Soutenance mémoire
Equations du mouvement
Introduisons maintenant la densité lagrangienne volumique L = T − W [16]. Les coordonnées généralisées q i étant les composantes u si du mouvement du solide d’une part, et les composantes wi du mouvement relatif du fluide par rapport au solide d’autre part, L dépend des q i , ˙ q i et q i,j . La fonction de dissipation D dépend, quant à elle, des ˙ q i . Les équations de Lagrange découlant de l’application du principe de Hamilton s’écrivent, dans leur forme la plus générale.
Diffusion d’ondes poroélastiques par un obstacle sphérique
Introduction
On considère un milieu poroélastique (MPE) de type Biot [1] saturé par un fluide de masse volumique ρ f (la célérité des ondes acoustiques dans le fluide est c f ). Un obstacle de forme sphérique de rayon R est placé dans le MPE. Soit θ l’angle dans le plan OX1X2 entre la position r de l’observateur et la direction OX2 de l’onde incidente. Le triplet (r, θ, ϕ) représente les coordonnées sphériques et la base orthonormée directe associée est (~er ,~e θ ,~e ϕ ).
Diffusion par une sphère fluide
Déplacement et pression dans la cavité
Le fluide (F) contenu dans la cavité sphérique est identique à celui qui sature le milieu poroélastique. Seule une onde longitudinale pouvant se propager dans un fluide parfait 1 , on suppose qu’il existe un potentiel scalaire φ F tel que le champ de déplacement des particules s’écrive.
Potentiels dans le MPE et dans la cavité
Dans ce qui suit, j n (h n ) désigne la fonction de Bessel sphérique (de Hankel sphérique de 1ère espèce), pour n entier ; Pn (P 1 n ) est le polynôme de Legendre de degré n(la fonction de Legendre associée de degré n et de première espèce).
Potentiels
On considère une onde incidente du type défini en (2.17). Les potentiels des ondes réfléchies par la sphère en direction du MPE gardent les mêmes expressions que celles rencontrées précédemment, Eqs. (2.18) et (2.19). Dans la sphère élastique, les potentiels des déplacements introduits ci-dessus s’expriment.
Étude numérique des coefficients de diffusion
Les données relatives au MPE (le QF20 R ) et au liquide de saturant (l’eau) sont rappelées dans le Tableau 2.1. Celles des matériaux élastiques constituant les sphères sont présentées dans le Tableau 4.2. Les calculs ont été effectués avec le logiciel Matlab.
Théorie de la diffusion multiple en présence d’obstacles sphériques aléatoirement répartis
Introduction
Des progrès importants ont été réalisés au cours des dernières décennies en vue de comprendre les propriétés dynamiques des matériaux composites formés d’une matrice solide contenant des obstacles de petites tailles. Les matériaux composites sont présents partout dans la nature (roches, végétaux, monde animal,…), mais aussi dans de nombreux produits manufacturés de l’industrie (bâtiment, notamment). Si le cas des matrices élastiques permettant la propagation de deux ondes (une longitudinale et une transversale) a fait l’objet d’une grande attention, il n’en va pas de même des matrices poroélastiques supportant trois ondes dont les propriétés se révèlent plus complexes à basse fréquence. Une bonne compréhension du comportement des matériaux composites à matrices poroélastiques peut présenter de l’intérêt pour l’industrie (conception de matériaux ayant des spécificités précises). Cette compréhension peut aussi être utile pour l’analyse de phénomènes dynamiques en géophysique et l’élaboration de méthodes d’inspection. On considère donc ici, un milieu hétérogène formé d’une distribution aléatoire de sphères (élastiques ou fluides) identiques placées dans une matrice solide poroélastique.
On ne sait rien pour le moment sur ce milieu hétérogène, en dehors du fait que (i) le milieu poroélastique (MPE) constituant cette matrice supporte trois ondes : deux longitudinales et une transversale (ii) le fluide dans les cavités supporte une onde longitudinale et le solide élastique une onde longitudinale et une onde transversale.
Il est bien connu que, lorsque chacune des ondes mentionnées ci-dessus rencontre le milieu hétérogène, elle subit de nombreuses réflexions sur les obstacles (collisions), mais est également réfractée dans ces obstacles avant d’être restituée totalement dans le MPE. Il s’agit du phénomène que l’on appelle diffusion multiple. Une représentation schématique du régime de diffusion simple versus le régime de diffusion multiple est illustrée dans la Figure 1. La diffusion simple n’est envisageable que dans le cas où le nombre de sphères par unité de volume est faible (en pratique, il faut que la fraction volumique de sphères soit inférieure à 20%). Dans le régime de diffusion simple, l’onde incidente n’interagit qu’une seule fois avec le milieu aléatoire avant d’être recueillie (écran à l’infini). Dans le régime de diffusion multiple, l’onde incidente interagit un grand nombre de fois avec les obstacles avant de sortir de l’échantillon et être recueillie à l’infini 1. 1.
La diffusion multiple dans les fluides où seule une onde longitudinale se propage a été étudiée par de nombreux auteurs au cours des 75 dernières années [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [5], [12], [13]. On peut aussi citer les travaux sur l’absorption du son par les particules en suspension dans l’air de Epstein et Cahart [14] et d’Allegra et Hawley [15], connus sous le nom de formulation ECAH, la première à examiner le cas des milieux thermo-visco-élastiques.
Dans le cas de milieux hôtes élastiques supportant deux ondes, on peut citer les articles de Kuster et Toksöz [6] sur la propagation des ondes sismiques dans les milieux biphasés, de Norris [7], et de Aristégui et Angel [8] sur les composites contenant une concentration diluée d’inclusions sphériques, et enfin de Varadan et al. [19] sur les matériaux composites renforcés de fibres. On peut également noter les travaux de Watt et al. [20], Chen et al. [21] et de Christensen [9] sur les propriétés élastiques des matériaux composites (recherche de modules effectifs) dans le cas statique (phénomènes indépendants de la fréquence).
Parmi les formules les plus connues exprimant les nombres d’onde cohérents figurent
1. la formule de l’ISA (Independent Scattering Approximation) [1]
2. la formule de Waterman and Truell (WT) [3]
Elles sont toutes les deux dérivées de la QCA (Quasi Cristalline Approximation) de Lax [2], et ont été appliquées à des problèmes où la matrice est soit fluide, soit élastique. Leurs formules sont rappelées dans une note de bas de page (cf. section 3.2).
En 2005, Linton et Martin(LM) ont réexaminé et appliqué à l’acoustique la formulede Lloyd et Berry [5] mise au point pour expliquer certains aspects de la diffusion multiple en électromagnétisme. Ils ont considéré des sphères aléatoirement distribuées dans un fluide [9] puis ultérieurement remplacé les sphères par des cylindres [10]. La formule de Lloyd et Berry peut être vue comme une amélioration de la formule [3] de WT dans le cas de faibles concentrations. Des extensions des travaux de LM sont disponibles dans le cas de cylindres dans une matrice élastique [23] et de sphères dans un milieu thermo-visco-élastique [11]. Ce dernier cas, le modèle de Luppé, Conoir et Norris (LCN) peut être vu comme une extension de la formulation ECAH mentionnée ci-dessus, permettant de tenir compte des événements de diffusion multiple d’ordre supérieur à un.
Les fonctions de forme de la diffusion par une sphère
Le principe du calcul de ces fonctions de forme est détaillé dans les travaux de Ying et Truell [16], Sessarego [13], Gaunaurd et Überall [27], ainsi que Brill et Gaunaurd[28]. Nous rappelons ces fonctions ci-dessous. Elles jouent un rôle fondamental dans les théories de la diffusion multiple4.
Cas d’une onde incidente longitudinale
Nous nous référons aux ondes longitudinales incidentes à l’aide de la lettre α (α = 1 pour l’onde longitudinale rapide, α = 2 pour l’onde longitudinale lente). L’onde diffusée par la sphère est, quant à elle, repérée par la lettre β (= 1, 2 ou t, t indiquant une onde transversale). Les fonctions de forme de la diffusion α ↔ β sont notées.
Équations de la diffusion multiple
Nous considérons le cas des faibles concentrations de diffuseurs sphériques et des basses fréquences. De plus, nous nous intéressons à la formule de Linton et Martin (LM) pour la diffusion multiple par des sphères distribuées aléatoirement dans un fluide [9], étendue ensuite au cas d’une matrice hôte viscoélastique [11] par Luppé, Conoir, Norris (LCN). Lorsque l’onde incidente sur l’ensemble de sphères disposées aléatoirement dans le MPE est du type longitudinal, le carré du nombre d’onde effectif ζ α qui en résulte, s’exprime.
Diffusion multiple dans une matrice poroélastique contenant des sphères élastiques
Introduction
On considère une distribution aléatoire de sphères élastiques identiques placées dans une matrice poroélastique saturée par un liquide visqueux. Le milieu poroélastique obéit à la théorie de Biot [2] [3], [4]. Le rayon des inclusions sphériques est supposé très grand devant le rayon moyen des pores.
Lorsqu’une onde longitudinale (rapide ou lente) rencontre une sphère, cette dernière, en réponse, ré-émet en direction du milieu poroélastique trois ondes de nature différente : une onde rapide, une onde lente et une onde transversale. Ce problème de diffusion par un seul obstacle sphérique dans un milieu poroélastique a été étudié dans le chapitre 2 de ce mémoire, nous y avons examiné en détail la diffusion par une sphère fluide puis élastique. Les développements limités en basse fréquence ont permis d’obtenir des approximations des coefficients de diffusion.
L’objectif de ce chapitre consiste en l’identification, à partir d’une onde incidente rapide ou lente sur le milieu aléatoire décrit ci-dessus, de certaines de ses propriétés effectives à basse fréquence. Le travail se déroule de la façon suivante :
— En se basant sur le travail fait au chapitre 3, nous détaillons, dans la section 4.2, les équations de diffusion multiple dans le cas d’une matrice hôte poroélastique. Les formules générales permettant de calculer les nombres d’onde effectifs rapide et lent, sont alors posées.
— Dans la section 4.3, des simulations numériques menées en considérant des sphères en aluminium et en epoxy placées dans du QF20 saturé en eau permettent de vérifier la cohérence des approximations proposées. Les nombres d’ondes effectifs, rapide et lent, sont calculés et les vitesses et atténuations résultantes sont comparées à celles du milieu poroélastique sans diffuseurs.
— Dans la section 4.4, des expressions basses fréquences plus simples que celles de la section 4.2 sont fournies. Elles sont destinées à expliciter des approximations des nombres d’onde à la limite statique.
— L’étape ci-dessus permet ensuite, dans la section 4.5, d’extraire le module et la masse volumique effectifs dans le cas d’une onde rapide incidente sur le milieu aléatoire.
— Enfin, dans la section 4.6, on met en évidence un coefficient de diffusion effectif dans le cas d’une onde lente incidente.
Caractéristiques acoustiques du QF20 en l’absence de sphères
Précisons pour la suite que les vitesses ω Re(kα) et les atténuations Im(kα) Re(kα) dans le MPE sont représentées en fonction de la fréquence par des lignes continues dans les figures qui suivent, voir par exemple les figures 4.1 et 4.2.
Pour les vitesses de l’onde rapide et de l’onde lente, on note les limites en basse fréquence suivantes : 3313 m/s et 0 m/s ; la vitesse de l’onde de cisaillement est de 1928 m/s (la courbe n’est pas présentée ici). Les trois vitesses augmentent lorsque la fréquence augmente, en passant de 0 à 50 kHz. La dispersion des ondes est plus importante dans la plage de fréquence 0, 30 à 30kHz.
L’onde rapide et l’onde de cisaillement s’atténuent sensiblement moins que l’onde lente. Au cours de la propagation de l’onde rapide, le squelette solide et le fluide saturant vibrent presque en phase. Lors de la propagation de l’onde lente, le mouvement du fluide dans les pores subit un déphasage par rapport à celui du squelette solide. De plus, en basse fréquence, l’onde lente se caractérise par une atténuation non nulle (le rapport Im(k 2 )/Re(k 2 ) est proche de 1), ce qui montre bien son caractère diffusif. Il est utile de noter également que, lorsque la fréquence augmente, l’atténuation de l’ondelente diminue et tend vers 0. La fréquence d’amortissement maximal de l’onde rapide et de l’onde de cisaillement est proche de 2 kHz. Elle dépend des paramètres physiques du squelette, alors que le phénomène d’amortissement lui-même est principalement dû au frottement du fluide dans les pores.
Distribution de sphères en aluminium dans le QF20
Examinons maintenant l’effet (sur les ondes incidentes longitudinales) d’une distribution aléatoire de sphères d’aluminium placée dans le MPE (rayon R = 4 × 10 −3 m, fraction de volume occupée par les sphères C = 20%). Les résultats des calculs sont présentés dans les figures 4.1 et 4.2. Ils ont été obtenus en utilisant les approximations de la section 3.1 pour l’onde rapide (Eq. 4.1 et les deux suivants) et de la section 3.2 pour l’onde lente (Eq. 4.6 et les suivantes).
Distribution de sphères en epoxy dans le MPE
Le rayon des sphères et la fraction volumique des particules C restant inchangés, les résultats obtenus en remplaçant l’aluminium par l’epoxy, matériau plus mou 2 sont illustrés dans les figures 4.3 et 4.4. Une comparaison avec la Fig. 4.1 montre l’influence du matériau constituant les sphères sur les nombres d’onde effectifs. La présence de sphères en epoxy abaisse à la fois la vitesse effective rapide et son atténuation. Pour les sphères molles donc, il faut noter que le terme δ 1,c 2 ne contribue pas de manière significative, comparativement à δ 1,0 2 . Pour l’onde effective lente, le changement de matériau dans les sphères n’affecte ni la vitesse ni l’atténuation (les changements par rapport au cas des sphères en aluminium sont infimes).
Formules explicites en très basse fréquence des nombres d’onde effectifs
A la fin de la sec. 4.2, des formules ont été trouvées pour les différents termes constitutifs des nombres d’onde effectifs rapide et lent. Ces formules sont exprimées en termes de grandeurs sans dimension x α et γ α(α = 1, 2, t dépendant de la fréquence angulaire ω). Leur intérêt, comme on a pu le voir, réside dans le fait que l’on dispose de formules qui, à défaut d’être simples, constituent une étape intermédiaire de calcul et sont, de plus, valides dans le domaine fréquentiel où les ondes sont dispersives. A présent, l’objectif est d’établir des formules des nombres d’ondes effectifs proches de la limite statique – les effets dispersifs sont alors exclus – afin d’extraire des grandeurs effectives décrivant le MPE effectif.
Le coefficient de diffusion du MPE effectif
Dans un MPE homogène sans sphères, les conditions qui favorisent une onde lente de forte amplitude sont les suivantes : continuité des deux phases (fluide et solide), fréquence acoustique élevée, perméabilité aux fluides élevée et faible viscosité [ ?], [?].
En basse fréquence (où ω << ωc ), l’onde lente correspond à un mode de propagation de type diffusif (régi par une équation de diffusion à coefficient de diffusivité hydraulique). Ayant ces faits à l’esprit, nous traitons maintenant le cas du nombre d’onde effectif lent. En tenant compte des résultats de la section 4.4.
Conclusion
Dans un MPE obéissant à la théorie de Biot, il est reconnu que les ondes rapide et lente ont des comportent très différents. L’onde rapide est propagative à toutes les fréquences, tandis que l’onde lente est diffusive aux très basses fréquences, ne devenant propagative que lorsque la fréquence est suffisamment grande.
En présence de diffuseurs sphériques répartis aléatoirement dans le MPE, et à basse fréquence, les comportements des ondes rapide et lente subsistent tout en étant influencés par la présence des diffuseurs. À partir de la formule du nombre d’onde effectif de
Luppé, Conoir et Norris (LCN) que nous appliquons au cas poroélastique, nous avons obtenu des expressions pour les nombres d’onde effectifs rapide et lent à basse fréquence. D’une part, l’analyse de l’onde effective rapide a permis de mettre en évidence l’importance des conversions de modes (qui dépendent du matériau de la sphère) et d’extraire le module et la masse volumique effective du MPE effectif. D’autre part, l’analyse de l’onde lente a permis d’extraire un coefficient de diffusion effectif fonction de la fraction volumique des particules (jusqu’au second ordre) et d’estimer une profondeur de pénétration dans le MPE effectif. A basse fréquence, les propriétés physiques des sphères ont très peu d’influence sur les propriétés effectives de l’onde lente.
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Table des matières
Introduction générale
1 Théorie de Biot
1.1 Introduction
1.2 Rappels de mécanique des milieux poreux
1.2.1 Energies cinétique, élastique et de dissipation
1.2.2 Loi de comportement
1.2.3 Equations du mouvement
1.3 Rappels d’acoustique des milieux poreux
1.3.1 Solutions des équations du mouvement
2 Diffusion d’ondes poroélastiques par un obstacle sphérique
2.1 Introduction
2.2 Diffusion par une sphère fluide
2.2.1 Déplacement et pression dans la cavité
2.2.2 Déplacement, contraintes et pression dans le MPE
2.2.3 Potentiels dans le MPE et dans la cavité
2.2.4 Conditions de continuité entre le MPE et la cavité
2.2.5 Limite de Rayleigh
2.3 Diffusion par une sphère solide élastique (SE)
2.3.1 Potentiels
2.3.2 Conditions de continuité à l’interface MPE/SE
2.3.3 Limite de Rayleigh
2.4 Étude numérique des coefficients de diffusion
2.4.1 Cas de la sphère fluide
2.4.2 Cas de la sphère élastique
3 Théorie de la diffusion multiple en présence d’obstacles sphériques aléatoirement répartis
3.1 Introduction
3.2 Les fonctions de forme de la diffusion par une sphère
3.2.1 Cas d’une onde incidente longitudinale
3.2.2 Cas d’une onde incidente transversale
3.3 Équations de la diffusion multiple .
3.3.1 Opérations sur les coefficients de Gaunt
3.3.2 Calcul des premiers coefficients Knm et K αβ nm
3.3.3 Formule réduite du nombre d’onde effectif en basse fréquence
4 Diffusion multiple dans une matrice poroélastique contenant des sphères élastiques
4.1 Introduction
4.2 Diffusion multiple dans un MPE
4.2.1 Formules pour le nombre d’onde effectif rapide
4.2.2 Formules pour le nombre d’onde effectif lent
4.3 Étude numérique des nombres d’ondes effectifs longitudinaux
4.3.1 Caractéristiques acoustiques du QF20 en l’absence de sphères
4.3.2 Distribution de sphères en aluminium dans le QF20
4.3.3 Distribution de sphères en epoxy dans le MPE
4.4 Formules explicites en très basse fréquence des nombres d’onde effectifs
4.5 Module et masse volumique effectifs
4.6 Le coefficient de diffusion du MPE effectif
4.7 Conclusion
5 Étude paramétrique des nombres d’ondes effectifs rapide et lent
5.1 Introduction
5.2 Comparaison des nombres d’ondes dans le sable de Stoll et dans le QF20
5.3 Effet de la présence de diffuseurs sur les nombres d’onde
5.3.1 Cas des cavités
5.3.2 Cas des sphères en epoxy
5.4 Module et masse volumique effectif
5.5 Coefficient de diffusion effectif
5.6 Conclusion
Conclusion générale
