DIFFICULTÉS RELATIVES À L’ABSTRACTION

L’abstrait et l’abstraction selon Aristote 

Une première esquisse de la notion d’abstraction nous est fournie par Aristote. Son postulat est que l’Homme, curieux de nature, cherche à comprendre le monde par l’étude de la Réalité telle qu’elle est (Cleary, 1985). Pour reprendre la terminologie d’Aristote, nous avons à notre disposition plusieurs facultés (les dispositions sensorielles et intellectuelles) permettant de décrire et percevoir cette Réalité qui nous est extérieure, selon qu’on l’aborde par le biais de notre intellect ou par celui de nos sens. Les connaissances que l’on en tire peuvent alors se classer dans une des deux grandes catégories que sont la connaissance sensible et la connaissance intellectuelle.

Cette connaissance sensible, transmise à l’aide de descriptions et de mesures, n’est toutefois pas suffisante pour permettre une étude complète de la Réalité car elle s’arrête aux événements observés ou ressentis ; à l’aide de la connaissance sensible, on ne peut ni effectuer de rapprochement entre certains faits ni en déduire quelque concept général que ce soit.

En revanche, l’objet étudié dont nous cherchons à améliorer notre connaissance possède également une nature intelligible, du domaine des idées. De cette nature intelligible découlera une définition, laquelle vient alimenter notre connaissance intellectuelle de l’objet.

Selon Aristote, l’intelligence est l’activité de formation d’idée. Elle découvre dans les choses sensibles leur constitution même, leur nature intelligible. Et c’est par un processus d’abstraction que l’on parvient à extraire l’intelligible des données de l’expérience sensible. Le rapprochement entre diverses observations et événements sera ainsi à la charge de la connaissance intellectuelle que l’on souhaite, afin de tenter d’expliquer la « Réalité » le plus fidèlement possible.

Aristote considère que cette abstraction qui permet de « transformer » la détermination sensible en nature intelligible est en fait le procédé fondamental de l’intelligence humaine. L’intelligence se manifeste ainsi, du moins en partie, dans notre capacité à former des idées en cohérence avec la réalité.

Le schéma APOS et la réification comme mesures de l’abstrait 

Pour reprendre la terminologie de Sfard, le terme de concept sera employé « lorsqu’une idée mathématique est prise en compte dans sa forme officielle, en tant que construction théorique à l’intérieur de l’univers formel de la connaissance idéale » (Sfard, 1991, p. 3). Une conception consistera en « l’ensemble de toutes les représentations personnelles et les associations évoquées par le concept » (ibid, p. 3).

Dubinsky (1991) part de l’hypothèse théorique selon laquelle toute conception mathématique d’un étudiant peut être comprise en tant qu’action, processus, objet ou schéma – d’où l’acronyme APOS. Elle permet ainsi d’inclure l’individu au sein de sa mesure de l’abstrait en catégorisant les conceptions des étudiants et non plus strictement les objets mathématiques eux-mêmes.

Obstacles relatifs aux définitions

Au-delà du fait que « les définitions servent d’assise au raisonnement et à tout l’édifice de la théorie » (Kahane, 1999, p.13), nous voyons deux autres raisons qui motivent notre intérêt pour la définition.

Tout d’abord, même si, comme le soulignent Tall et Vinner (1981), beaucoup de notions mathématiques sont rencontrées sous une forme implicite (au sens qu’emploie Lajoie, 2009) avant d’être formellement définies, la définition est généralement proposée au sein d’un cours à une place qui n’est pas vraiment la sienne, se situant à contre-courant de la phylogenèse de la notion définie. Ouvrier-Buffet (2003) observe en effet qu’une définition est généralement l’aboutissement d’un processus de recherche alors que la transposition didactique classique fait en sorte que les définitions sont généralement situées au début d’un cours ou d’un exposé, en guise de préalable à l’étude de la notion. Ainsi, « la transposition didactique prend pour point de départ un aboutissement historique et réécrit l’histoire à l’envers » (Kahane, 1999, p.11). On perd alors de vue les raisonnements qui ont mené au choix des termes contenus dans 26 la définition, générant potentiellement un obstacle didactique17.

La seconde raison de notre intérêt réside dans la différence d’usage qui est fait des définitions entre le langage courant et le langage mathématique. Dans le premier, les définitions apparaissent comme limitatives et abréviatives alors que dans le second, elles cherchent plutôt à ôter des barrières, notamment à l’aide d’une identification et d’une manipulation des caractéristiques universelles des objets et des systèmes (Findell 2001).

1 PROBLÉMATIQUE 
1.1 INTRODUCTION
1.2 DIFFICULTÉS OBSERVÉES CHEZ NOS ÉTUDIANTS
1.3 UN REGARD CURRICULAIRE PERSONNEL
Les différentes algèbres du curriculum
Place de l’algèbre abstraite dans le curriculum
L’algèbre abstraite vue comme première théorie axiomatique du curriculum
Autres observations personnelles
1.4 BUTS ET INTENTIONS DU COURS D’ALGÈBRE ABSTRAITE
1.5 PERTINENCE DE LA RECHERCHE ET DE SON SUJET
1.6 OBJECTIFS ET QUESTIONS DE RECHERCHE
2 CADRE CONCEPTUEL 
2.1 NOTIONS D’OBSTACLE ET DE DIFFICULTÉ – VERS UNE TYPOLOGIE DES OBSTACLES DANS L’APPRENTISSAGE DE L’ALGÈBRE ABSTRAITE
Distinction entre difficultés et obstacles
Typologie des obstacles – distinctions entre difficulté et obstacle
Cas de l’algèbre abstraite – genèse et utilisation antérieure de la notion de groupe
Structure du cadre conceptuel et présentation d’un exemple tiré d’une séquence didactique
2.2 DIFFICULTÉS RELATIVES À L’ABSTRACTION
L’abstrait et l’abstraction selon Aristote
Le schéma APOS et la réification comme mesures de l’abstrait
Modèles analogique et paradigmatique
2.3 OBSTACLES RELATIFS AUX DÉFINITIONS
Typologie des définitions
Les courants nominaliste et essentialiste
Le point de vue essentialiste de Leibniz
La vision heuristique de Lakatos
Image du concept et définition du concept
Des incohérences potentielles
2.4 OBSTACLES RELATIFS AUX MODES DE REPRÉSENTATIONS (REGISTRES DE REPRÉSENTATIONS SÉMIOTIQUES)
2.5 OBSTACLES RELATIFS AU PROCESSUS DE PREUVE
2.6 CONCLUSION
3 MÉTHODOLOGIE
3.1 INTRODUCTION
3.2 ANALYSE DE MANUELS
3.3 ANALYSE D’UNE SÉQUENCE DIDACTIQUE
3.4 ANALYSE DE PRODUCTIONS D’ÉLÈVES ET ENTRETIENS
4 RÉSULTATS DE L’ANALYSE DES DONNÉES
4.1 ANALYSE DE MANUELS
4.2 ANALYSE DE LA SÉQUENCE DIDACTIQUE
4.3 ANALYSES DES PRODUCTIONS D’ÉTUDIANTS
4.4 ANALYSE DES ENTRETIENS (PARALLÈLES ENTRE LES PRODUCTIONS ET LES ENTRETIENS)
5 CONCLUSION
6 BIBLIOGRAPHIE 
7 ANNEXES

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