.2. Problème de congélation de tissu de cancer de poumon au cours de la cryochirurgie
2.2.1. Résultats et discussions
Conclusion Générale
Références bibliographiques
ANNEXE