Discrétisation du système du Navier Stokes instationnaires 

Discrétisation du système du Navier Stokes instationnaires

Même s’il existe déjà plusieurs schémas numériques stables, convergents et globalement conservatifs pour résoudre les équations de Stokes, la plupart des problèmes industriels sont
régis par les équations de NAVIER- STOKES, plus générales. De plus, elles sont souvent couplées avec une équation Supplémentaire, afin de modélise la convection-diffusion d’une quantité scalaire comme la température, la concentration d’un polluant ou l’énergie cinétique turbulente. Parmi les méthodes dédiées à la résolution de ces problèmes, seules quelque unes satisfont les principes physiques suivants :
– la conservation locale de la masse et des quantités scalaire conservatives.
-la préservation numérique du principe du maximum pour les quantités Scalaires.
Quelques schémas numériques utilisant la méthode des volumes finis sur maillage structurés
peuvent répondre à ces spécifications. Cependant, peu sont disponibles sur les maillages non structurés (voir [11] ;[7] ;[6] ) pour les systèmes hyperboliques, [8];[9];[10] ;[3] ;[4] ;[10] pour les systèmes elliptique, et [6] ;[7] ;[11] pour les systèmes parabolique.
Le schéma présenté ci-après satisfait les deux principes précédents sur les maillages non structurés. Il est basé sur une méthode à pas de temps fractionnaire proposée initialement dans [6], mais intègre un schéma pour la diffusion intéressant proposé récemment dans [7].
La méthode ne requiert aucun assemblage de matrice, et le nombre d’opérations arithmétiques à effectuer est faible

 La méthode des volumes finis

Les méthodes de volumes finis ont été initialement mises au point pour des lois de conservation hyperbolique, mais des développements récents permettent à présent de les utiliser pour des équations elliptiques et paraboliques.
Ces équations aux dérivées partielles contiennent des termes de divergence. En utilisant le théorème de STOKES, les intégrales de volume d’un terme de divergence sont transformées en intégrales de surface et ces termes de flux sont ensuite évalués aux interfaces entre les volumes finis. On utilise une fonction de flux numérique pour élaborer une approximation des flux aux interfaces. Puisque le flux entrant dans un volume donné est égal au flux sortant du volume adjacent, ces méthodes sont conservatives, donc parfaitement adaptées à la résolution de lois de conservation.
Un autre avantage de la méthode des volumes finis est qu’elle est facilement utilisable avec des maillages non structurés car, en matière de discrétisation des lois de conservation, sa formulation ne tient aucun compte de la complexité du maillage.

 Maillage

C’est une discrétisation spatiale d’un milieu continu, ou aussi une modélisation géométrique d’un domaine par des éléments proportionnés finis et bien définis. L’objet d’un maillage est de procéder à une simplification d’un système par un modèle représentant ce système et, éventuellement, son environnement (le milieu), dans l’optique de simulations de calculs ou de représentations graphiques.
La génération du maillage (2D ou 3D) est une phase très importante dans une analyse CFD, Vu son influence sur la solution calculée. Un maillage de très bonne qualité est essentiel pour l’obtention d’un résultat de calcul précis, robuste et signifiant. La qualité du maillage a un sérieux impact sur la convergence, la précision de la solution et surtout sur le temps de calcul. Une qualité du maillage repose sur la minimisation des éléments présentant des « distorsions ». Un bon maillage doit également être suffisamment lisse.

 Composantes du maillage

Le domaine de calcul est défini par un maillage qui représente le fluide et les faces solides qui interviennent.
 Volume de contrôle divisant la géométrie.
 Frontière d’une cellule, où sont définies les conditions aux limites.
 Frontière d’une face.
 Point de maillage.

 Types du maillage

On définit les maillages structuré et non structurés.
 Maillage structuré est un maillage qui peut être généré en reproduisant plusieurs fois une maille élémentaire. dans ce type de maillage, tout nœud peut être repéré par un doublet ou un triplet (i, j, k). le maillage structuré tire profit de la numérotation et la topologie est implicite. En 2D, les éléments sont des quadrilatères, en 3D ce sont des hexaèdres. Il présente les avantages suivants :
– Économique en nombre d’éléments, présente un nombre inférieur de mailles par Rapport à un maillage non structuré.
– Lorsque l’écoulement moyen est aligné avec le maillage, un maillage structuré réduit les risques d’erreurs numériques.
Ses inconvénients :
– Difficile à générer le cas d’une géométrie complexe.
– Difficile d’obtenir une bonne qualité de maillage pour certaine géométrie complexe.

 Maillage non structuré
Les éléments de ce type de maillage sont générés d’une arbitrairement géométrie sans aucune contrainte quant – à leur disposition.
Ses avantages :
– Peut-être généré sur une géométrie complexe tout en gardant une bonne qualité des éléments.
– Les algorithmes de génération de ce type de maillage (tri / tétra) sont très automatisés.
Ses inconvénients :
– Très gourmand en nombre de maille comparativement au maillage structuré.
– Impose une structure de données gourmande en capacités de stockage.
– Engendre des erreurs numériques (fausse diffusion) qui peuvent être plus importantes si on le compare avec le maillage structuré.

Ceci conduit à utiliser comme une bonne représentation de la solution exacte à l’IDBO. Pour calculer cette valeur, on calcule d’abord une approximation de u au milieu de chaque arête du maillage, de la façon exposée ci-après.

Simulation numérique du système de N-S stationnaire

Les méthodes modernes de calcul de mécanique des fluides s’appuient sur la résolution des équations de NAVIER-STOKES. Dans le cas laminaire, i.e. avec des nombres de Reynolds petits, celle-ci sont résolues de façons directes.
Pour les deux types d’écoulement, il faut intégrer un système d’équations aux dérivées partielles du deuxième ordre, non linéaires et couplées entre elles.
Pour l’écoulement en deux dimensions cas intéressant à étudier sur le plan pratique, ces besoins sont encore beaucoup plus importants.
Les équations de NAVIER STOKES en version fluide incompressible présentent deux difficultés majeures. Premièrement, elles sont quasi-non linéaire et ensuite elles sont faiblement couplées. La non –linéarité est contournée par un calcul itératif. En choisissant un schéma numérique stable, les erreurs introduites par la solution initiale sont amorties et la procédure convergera facilement vers une solution finale acceptable. Le problème du couplage se manifeste par l’apparition des variables vitesse pression dans les trois équations de quantité de mouvement. Le gradient de pression qui apparait comme terme source dans ces équations joue le rôle du moteur de l’écoulement. Malheureusement, on ne dispose d’aucune équation de transport pour cette troisième variable qui est la pression (les deux autres étant les deux composantes de la vitesse). En d’autres termes, si le gradient de pression est connu à priori on peut calculer le champ de vitesse qui dans ce cas vérifie bien l’équation de continuité. Malheureusement, la pression est toujours une inconnue à déterminer aussi bien que la vitesse. Le problème est un peu similaire à la non-linéarité des équations elles-mêmes. L’approche à suivre sera donc de même nature et elle est sensé résoudre les deux problèmes en même temps. On suppose un champ de pression initial qu’on injecte dans les équations de quantité de mouvement. On résout le système pour trouver un champ de vitesse intermédiaire (qui n’est pas juste puisque la pression ne l’est pas). L’équation de continuité est transformée pour devenir une équation de correction de pression. Elle est résolue pour trouver une correction de pression qui permettra de réinjecter une nouvelle pression dans les équations de quantité de mouvement. Le cycle est répété autant de fois que nécessaire jusqu’ à l’obtention d’une correction de pression nulle, signe de la convergence de l’algorithme.

Table des matières

Introduction général
Première partie
Discrétisation du système du Navier Stokes instationnaires 
Introduction-Modèle mathématique
1. Discrétisation en temps 
2. Discrétisation en espace 
2 .1 La méthode des volumes finis
2.2 Maillage
2.2.1 Composantes du maillage
2 .2.2 Types du maillage
3. Le schéma pour la convection
3.1 Définition à l’intérieur du domaine
3.1.1 Conditions aux limites
3.2 Le schéma pour la diffusion
3.2.1 Définition à l’intérieur du domaine
3.2.2 Conditions aux limites
3.2.3 Résultats théoriques
4 Méthode d’interpolation locale sur les maillages triangulaires
4.1 Le problème
4.2 La méthode
4.3 Interpolation au milieu des arêtes internes
4.4 Interpolation au milieu des arêtes de bord
4.4.1 Cas d’une arête de bord sans conditions aux limites
4.4.2 Interpolation en tout point du domaine de calcul
5. Schéma global de la résolution NAVIER-STOKES
5.1 Définition des opérateurs
5.1.1 L’opérateur de convection-diffusion
5.1.2 L’opérateur d’extension : E
5.1.3 L’opérateur de projection : P
5.2 Résolution du système complet
5.2.1 Terme source pour la convection diffusion de la vitesse
5.2.2 L’algorithme complet
Conclusion
Deuxième partie
Simulation numérique des écoulements stationnaires incompressible
Présentation du problème
6. Étude d’un fluide stationnaire
6.1 Le modèle mathématique
6.2 Maillage structuré
6.4 Équations de Navier-Stokes en 2D
6.4.1 Discrétisation des équations
6.4.2 Théorème
6.4.3 Estimation de Terme de diffusion
6.4.4 Terme de pression
6.5 La méthode itérative
6.6 Couplage pression-vitesse
6.6.1 Résultats numériques
Conclusion générale

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