Diamagnetisme des gaz quantiques quasi-parfaits

Comprendre, décrire et classifier les comportements de la matière en présence de champs magnétiques ont été incontestablement l’un des moteurs de l’évolution des concepts et des formalismes que la physique théorique a connu dans les deux siècles derniers. Les origines des deux principales formes du magnétisme que sont le paramagnétisme et le diamagnétisme ne seront comprises qu’en 1930 avec l’émergence de la mécanique quantique. Cependant les modèles théoriques décrivant les effets diamagnétiques dans les métaux restent encore aujourd’hui discutables.

Les premières expériences connues mettant en évidence une des formes du magnétisme, que le physicien anglais M. Faraday nommera en 1845 le diamagnétisme, remontent à la fin du XVIIIème siècle. En 1778, le physicien hollandais A. Brugmans observe la répulsion du bismuth par les deux pôles d’un aimant. En 1827, le physicien français A.C.M. Le Baillif publie un papier sur la répulsion magnétique du bismuth et de l’antimoine. En 1828, le physicien allemand T.J. Seebeck décrit le même effet pour de nombreuses substances. Les travaux réalisés en 1845 par M. Faraday ont été déterminants puisqu’ils vont être à l’origine d’une théorie macroscopique du magnétisme. N’ayant vraisemblablement pas eu connaissance des observations antérieures, il observe qu’un morceau de verre lourd accroché entre les pôles d’un électroaimant s’aligne perpendiculairement aux ligne de champs de l’aimant. Ce comportement diffère de celui déjà bien connu qu’ont certains matériaux (par ex. un aimant) qui sont attirés vers les régions de plus fort champ magnétique en s’orientant parallèlement aux lignes de champs. La découverte surprenante de Faraday est que pour des champs magnétiques suffisamment fort, pratiquement tous les objets matériels sont repoussés vers les régions de plus faible champ magnétique en s’orientant perpendiculairement aux lignes de champs. Il donne le nom de diamagnétisme à ce nouveau phénomène en opposition au phénomène déjà connu qu’il nomme paramagnétisme. Ces travaux laissent déjà entrevoir que le magnétisme est une propriété intrinsèque à la matière.

Dans le cadre de la théorie classique de l’électromagnétisme, publiée par le physicien écossais J.C. Maxwell en 1864, on distingue deux formes de magnétisme que l’on caractérise de la manière suivante. Lorsqu’un milieu matériel à l’équilibre thermique et initialement non aimanté est soumis à un champ magnétique extérieur B stationnaire, il acquiert (en réaction) une aimantation (ou moment magnétique moyen par unité de volume). Cela se traduit par un vecteur aimantation qui est fonction du champ magnétique dans le matériau M = M(B). Pour un matériau supposé linéaire, homogène et isotrope, la relation locale entre M et B est linéaire et pour de faibles intensité du champ magnétique : M = χmB unités CGS .

χm est une quantité sans dimension, indépendante de B appelée susceptibilité magnétique par unité de volume. Suivant le signe de χm, les matériaux se classent en deux familles : les matériaux diamagnétiques pour lesquels χm < 0 et les matériaux paramagnétiques pour lesquels χm > 0.

Les travaux de M. Faraday suggèrent que la diamagnétisme est un phénomène présent dans presque tous les matériaux. Si un tel matériau manifeste le phénomène de paramagnétisme pour de faibles champs magnétiques, les effet paramagnétiques qui sont prédominants se superposent aux effets diamagnétiques. La susceptibilité magnétique χm peut alors se décomposer en une contribution paramagnétique et diamagnétique : χm = χpara + χdia

Suite à la découverte de l’électron par le physicien anglais J.J. Thomson en 1897, le physicien allemand P. Drude adapte à l’aube du XXième siècle la théorie cinétique des gaz (initié par J.C. Maxwell) aux électrons des métaux. Dans cette théorie classique des solides (essentiellement des métaux en fait), seule une interprétation heurisitique du phénomène de diamagnétisme peut être apportée. En réaction à l’application d’un champ magnétique extérieur, les électrons se trouvant à l’intérieur d’un métal se mettent en mouvement. Il se crée alors un courant induit et par suite un champ magnétique induit conforme à la loi de Lenz, i.e. qui s’oppose au champ magnétique extérieur. Le moment magnétique associé à ce courant est un moment diamagnétique. Quant au phénomène de paramagnétisme, la nature des moments magnétiques induits par le champ magnétique est sans réponse.

C’est l’émergence de la physique statistique d’équilibre (application de la théorie des probabilités à l’étude des comportements thermodynamiques des systèmes composés d’un grand nombre de particules) initié en 1870 par le physicien autricihien L. Boltzmann puis formalisée par le physicien américain W. Gibbs en 1902, qui va donner un premier cadre qualitatif à l’étude statistique du diamagnétisme et paramagnétisme.

En 1905 le physicien français P. Langevin propose une explication théorique du paramagnétisme dans le cadre de la physique statistique dite ”semi-classique”. Son modèle est un gaz d’électrons (vus comme des particules ”classiques”) portant un moment magnétique permanent et ayant un mouvement sur une orbite implicitement privilégiée sous l’effet d’un champ magnétique uniforme. En dehors du domaine des basses température, P. Langevin retrouve qualitativement les résultats expérimentaux publiés en 1895 par le physicien français P. Curie : la susceptibilité paramagnétique des matériaux varie inversement proportionnel à la température, i.e. χpara = χpara(T) = C/T où T désigne la température et C la constante de Curie (intrinèque au matériau). L’interprétation que donne P. Langevin est la suivante : les matériaux seraient formés d’une multitude de micro-aimants créés par des électrons en mouvement sur une orbite fermée. En l’absence de champ magnétique ces moments magnétiques seraient aléatoirement orientés et leur somme serait nulle à l’échelle macroscopique. En présence de champ magnétique, ces moments s’aligneraient dans le même sens que le champ magnétique mais l’agitation thermique tendrait à leur donner une direction aléatoire. Dans le domaine des basses températures, il montre que l’aimantation paramagnétique tend vers une constante. Il propose également un modèle semi-classique pour le phénomène de diamagnétisme dont on reviendra dessus un peu plus loin.

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Table des matières

Introduction
1 Systèmes magnétiques
1 Eléments de physique
2 Notations et définitions
3 Systèmes magnétiques et Hamiltoniens
3.1 Modèle & hypothèses
3.2 Hamiltonien à une particule
3.3 Hamiltonien du gaz quasi-parfait à nombre de particules fixé
3.4 Hamiltonien seconde quantifiée : nombre indéterminé de particules
3.5 Lorsque ω devient un paramètre complexe
4 Semi-groupe à un paramètre
4.1 Définition et propriétés du semi-groupe à un paramètre
4.2 Estimations en norme Hilbert-Schmidt et norme trace
5 Grandeurs caractéristiques du gaz quantique quasi-parfait
5.1 Grandeurs caractéristiques dans l’ensemble grand-canonique
5.2 Grandeurs caractéristiques dans l’ensemble canonique
6 Annexe
2 Réponse magnétique à volume fini
1 Résultats principaux
2 Propriétés de la pression grand-canonique à volume fini
2.1 Analycité en la fugacité z
2.2 Analycité en l’intensité du champ magnétique B
2.3 Analycité jointe en la fugacité et en l’intensité du champ magnétique
2.4 Convexité en la variable µ
2.5 Transfert des propriétés d’analycité
3 Susceptibilités généralisées grand-canonique à volume fini
4 Appendice 1 : Energie libre et susceptibilités canonique
5 Appendice 2 : Grandeurs grand-canonique à densité fixée
6 Appendice 3 : Une autre preuve de la Proposition 2.10
7 Annexe
Conclusion