Développements fondamentaux sur l’écoulement dans un milieu poreux fissuré infini

Développements fondamentaux sur l’écoulement dans un milieu poreux fissuré infini

Plusieurs problèmes physiques et industriels tels que le transport des contaminants dans les roches fracturées ou l’exploitation des réservoirs pétroliers requièrent la modélisation de l’écoulement dans un milieu poreux contenant des fissures ou des fractures. Ces discontinuités ont généralement une grande influence sur les propriétés globales de transport dans les massifs rocheux.

Parmi les nombreux problèmes liés à l’écoulement dans les formations géologiques fracturées ou les roches micro-fissurées, on s’intéresse à l’écoulement stationnaire au sein d’un système poreux soumis à un champ lointain pour déterminer sa perméabilité effective. Afin de modéliser l’écoulement dans un milieu poreux fissuré infini, l’équation intégrale singulière fournit une méthode puissante permettant de développer :
(1) un schéma numérique simple,
(2) la solution générale du potentiel et
(3) la solution analytique dans quelques cas de références.

Concernant la solution générale du potentiel, le champ de pression dans la matrice est élaboré comme la fonction du flux dans les fissures. Cela réduit d’une unité la dimension des variables inconnues ; on passe d’un problème 3D à un problème 2D ou d’un problème 2D à un problème 1D, ce qui simplifie alors la modélisation numérique. La solution potentielle est proposée premièrement par Liolios et Exadaktylos [94] pour l’écoulement plan en utilisant les variables complexes. Leur solution est restreinte au cas d’une matrice de perméabilité isotrope et exclut l’intersection entre les fissures.

Problème de fissure sous forme de disque elliptique

Les aspects mécanique, hydraulique et thermique ont été largement étudiés pour le cas d’inclusions ellipsoïdales, ou d’une surface elliptique de fissure (en 2D) noyée dans un domaine infini soumis à un champ lointain. Deux grandes méthodes ont été utilisées dans la littérature afin d’établir des solutions théoriques pour ce problème: les harmoniques ellipsoïdales [161, 23, 69, 157, 152, 153] et la méthode des équations intégrales duales [164, 158]. La solution de l’écoulement stationnaire dans et autour d’une seule fissure de Poiseuille pourrait être probablement obtenue en utilisant ces deux méthodes. Cependant, l’équation (48) fournit une solution générale qui est valable pour le cas général d’un domaine poreux contenant des surfaces courbes et intersectées par des fissures. Ce résultat n’est pas accessible par la méthode de l’harmonique ellipsoïdale ni par la méthode des équations intégrales duales. Lorsque cette expression est disponible, elle est un point de départ permettant de dériver la solution analytique pour le cas d’une fissure elliptique. Elle constitue alors une méthode plus courte et facile par rapport aux autres méthodes. Dans cette section, une solution analytique d’infiltration dans une fissure de Poiseuille est présentée. Cette solution permet une comparaison entre le modèle d’écoulement de Poiseuille dans une fissure d’épaisseur nulle et le modèle d’inclusion ellipsoïdale aplatie soumise à l’écoulement de Darcy.

Comparaison entre la fissure de Poiseuille et l’inclusion de Darcy
La fissure a été parfois considérée comme le cas limite d’une inclusion avec un facteur de forme (rapport entre l’épaisseur et le diamètre) tendant vers zéro. Toutefois, une étude approfondie a montré que cette similarité n’est que partielle, ne vaut que pour certains résultats et dans certains cas. Ceratines différences importantes entre les deux modèles, la fissure de Poiseille et le cas limite de l’inclusion ellipsoïdale applatie avec la la de Darcy, n’ont pas été soulignées dans la littérature.

En théorie de l’élasticité, une grande quantité des travaux a été consacrée à étudier la propriété d’un corps infini contenant une fissure sous la condition d’un champ lointain [164, 69, 152, 153, 30, 73, 84]. La fissure est considérée comme une surface remplie par un matériau avec une raideur nulle. Ces travaux ont montré que la solution de ce problème peut être obtenue par le cas limite d’une inclusion ellipsoïdale aplatie avec une rigidité nulle (cavité ellipsoïdale). Toutefois, le cas où la rigidité de l’inclusion n’est pas nulle, et même tends vers l’infinie en même temps que son épaisseur tends vers zéro n’a pas étudié, à notre connaissance, dans la littérature. Par analogie dans notre problème de diffusion hydraulique, la rigidité élastique est remplacée par la perméabilité avec la loi de Darcy. Cependant, l’écoulement dans la surface de fissure est souvent modélisé par la loi de Poiseuille. La première loi établit la relation linéaire entre la vitesse et le gradient de pression ; tandis que la deuxième établit la linéarité entre le gradient de pression et le vecteur d’infiltration qui est l’intégrale de la vitesse sur l’épaisseur de la fissure. Très fréquemment, il a été supposé, du moins implicitement dans l’étude de la perméabilité effective des milieux poreux fissurés, quela fissure elliptique de Poiseuille est obtenue comme cas limite de l’inclusion ellipsoïdale aplatie de Darcy quand son épaisseur tend vers zéro et sa permeabilité vers l’infinie. Cette idée est basée probablement sur l’analogie rigoureuse dans le cas d’une fissure ou d’une cavité avec une rigidité nulle en élasticité linéaire ou avec une perméabilité infinie dans les problèmes d’écoulement. Nous avons montré dans cette section que ce résultat n’est pas toujours vrai : la solution décrivant le cas d’une fissure elliptique de Poiseuille est différente de celle obtenue comme cas limite d’une inclusion ellipsoïdale aplatie de Darcy.

Un système complet d’équations gouvernant l’écoulement transitoire dans un milieu poreux fissuré a été rappelé dans ce chapitre, dans lequel la conservation de la masse en un point régulier sur une fissure ou à l’intersection entre plusieurs fissures a été formulée explicitement. Le résultat important est le fait que l’échange de masse en un point sur l’intersection est indépendant des échanges entre les fissures et la matrice et se formule par la même expression que pour un réseau de fissures dans un milieu imperméable.

En assimilant les fissures à une répartition de points sources, une solution générale du potentielle a été proposée pour le cas 2D et 3D sous la forme d’une équation intégrale singulière pour l’écoulement stationnaire dans un milieu poreux fissuré infini soumis à un champ lointain (gradient constant). Dans cette solution, le champ de pression dans la matrice est une fonction de l’infiltration dans les fissures qui permet la réduction de la dimension du problème numérique. Il est intéressant de noter que la solution générale inclut la conservation de la masse à l’intersection entre les fissures. Il n’y a pas alors de condition suplémentaire à introduire dans la modélisation numérique.

Le rapport de stage ou le pfe est un document d’analyse, de synthèse et d’évaluation de votre apprentissage, c’est pour cela chatpfe.com propose le téléchargement des modèles complet de projet de fin d’étude, rapport de stage, mémoire, pfe, thèse, pour connaître la méthodologie à avoir et savoir comment construire les parties d’un projet de fin d’étude.

Table des matières

INTRODUCTION GENERALE
CHAPITRE 1. DEVELOPPEMENTS FONDAMENTAUX SUR L’ECOULEMENT DANS UN MILIEU POREUX FISSURE INFINI
1.1 INTRODUCTION
1.2 PROBLEME BIDIMENSIONNEL
1.2.1 Equations générales de l’écoulement 2D
1.2.2 Solution théorique de l’écoulement dans un milieu poreux fissuré infini 2D
1.3 PROBLEME TRIDIMENSIONNEL
1.3.1 Equations générales de l’écoulement 3D
1.3.2 Solution générale du potentiel 3D
1.4 PROBLEME DE FISSURE SOUS FORME DE DISQUE ELLIPTIQUE
1.4.1 Champ d’infiltration dans la fissure
1.4.2 Champ de pression dans la matrice
1.4.3 Extension au milieu anisotrope
1.4.4 Comparaison entre la fissure de Poiseuille et l’inclusion de Darcy
1.5 CONCLUSION
CHAPITRE 2. MODELISATION NUMERIQUE DE L’ECOULEMENT STATIONNAIRE DANS UN MILIEU POREUX FISSURE INFINI
2.1 INTRODUCTION
2.2 MODELISATION BIDIMENSIONNELLE DE L’ECOULEMENT STATIONNAIRE DANS UN MILIEU POREUX FISSURE INFINI
2.2.1 Méthode de résolution numérique 2D
2.2.2 Solution numérique de l’écoulement stationnaire dans un milieu poreux fissuré infini 2D
2.3 MODELISATION TRIDIMENSIONNELLE DE L’ECOULEMENT STATIONNAIRE DANS UN MILIEU POREUX FISSURE INFINI
2.3.1 Méthode de résolution numérique 3D
2.3.2 Validation de la solution numérique
2.3.3 Solution numérique de l’écoulement dans un milieu poreux fissuré infini 3D
2.4 CONCLUSION
CHAPITRE 3. APPLICATION AU CALCUL DE LA PERMEABILITE EFFECTIVE D’UN MILIEU POREUX FISSURE SATURE
3.1 INTRODUCTION
3.2 PERMEABILITE EFFECTIVE D’UN MILIEU POREUX FISSURE
3.3 DETERMINATION THEORIQUE DE LA PERMEABILITE EFFECTIVE
3.3.1 Milieu poreux fissuré 2D contenant des fissures super-conductrices
3.3.2 Milieu poreux fissuré 3D contenant des fissures super-conductrices
3.4 DETERMINATION SEMI-ANALYTIQUE DE LA PERMEABILITE EFFECTIVE
3.4.1 Modèle semi-analytique de la perméabilité effective 2D
3.4.2 Modèle semi-analytique de la perméabilité effective
3.5 CONCLUSION
CONCLUSION