Soutenance mémoire
Limites de Lam3 Limites de Lam3
Les problèmes posés par la quasi-incompressibilité conduisent à des systèmes mal conditionnés. Il a donc été choisi d’implémenter un solveur direct dans Lam3. L’inconvénient de ce type de solveur est le coût de stockage élevé pour la résolution et le temps de calcul pour des maillages à grand nombre de degrés de liberté. Cela limite sévèrement l’utilisation de maillages fins et de grandes dimensions, qui seraient maintenant nécessaires pour répondre à certaines questions industrielles plus complexes. Il a été en effet constaté que Lam3 présente de grandes difficultés de convergence, voire une absence de convergence, pour des produits de très faible épaisseur. Il faut également une certaine expertise pour générer le maillage initial. Par ailleurs, la propagation d’informations le long des lignes de courant nécessite autant de temps que suivant une approche incrémentale, dans le cas élastoviscoplastique. Les algorithmes d’intégration montrent des limites en stabilité de convergence. Le calcul semi-analytique de la cage présente de nombreux avantages, le principal étant un temps de calcul faible. Toutefois, un calcul EF tridimensionnel intégral (i.e. couplé tôle et cylindres) donnerait accès à la distribution des contraintes dans les cylindres (études de fatigue thermo-mécanique, d’usure…). Le passage à de nouvelles configurations de cage ne demanderait pas, a priori, de nouveaux développements, contrairement à Lam3. Cela est faisable, si on se réfère au travail de [Kim03], bien que cela reste coûteux en temps de calcul. Une comparaison a été réalisée entre ce modèle et Lam3 [Montmitonnet06b] : les résultats sur le profil de tôle sont quasi-identiques. Seule la phase stationnaire du procédé est modélisée. Il n’en reste pas moins que des phases transitoires existent : tête et queue de tôle, soudure entre bobines en laminage continu d’acier à froid, etc. Si le problème à étudier est précisément lié aux transitoires ou aux extrémités du produit, Lam3 n’offre pas de moyen d’analyse décisif (en réalité, il y a une option instationnaire dans ce logiciel, mais elle est beaucoup moins intéressante en comparaison à n’importe quel logiciel incrémental du commerce). Une opération de laminage actuellement d’un grand intérêt est le colaminage. Samodélisation requiert de traiter plusieurs corps déformables en contact unilatéral avec glissement possible, avec différentes lois de comportement et de frottement. Cela n’est pas possible actuellement avec Lam3. Un enjeu de la modélisation du laminage de produits plats est de pouvoir prédire l’apparition de défauts géométriques : mauvais profil d’épaisseur, « tôles ondulées » (défauts de planéité), … Plusieurs tentatives de calcul d’un défaut de planéité ont échoué avec Lam3 [Marchand00]. Ces échecs sont attribués à la structure même du maillage, structuré en briques. L’élément héxaédrique ne respecte pas les conditions de compatibilité de BrezziBabuska. Il est trop rigide en flexion, ce qui limite très sérieusement ses capacités en particulier lorsqu’on a peu d’éléments dans l’épaisseur. Cela est le cas, pour des raisons de temps de calcul, lorsqu’on a de grandes surfaces de tôle fine à mailler. L’intérêt du diagnostic de Lam3 pour améliorer la qualité du produit en est grandement diminué. Une dernière limite du logiciel Lam3 est la maintenance. Lam3 a été développé sur la base de Forge3® au milieu des années 90, puis est resté figé. Dans le même temps, Forge3® a bénéficié d’importants développements, dont le parallélisme.
Vers une formulation Arbitrairement Lagrangienne Vers une formulation Arbitrairement Lagrangienne Eulérienne (ALE) Eulérienne (ALE)
Pour modéliser le régime permanent, la formulation lagrangienne de Forge3® n’est toutefois pas la plus appropriée. Elle peut être très coûteuse en temps de calcul. Une telle approche requiert de calculer la phase transitoire pour atteindre l’état stationnaire [AboElkhier97, Wisselink04]. Or la tôle ne cesse de se déformer en aval de l’emprise qu’au-delà d’une distance de l’ordre de la largeur de la pièce. La longueur de tôle devant être ainsi laminée avant d’atteindre le régime permanent est au moins de l’ordre de sa largeur [Hacquin96]. La principale difficulté pour les tôles minces est alors de concilier une très faible épaisseur avec la grande longueur à modéliser. Dans le même temps, un grand nombre d’éléments sont nécessaires pour mailler finement l’épaisseur où ont lieu les déformations les plus importantes. Ces deux contraintes conduisent à un maillage avec un grand nombre de degrés de liberté et à de longs calculs. Les remaillages sont de plus fréquents suite aux déformations importantes du maillage. Par conséquent, il a été choisi de développer une nouvelle formulation dans Forge3®, la formulation Arbitrairement Lagrangienne Eulérienne (ALE) (voir chapitre II), afin de combiner les avantages des deux descriptions. La vitesse de maillage peut être nulle comme en eulérien, égale à celle de la matière comme en lagrangien, ou arbitrairement définie. La vitesse de maillage étant différente de celle de la matière, l’ALE permet de modéliser des grandes déformations tout en conservant un maillage de bonne qualité tout au long du calcul. La régularisation de maillage réduit la détérioration des éléments. Couplée à des techniques d’adaptativité de maillage, elle concentre durablement un grand nombre d’éléments dans les zones en déformation. Cela conduit a priori à une diminution de la taille des maillages tout en maintenant la qualité de la solution, comme le permettait la formulation stationnaire de Lam3. Une meilleure description de l’emprise peut être réalisée avec un temps de calcul réduit. Enfin, le besoin en remaillage est réduit grâce à la régularisation du maillage. En outre, la formulation ALE permet de doter la version incrémentale de Forge3® d’une dose de stationnarité. Si le problème étudié relève du régime permanent, une telle approche permet de maintenir le domaine étudié à une position fixe dans la direction de laminage, comme en stationnaire. La longueur de la tôle à modéliser peut être limitée. Enfin, la formulation ALE doit permettre d’apporter un gain en temps de calcul, tout particulièrement important si la déformation des outils est à prendre en compte. L’ensemble de l’outillage étant maillé sous Forge3®, cela conduit à un très grand nombre de degrés de libertés. Un comportement quasi-eulérien du cylindre permet a priori de diminuer le nombre d’éléments et de les concentrer dans les zones de contact, ce qui est plus favorable à la conservation du contact, en particulier entre les deux cylindres en cage quarto. Du fait de l’actualisation des surfaces libres par la méthode des lignes de courant, le maillage n’est pas complètement fixe dans la formulation stationnaire de Lam3. Celle-ci peut en fait être considérée comme une variante de formulation ALE, beaucoup plus « E » que « L ». Introduire la formulation ALE dans Forge3® permet de conserver les atouts de Lam3 tout en bénéficiant des avantages de la structure du code de Forge3® décrits dans le paragraphe précédent. Par ailleurs, il existe déjà une formulation ALE dans Forge3® développé pour modéliser le procédé de soudage par frottement et malaxage [Guerdoux07].
Vers une meilleure conservation des zones courbes
Dans les zones légèrement courbes et faiblement discrétisées, la projection entraîne une perte de courbure par rapport à la surface réelle. Pour conserver avec plus de précision les courbures, il y a deux solutions. La première est de raffiner davantage la zone considérée, ce qui augmenterait considérablement le temps de calcul. De plus, cela ne serait pas toujours possible, par exemple dans le cas de tôles minces ou de fortes largeur en laminage. Une deuxième solution, celle envisagée dans la suite de ce travail, consiste à construire une surface lissée de degré C1, plus représentative de la courbure réelle de la géométrie. Il existe plusieurs techniques pour construire une surface C1 à partir d’une surface discrète triangulée. Elles peuvent être globales ou locales. Dans le premier cas, la surface est déterminée sur une large partie du domaine, voire sur l’ensemble du domaine, alors que dans le second cas, elle est calculée seulement au voisinage du nœud considéré. Le principal inconvénient de la méthode globale est qu’elle est difficilement parallélisable. Une technique, issue de la CAO, décrit une surface courbe à l’aide de splines. Une spline est une surface polynomiale paramétrique, i.e. définie par morceaux par des polynômes. Différentes formulations des polynômes existent : celle de Bézier, celle hermitienne, … Pour plus de détails sur les splines et leur généralisation, le lecteur peut consulter les références suivantes [Piegl97, Piegl05]. La détermination complète de la surface C1 est obtenue grâce aux points de contrôle, qui sont ici les nœuds du maillage surfacique. Le nombre de points est lié au degré du polynôme. Il est en général plus important que le nombre de premiers voisins d’un nœud du maillage. Cette méthode est globale. Elle a déjà été utilisée en ALE [Huetink90, Traore01, Boman06]. Une réactualisation lagrangienne de l’ensemble du domaine a tout d’abord lieu. Puis, la surface discrète de ce nouveau maillage est interpolée à l’aide de splines. Cette méthode est généralement employée pour des maillages structurés, rendant le calcul des splines plus aisé en comparaison à des maillages non structurés. La méthode dite quadratique est plus simple que celle présentée ci-dessus [McIvor97, Meek00]. Au nœud considéré, on se place dans le repère local du patch de faces. Il est obtenu par rotation du repère initial selon la normale à la surface en ce nœud. Le calcul de la normale est un point crucial de cette méthode. Elle peut être prise égale à la moyenne des normales des faces contenant le nœud considéré [Meek00]. Les positions des nœuds voisins et du nœud lui-même sont calculées dans le nouveau repère. Elles servent à obtenir les valeurs des coefficients a, b, c, d, e et f par moindres carrées au voisinage du nœud considéré. Cette méthode a plusieurs variantes basées sur différentes formes de la fonction s. La forme la plus simple s’écrit uniquement avec les coefficients a, b et c. Les coefficients d et e sont introduits afin de compenser l’erreur commise lors de l’estimation de la normale à la surface. Si l’on ajoute le coefficient f, le nœud considéré n’est pas contraint d’être sur la surface. La précision de cette méthode est d’autant plus élevée que le nombre de nœuds voisins considérés est important. Il est difficile de se limiter au proche voisinage du nœud considéré. Une technique complètement locale consiste à construire la surface courbe, facette par facette de la surface discrète. Pour ce, on utilise uniquement la position des nœuds et les normales aux nœuds de la facette considérée [Nagata05]. Une facette d’une surface triangulée comprend trois arêtes. On estime tout d’abord la courbe pour chaque arête à l’aide d’un polynôme quadratique. On déduit de ces trois courbes « frontières » la surface courbe pour l’ensemble de la facette. Le caractère complètement local de cette méthode rend une éventuelle parallélisation aisée. En outre, cette méthode garantit la continuité de la surface C1 sur l’ensemble du domaine. Elle est également robuste et efficace du fait du faible degré d’interpolation. On a donc choisi de développer une technique similaire à cette méthode dans ce travail. Après une réactualisation lagrangienne, une surface C1 est construite localement, face par face, autour du nœud considéré. Puis est réalisée la projection. Pour simplifier le calcul de la position du projeté sur la surface lissée, celle-ci est sur-discrétisée préalablement à la projection (voir Figure V- 8).
Limite de la formulation ALE découplée Limite de la formulation ALE découplée
Le calcul ALE découplé est incrémental, ce qui n’est pas parfaitement adapté à la modélisation d’un régime permanent. L’état stationnaire, en particulier des déformations, s’établit tout d’abord localement dans l’emprise, et cela en un nombre faible d’incréments. Puis, le champ de déformations se propage en aval de la tôle. Le temps alors nécessaire pour atteindre un régime permanent sur l’ensemble de la tôle est considérable relativement à celui nécessaire pour l’emprise. Cet important temps de calcul hors emprise est directement proportionnel au nombre d’incréments nécessaires pour propager l’information jusqu’en aval de la tôle. Plus le pas de temps est petit, plus ce temps est grand. Or le pas de temps est dicté par le calcul sous emprise, et non par la propagation d’informations en aval de l’emprise. Par ailleurs, la longueur aval de la tôle peut être conséquente, de l’ordre de plusieurs largeurs afin d’atteindre le régime permanent. Le temps de calcul avec une formulation eulérienne stationnaire comprenant un calcul de surface libre est beaucoup plus faible par rapport à une formulation incrémentale car il n’y a pas de propagation des déformations à proprement dit. Les variables d’état, telles que la déformation généralisée, sont intégrées selon les lignes de courant sur l’ensemble de la tôle [Dixit95, Hacquin96]. On aimerait donc avoir une propagation des déformations hors emprise plus rapide afin de diminuer le temps de calcul.
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Table des matières
Chapitre I. Introduction
I.1. Le laminage de produits plats
I.1.1. Présentation du procédé
I.1.2. Modélisation du laminage des produits plats
I.2. Logiciels de simulation EF utilisés
I.2.1. Lam3 : un logiciel spécifique au laminage
I.2.1.1. Description de Lam3
I.2.1.2. Atouts de Lam3
I.2.1.3. Limites de Lam3
I.2.2. Forge3®
I.2.2.1. Description de Forge3®
I.2.2.2. Forge3® et le laminage
I.3. Contexte de l’étude
I.3.1. Vers Forge3®
I.3.2. Vers une formulation Arbitrairement Lagrangienne Eulérienne (ALE)
I.4. Objectifs de la thèse
I.5. Plan de la thèse
Chapitre II . Présentation bibliographique : la méthode ALE
II.1. Présentation de la méthode ALE
II.1.1. Description de l’ALE
II.1.1.1. Formulations lagrangienne et eulérienne
II.1.1.2. Formulation ALE
II.1.2. Formulation mathématique de l’ALE
II.1.3. Résolution d’un problème ALE
II.1.3.1. Approche directe
II.1.3.2. Approche découplée
II.1.4. Le schéma de mouvement du maillage
II.2. Gestion du maillage dans une approche découplée
II.2.1. Gestion du maillage surfacique
II.2.1.1. Sur-discrétisation de la frontière E.F
II.2.1.2. Interpolation de la surface E.F. à l’aide de splines
II.2.1.3. Barycentrage surfacique & Calcul des normales nodales
II.2.1.3.1. Barycentrage
II.2.1.3.2. Calcul des normales nodales
II.2.2. Gestion du maillage volumique
II.2.2.1. Méthode d’interpolation transfinie
II.2.2.2. Méthodes de type Laplacien
II.2.2.2.1. Approche explicite : régularisation par barycentrage
II.2.2.2.2. Approche implicite : problème de minimisation sous contrainte
II.2.2.3. Méthodes basées sur un modèle physique : analogie aux ressorts
II.3. Transport
II.3.1. Transport des variables nodales
II.3.1.1. Approche convective : le transport amont
II.3.1.2. Approche par interpolation inverse
II.3.2. Transport des variables stockées aux points d’intégration
II.3.2.1. Techniques de recouvrement par patch élémentaire (PR)
II.3.2.2. Techniques de recouvrement nodal : SPR (Superconvergent Patch Recovery)
II.4. Conclusion intermédiaire
Chapitre III. Présentation de la méthode ALE existante dans Forge3®
III.1. Description de la gestion du maillage
III.1.1. Adaptation de maillage : estimation d’erreur
III.1.2. Gestion du maillage volumique
III.1.3. Gestion du maillage surfacique
III.2. Transport
III.3. Particularités de la mise en données en ALE
III.4. Applications de cette formulation
III.5. Conclusion intermédiaire
Chapitre IV. Une nouvelle gestion du maillage surfacique
IV.1. Limite de la formulation ALE existante pour des écoulements de matière stationnaires majoritairement tangentiels
IV.1.1. Instabilités de surface libre
IV.1.2. Origine des instabilités
IV.2. Nouvelle méthode de gestion de maillage surfacique : la projection
IV.2.1. Présentation de cette méthode
IV.2.2. Différentes procédures en fonction de la localisation du nœud : plan, arête, coin
IV.2.2.1. Détection automatique de la localisation du nœud
IV.2.2.2. Surfaces planes ou légèrement courbes
IV.2.2.3. Arêtes
IV.2.2.4. Coins
IV.2.3. Traitement spécifique des nœuds contenus dans un plan de condition limite
IV.2.3.1. Surface du plan de condition limite
IV.2.3.2. Arêtes d’un plan de condition limite
IV.2.3.3. Coins d’un plan de condition limite
IV.2.4. Validation
IV.3. Choix libre du pas de temps : sous-incrémentation du calcul itératif de la vitesse de maillage
IV.3.1. Limite de la projection locale
IV.3.2. Description de la méthode de «sous-incrémentation »
IV.3.3. Calcul du « sous pas de temps »
V.3.4. Calcul du champ de la vitesse matérielle sur la configuration intermédiaire
IV.4. Application à un cas simple de laminage
IV.4.1. Description du cas test
IV.4.2. Résultats
IV.5. Conclusion intermédiaire
Chapitre V. Traitement spécifique des surfaces courbes
V.1. Présentation du problème de non-conservation des surfaces courbes
V.1.1. Illustration sur le cas de laminage
V.1.2. Origine de ce problème
V.1.3. Vers une meilleure conservation des zones courbes
V.2. Détermination d’une surface courbe à partir d’une surface discrète
V.2.1. Interpolation locale d’une surface courbe
V.2.1.1. Interpolation d’une arête d’une face
V.2.1.2. Interpolation de la face
V.2.1.3. Validation sur une sphère
V.2.2. Interpolation sur une arête du domaine
V.2.3. Détermination de la normale nodale
V.3. Projection sur la surface lissée
V.4. Validation sur un cas simple de laminage
V.5. Conclusion intermédiaire
Chapitre VI. Stratégies pour des temps de calcul optimisés
VI.1. Calcul itératif de la vitesse de maillage
VI.1.1. Influence de la pondération sur la convergence du calcul
VI.1.2. Modification de la pondération du barycentrage
VI.1.3. Validation sur le cas de laminage : absence de pondération
VI.2. Initialisation du calcul préliminaire lagrangien
VI.2.1. Evolution du champ de vitesse matérielle suite au transport
VI.2.2. Influence du transport sur le calcul du champ de vitesse matérielle
VI.2.3. Influence du transport sur le temps de calcul total
VI.3. Réduction du temps de calcul dans le cas de procédés stationnaires
VI.4. Accélération du calcul incrémental dans le cas de procédés stationnaires
VI.4.1. Limite de la formulation ALE découplée
VI.4.2. Accélération du transport des variables en régime permanent
VI.5. Conclusion intermédiaire
Chapitre VII. Outils cylindriques déformables
VII.1. Description de la gestion du maillage d’un cylindre déformable
VII.2. Actualisation des nœuds situés dans une zone cylindrique
VII.2.1. Détermination de la surface réactualisée lagrangienne locale
VII.2.2. « Projection radiale »
VII.3. Actualisation des nœuds situés sur une zone plane
VII.4. Actualisation des nœuds situés sur une arête
VII.4.1. Détermination du réactualisé lagrangien de l’arête
VII.4.2. Projection
VII.5. Déformation de l’axe de l’outil cylindrique
VII.5.1. Suivi de la déformation de l’axe de rotation
VII.5.2. Détermination de l’axe du cylindre à un instant donné
VII.6. Validation
VII.6.1. Description du cas test
VII.6.2. Schéma d’intégration temporelle pour la formulation lagrangienne
VII.6.3. Maillage
VII.6.3.1. Maillage de la tôle
VII.6.3.2. Maillage du cylindre déformable
VII.6.4. Résultats
VII.7. Conclusion intermédiaire
Chapitre VIII. Applications
VIII.1. Cage rigide
VIII.1.1. Description du modèle
VIII.1.1.1. Géométrie et cinématique
VIII.1.1.2. Rhéologie et frottement
VIII.1.1.3. Maillage
VIII.1.2. Résultats
VIII.2. Cage déformable
VIII.2.1. Description du modèle
VIII.2.1.1. Mise en données sous Forge3®
VIII.2.1.2. Mise en données sous Lam3
VIII.2.2. Maillage
VIII.2.3. Résultats
Chapitre IX . Conclusion et perspectives
Conclusion
Perspectives
Références Références
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