Developpements en série de puissances de x 

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Lin´earisation par bouclage dynamique.

Outre les probl`emes de planification de trajectoire en boucle ouverte, il faut aussi r´esoudre, dans les ap-plications de controle industrielles, le probl`eme de l’asservissement du syst`eme sur la trajectoire planifi´ee, afin de corriger les erreurs dues aux erreurs dans la mod´elisation du syst`eme qui a servi `a ´elaborer la commande en boucle ouverte et l’effet des perturbations, et d’optimiser les temps de r´eponse. Il s’agit de probl`emes de suivi de trajectoires (ou “tracking”) et donc contrˆole en boucle ferm´ee pour les-quels la notion de platitude joue aussi un rˆole par le biais de la lin´earisation par bouclage. On pourra consulter [36] pour un expos´ tr`es complet de l’utilisation de la lin´earisation par bouclage pour le contrˆole en boucle ferm´ee de syst`emes non lin´eaires.
Propriet´e´ 1.1.2. Un syst`eme dynamique de dimension d’´etat finie est plat si et seulement si il est lin´earisable par bouclage dynamique endog`ene en un syst`eme lin´eaire commandable. L’hypoth`ese d’endog´en´eit´ a, l`a encore, garanti que le bouclage dynamique n’a pas rajout´e d’´etat v´eritable au syst`eme, si ce n’est un nombre fini d’int´egrateurs sur les entr´ees des chaˆınes de la forme de Brunovsky.
Cette hypoth`ese est n´ecessaire pour s´electionner parmi les bouclages dyna-miques r´eguliers une classe de transformations qui assure une correspondance bi-jective entre des fonctions arbitraires libres t → y(t) suffisamment d´erivables et les trajectoires suffisamment d´erivables du syst`eme, et qui conserve la propri´et´ de commandabilit´e.

Platitude des syst`emes lin´eaires de dimension finie

Equivalence entre platitude et commandabilit´e.

Dans le cas des syst`emes lin´eaires, grˆace `a la forme canonique de Brunovsky, il est ais´e de voir que tous les syst`emes commandables ayant le mˆeme nombre de commandes sont ´equivalents par bouclage statique, et donc qu’ils sont plats. Les sorties plates peuvent ˆetre choisies comme ´etant les sorties des chaˆınes d’int´egrateurs de la forme canonique de Brunovsky du syst`eme. R´eciproquement, dans sa d´efinition mˆeme, un syst`eme plat voit ses trajectoires param´etr´ees par des fonctions y libres et leurs d´eriv´ees. L’hypoth`ese d’endog´en´eit´ revient `a affirmer qu’`a tout instant, y et ses d´eriv´ees peuvent ˆetre reconstruites `a partir de x et de u et ses d´eriv´ees. Il est donc possible (voir [16]) de construire une trajectoire reliant n’importe quel ´etat de d´epart `a n’importe quel ´etat ´etat d’arriv´ee, et le syst`eme est commandable.
Dans le cas des syst`emes lin´eaires, on a donc co¨ıncidence exacte entre la notion de commandabilit´e et celle de platitude, et le lien se fait par l’interm´ediaire de la forme de Brunovsky.
Le cas des syst`emes lin´eaires `a une commande: platitude et d´ecomposition de Brunovsky.
Le cas g´en´eral. Soit un syst`eme lin´eaire de dimension finie comman-dable a` une commande x˙ = Ax + Bu, o`u A est une matrice (n,n), B est un vecteur de dimension n, et pour tout t, u(t) est un scalaire et x(t) un vecteur de dimension n.
Ainsi, pour avoir une param´etrisation endog`ene, il faut que N = n − 1. Dans ce cas, comme la relation (1.2.2) est v´erifi´ee, les coefficients ci n’ont plus lieu d’ˆetre et la matrice dynamique du syst`eme est sous forme compagne dans la base e1, e2, . . . ,en−1. En calculant le polynˆome caract´eristique de cette matrice, on voit que le seul choix possible pour les coefficients ai est celui des coefficients du po-lynˆome caract´eristique normalis´e de A.
Si l’un des coefficients bi est nul, la matrice ne peut pas ˆetre de rang plein car elle contient une ligne de z´eros. De mˆeme, si deux des valeurs propres de la matrice sont ´egales, la matrice pr´esente deux lignes proportionnelles, et elle n’est pas de rang plein. R´eciproquement, le d´eterminant de cette matrice est un d´eterminant de Vandermonde, donc sa nullit´e entraˆıne l’´egalit´ entre deux λi ou la nullit´e d’au moins un des bi.
Ceci fournit donc une caract´erisation modale de la commandabilit´e (et de la platitude) dans le cas d’un syst`eme `a une commande:
Propriet´e´ 1.2.1. Pour qu’un syst`eme dynamique de dimension n a` une com-mande, a` dynamique A diagonalisable soit commandable (ou plat), il faut et il suffit que
– A ait n valeurs propres distinctes,
– et le vecteur de commande B ait une projection non nulle sur chaque sous-espace propre de A. Revenons dans ce cas `a la param´etrisation (1.2.1), ´eventuellement non endog`ene des trajectoires du syst`eme, nous avons la propri´et´ de minimalit´e suivante
Propriet´e´ 1.2.2. Si le syst`eme est commandable et la matrice A est diagona-lisable a` valeur propres simples, alors pour toute param´etrisation des trajectoires de la forme (1.2.1)-(1.2.3)

Planification de trajectoires.

Nous d´etaillons ici la m´ethode in-diqu´ee pr´ec´edemment.
Il s’agit de construire une loi de commande u(t) qui am`ene le syst`eme de l’´etat initial x(0) `a l’instant 0 `a l’´etat final x(T ) `a l’instant T . Nous appelons ici y la sortie plate endog`ene qui est la premi`ere coordonn´ee dans la base de Brunovsky construite par l’algorithme de la section pr´ec´edente sous sa forme directe ou inverse si c’est possible; nous avons y = M x, o`u M est la premi`ere ligne de la matrice de changement de base.
Les valeurs de y(0), y˙(0), . . . , y(n−1)(0) sont donc des combinaisons lin´eaires des composantes de x(0), elles sont connues `a l’instant 0. On les note d0, d1, . . . , dn−1. La valeur de y(n)(0) est ´egalement connue, comme combinaison des valeurs x(0) et u(0), on la note dn.

Extension de la notion en dimension infinie: exemple introductif

L’´etude de cet exemple a et´ commenc´ee dans [28] en utilisant une approche a` base de d´eveloppements en s´erie formelle des trajectoires. Elle a et´ ensuite reprise dans [29], dans un cadre plus g´en´eral. Nous en donnons maintenant une version plus achev´ee faisant apparaˆıtre les diff´erentes approches possibles pour traiter le probl`eme de la param´etrisation des trajectoires.
D´etermination de l’espace d’´etat: le probl`eme est bien pos´e dans L2(0,1). D’apr`es les d´efinitions et les r´esultats donn´es dans l’annexe B, il s’agit d’un probl`eme de controle bien pos´e dans L2(0,1). En effet, par rapport aux syst`emes dynamiques de dimension finie, o`u le th´eor`eme de Cauchy garantit toujours un probl`eme bien pos´e, dans le cas des syst`emes de dimension d’´etat infinie d´ecrits par des ´equations aux d´eriv´ees partielles avec conditions aux bords nous devons nous assurer de l’existence, l’unicit´e des solutions et leur r´egularit´ au sens d’une norme convenable vis a` vis de la condition initiale et de la loi de commande. Pour ce probl`eme, les r´esultats de l’annexe B prouvent que si la loi de commande u est dans C1(0,T ) et l’´etat initial est dans L2(0,1), nous obtenons une trajectoire unique solution au sens faible du probl`eme. En prenant un ´etat initial plus r´egulier et une loi de commande compatible avec l’´etat initial, on obtient une solution forte (ou classique) du probl`eme.
Propriet´e´ 1.3.1. Si y(t) est de classe Gevrey σ < 2, la solution formelle (1.3.7) est Gevrey d’ordre σ en t et deux fois continˆument d´erivable en x (en particulier, la loi de commande formelle (1.3.8) est Gevrey d’ordre σ).
Lorsque σ = 2, on a le mˆeme r´esultat en prenant R > 1 (R est le “rayon de y(t) dans la d´efinition C.1.5.
Nous avons donc ´etabli, grˆace `a cette propri´et´e, que toute fonction Gevrey y(t) d’ordre σ < 2 d´efinit une unique trajectoire θ(x,t),u(t) de (1.3.1)-(1.3.3) qui soit Gevrey d’ordre σ en t et 1 en x. R´eciproquement, toute trajectoire de (1.3.1)-(1.3.3) qui est deux fois continˆument d´erivable en x et Gevrey d’ordre σ en t d´efinit de fa¸con ´evidente une unique fonction Gevrey y(t) := θ(0,t) d’ordre σ. De plus, y s’exprime directement, c’est `a dire sans aucune int´egration en temps, en fonction de θ: notre param´etrisation n’a pas rajout´e d’´etat au syst`eme, on dira donc par analogie avec la dimension finie qu’elle est endog`ene.
Pour σ = 2, cette bijection a lieu entre les fonctions Gevrey y(t) d’ordre 2 et de rayon R > 4 et les trajectoires qui sont Gevrey d’ordre 2 en t et deux fois continˆument d´erivables en x.

Table des matières

Introduction 
Chapitre 1. Syst`emes plats en dimension finie et infinie 
1.1. La platitude
1.2. Platitude des syst`emes lin´eaires de dimension finie
1.3. Extension de la notion en dimension infinie: exemple introductif
Chapitre 2. Equations aux d´eriv´ees partielles de type diffusion 
2.1. Mise sous forme standard du syst`eme
2.2. Probl`eme bien pos´e
2.3. Transformation par bouclages
2.4. Cas particuliers
2.5. Propri´et´es de l’op´erateur en espace
2.6. Commandabilit´e “plate” approch´ee
Chapitre 3. Developpements en série de puissances de x 
3.1. Convergence des trajectoires formelles
3.2. Retour sur l’exemple introductif
3.3. Densit´e
3.4. G´en´eralisation des r´esultats pr´esent´es
Chapitre 4. Param´etrisation des trajectoires – Platitude 
4.1. Forme de Brunovsky
4.2. Convergence des trajectoires formelles
4.3. Densit´e des ´etats de d´epart et d’arriv´ee
4.4. Optimalit´e et unicit´e de la param´etrisation de Brunovsky
4.5. Planification de trajectoire et commandabilit´e approch´ee
Chapitre 5. Exemples de planification de trajectoire 
5.1. M´ethode op´eratoire de calcul de la loi de commande
5.2. Tige command´ee par un r´eservoir de chaleur.
5.3. Exemple d’un syst`eme de param`etre plat inconnu
5.4. Anneau `a sym´etrie radiale command´e en temp´erature `a l’int´erieur
5.5. Mˆeme exemple avec commande par un r´eservoir de chaleur
5.6. Synth`ese de loi de commandes par sommation au plus petit terme
Chapitre 6. Un exemple d’´equation lin´eaire d’ordre > 2, de dimension 1 en espace 
6.1. Equation de Korteweg-deVries lin´eaire
6.2. Le probl`eme est bien pos´e
6.3. Bouclage par les termes de bords
6.4. Param´etrisation de Brunovsky: ´etude du d´eterminant de Fredholm
6.5. Convergence des trajectoires formelles
6.6. Densit´e, commandabilit´e approch´ee
6.7. Simulation num´erique
Chapitre 7. Un exemple en dimension d’espace > 1 
7.1. Pr´esentation du probl`eme
7.2. Etude de l’op´erateur en espace
7.3. D´ecomposition de probl`eme
7.4. Densit´e, commandabilit´e approch´ee, endog´en´eit´e
7.5. Simulation num´erique
Conclusion et perspectives 
Annexe A. Les probl`emes aux limites d’ordre 2 en dimension 1
A.1. Les probl`emes autoadjoints
A.2. Les probl`emes non autoadjoints
Annexe B. Semi-groupes fortement continus
B.1. D´efinitions et th´eor`emes de base
B.2. Le probl`eme de Cauchy
B.3. Caract´erisations du g´en´erateur
Annexe C. Fonctions Gevrey
C.1. Fonctions Gevrey d’une variable
C.2. Propri´et´es des fonctions Gevrey, exemples
C.3. Fonctions Gevrey de plusieurs variables
Annexe
Bibliographie

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