Développement d’un solveur DNS pour des écoulements diphasiques à phases non miscibles

État de l’art

Désintégration « naturelle »

La fragmentation d’un liquide est un phénomène que nous pouvons observer quotidiennement, l’étude de ses mécanismes a logiquement suscitée un vif intérêt. Félix Savart fait figure de pionnier dans le domaine. En 1833, plusieurs de ses mémoires [81, 83, 82, 84] traitent de la formation et de la brisure de jets plans. Dans une première expérience [82, 84], un jet d’eau cylindrique vient impacter un disque circulaire placé perpendiculairement. Un système permet de faire osciller le disque dans l’axe du jet liquide permettant de sélectionner le mode de vibration. Dans une seconde expérience [83], la collision de deux jets forme une nappe liquide lorsque les vitesses sont identiques, et une cloche lorsqu’elles sont différentes. Il a observé la croissance dans le sens du jet d’ondulations à la surface de la nappe liquide, suffisamment importantes pour la briser. Il n’a pas toutefois découvert l’influence de la tension de surface sur les ondulations, ce qui a été réalisé des années plus tard par Plateau [68] (la tension de surface ayant été découverte par Laplace et Young [113] en 1805). En effet, sous certaines conditions, les ondulations ont pour effet de réduire la surface de la nappe, ce phénomène est favorisé par la tension de surface. Cette force a toujours pour effet de réduire au minimum la surface de liquide. Rayleigh [76, 75] a par la suite mis en équations cet effet de la tension de surface sur les mécanismes de brisures d’un jet liquide. En considérant de petites perturbations sinusoïdales à la surface d’un cylindre liquide de rayon r j , Rayleigh montre que l’onde dont le taux de croissance est le plus important a une longueur d’onde λ = 9 r j . Si l’on considère que le jet se brise suivant cette longueur, la conservation de la masse nous indique que les gouttes résultantes ont un rayon r g = 1.89 r j. Son calcul corrèle à merveille avec ses expériences et celles de Savart mis a part la formation de petites gouttes satellites visibles sur la Fig(5).

Désintégration assistée

Influence du courant gazeux

Il faut remonter en 1939 avec Nukiyama et Tanasawa [59] pour trouver la première expérience sur la désintégration assistée d’un jet liquide. Dans leur expérience, un jet d’eau cylindrique plein est cisaillé suivant son pourtour par un courant gazeux porté a haute vitesse. Il a été trouvé une forte dépendance de la taille des gouttes du spray obtenu avec la vitesse de cisaillement du gaz. Il s’en suit bien des années plus tard un bon nombre de nouvelles expériences afin de répondre à des besoins industriels, dont celles qui utilisent une configuration où le jet liquide est plan, celles deRizk et Lefebvre [78] ou de Arai et Hahimoto [1]. Elles mettront en évidence les difficultés de relierla taille des gouttes avec les conditions de l’expérience. L’inclusion de la vitesse du gaz comme paramètre indépendant apparaît comme essentielle pour obtenir des corrélations expérimentalescohérentes, comme par exemple pour la longueur de rupture du jet ou pour le diamètre moyen de Sauter, le SMD. L’ensemble de ces travaux a été résumé par Lefebvre [39].
La présence de l’écoulement d’air change profondément la nature des mécanismes dedésintégration. Les théories qui ont été développées e n négligeant tout écoulement de gaz ne peuvent être appliquées à ce cas. En quelque sorte, le profil de vitesse a été inversé en comparaison du profil de vitesse d’un jet injecté dans de l’air au repos. Il a été prouvé que les déformations initiales du jet dépendent essentiellement du gaz. Les études de stabilité linéaire et non linéaire ont ainsi été reprises en prenant en compte cet effet de cisaillement du gaz [16, 2]. Tout comme le cas de la désintégration naturelle, on s’aperçoit rapidement que les effets de viscosité du gaz et du liquide, de la non linéarité des ondes de déformation, ne peuvent être négligés sous peine de s’écarter largement des observations et corrélations trouvées expérimentalement. L’une des rares choses qui ne change pas, c’est la forme des ondes de déformation qui se développent à la surface de la nappe, les ondes sinueuses et variqueuses Fig(6).

Configuration du jet plan

Introduction Pour simplifier à la fois l’observation, la mesure et la compréhension des mécanismes de désintégration d’un jet cisaillé, la configuration de la nappe plane de liquide a été largement utilisée, autant pour l’expérience que pour les études de stabilité, et le sera encore à l’avenir. Le liquide est injecté entre les deux parois parallèles d’un injecteur comme sur la Fig.(8), tel que la dimension transverse à l’écoulement soit très largement supérieure à l’épaisseur entre les deux plans, c’est à dire l’épaisseur de la nappe liquide, dans le but d’éviter les effets de bord.
Si les injecteurs commerciaux que l’on retrouve dans les moteurs aérospatiaux ont en général une géométrie axisymétrique, il a été démontré que les mécanismes sont identiques pour les géométries plane et axisymétrique. La géométrie plane présente par contre l’avantage de simplifier la visualisation et l’accès aux mesures lors de la réalisation d’expériences. L’observation de l’évolution spatiale des ondes de déformation des deux interfaces liquide/gaz est directe. Il n’est pas rare de trouver d’autres configurations, comme le jet cylindrique plein, seulement cisaillé suivant son pourtour, mais nous nous concentrerons quasi exclusivement sur la géométrie plane.

L’outil numérique

Pourquoi un tel outil ?

La CFD pour « Computational Fluid Dynamics » est l’application particulière de l’outil numérique à l’étude de la dynamique des fluides, qu’ils soient liquide ou gazeux, ou bien même les deux conjugués comme dans notre cas d’étude. Le champ d’investigation est ainsi au moins aussi vaste que celui de la mécanique des fluides elle-même. La manoeuvre consiste à trouver une solution discrète approchée aux équations de Navier-Stokes, avec éventuellement et même très certainement des hypothèses simplificatrices. En effet, l’outil mathématique n’est pas aujourd’hui en mesure de nous donner une solution analytique excepté des cas spéciaux et simplistes, les choses auraient été bien trop simples . . . Autant la précision des données de mesures issues de l’expérience dépend de la qualité et de la technicité des outils utilisés, autant la précision d’une solution numérique dépend fortement de la qualité de la discrétisation, autrement dit de la qualité des schémas et méthodologies numériques utilisés dans le sens mathématique du terme.
L’étude des écoulements de fluides a longtemps été confinée à l’expérience et à l’analyse de stabilité. L’outil numérique apporte ainsi une troisième voie d’étude complémentaire. Si au début des années 80, ce domaine était quasi réservé à la recherche et peu au développement de solutions industrielles, la tendance a largement évoluée avec l’arrivée de codes de simulation commerciaux comme FLUENT ou StarCD. La puissance des super calculateurs toujours de plus en plus importante est aussi un paramètre essentiel dans cette évolution. On obtiendra une solution discrète approchée d’autant plus précise que le maillage utilisé sera d’autant plus fin. Il est nécessaire d’avoir à l’esprit que doubler le nombre de cellules de discrétisation dans chaque direction revient à multiplier le nombre total de cellules par 2 . Les temps de calcul étant approximativement linéairement dépendant du nombre de cellules, ils peuvent devenir très rapidement extrêmement coûteux. Or, l’évolution des puissances de calcul est telle aujourd’hui qu’elle est multipliée d’une décade tous les 4 ans Fig.(18). Une ère nouvelle pour la simulation numérique va certainement voir le jour dans un proche avenir. Les calculs tridimensionnels d’écoulements instationnaires commencent à être de l’ordre du réalisable avec des techniques numériques toujours de plus en plus sophistiquées.

Simulations de l’instabilité de Kelvin-Helmholtz

Une bonne partie des études numériques concernant la désintégration d’un liquide sont des simulations bidimensionnelles de l’instabilité de Kelvin-Helmholtz. Une surface initialement plane séparant deux fluides inviscides s’écoulant dans des directions opposées est instable au sens de l’analyse des modes normaux. Les simulations sont dites périodiques : suivant un domaine de calcul rectangulaire, les conditions aux limites droite et gauche traduisent la périodicité par translation de l’écoulement dans le sens horizontal. Cette situation est donc tout à fait adaptée pour perturber un écoulement de base par une onde dont la longueur est un multiple de la largeur de la boite, comme on pourrait le faire lors d’un étude de stabilité.
L’écoulement de base varie suivant les auteurs : S.Zaleski et al. [116, 115] emploie une fonction erfc plus proche de la réalité en comparaison de la considération d’écoulements uniformes dans chacun des fluides comme le fait G.Tryggvason [109]. L’influence de la forme du profil de vitesse est évidemment importante dans le développement de l’instabilité, mais quel qu’il soit, les bases du mécanisme sont toujours les mêmes. Des deux travaux que nous venons de citer, les conclusions apportées sont similaires. Afin d’expliciter les bases du mécanisme de développement d’une instabilité de type Kelvin-Helmholtz, ils effectuent une étude paramétrique en faisant varier le rapport de densité, les Reynolds ainsi que le Weber pour des temps de simulation tels que l’instabilité soit dans une phase très fortement non linéaire. Premièrement, il est montré qu’un différentiel de densité et de viscosité cinématique entre les fluides provoque une disymétrisation rapide des écoulements dans chacun d’entre eux. La vorticité qui est créée à l’interface est advectée au sommet de la vague, vers le fluide le plus léger, avant qu’elle ne se déplace dans le creux.
Ce phénomène est essentiellement piloté par le nombre de Reynolds dans le fluide léger, même si la capillarité a aussi son importance. Secondement, de part cet effet, des ligaments de fluide lourd peuvent éventuellement se former si le Weber n’est pas trop petit, comme pour les simulations Fig.(19,20). Par la suite, la diffusion visqueuse du profil de vitesse cisaillant et l’action de la capillarité limitent la croissance de l’instabilité jusqu’à même ramener le ligament vers le fluide lourd. La tension de surface détermine la forme des ligaments et peut même provoquer sa brisure. Plus le Weber est important, plus le ligament sera fin.
Si ces simulations ont le mérite de mettre en lumière la dynamique de l’écoulement gazeux en interaction avec le développement rapide d’une forte courbure de l’interface, les ligaments qui se forment sont bien différents de ceux que l’on peut observer lors de l’atomisation d’un jet liquide cisaillé. En effet, comme nous l’avons expliqué, ces ligaments sont issus d’une déstabilisation transverse d’une instabilité primaire. Ils sont arrachés par le biais d’une instabilité de type Savart-Plateau-Rayleigh, seules des simulations tridimensionnelles peuvent mettre à jour ce phénomène. Les simulations présentées Fig.(21,22) illustrent ce phénomène ligamentaire alors que l’on retrouve la « plissure » similaire à ce que nous avons appelé ligaments pour les simulations bidimensionnelles.

Simulations de la désintégration assistée d’une nappe mince liquide

Les travaux numériques de E.Lopez-Pages et al. [45] sont bien plus intéressants quant à l’étude des mécanismes de désintégration d’un jet liquide en comparaison des simulations de l’instabilité de Kelvin-Helmholtz. Ils ont directement réalisé des simulations bidimensionnelles spatiales de la désintégration assistée d’une nappe mince de liquide par deux courants gazeux de part et d’autre, la configuration de calcul ayant été conçu telle qu’elle soit la plus réaliste possible.
Malgré le caractère tridimensionnel des déformations clairement observé expérimentalement, ces simulations rendent compte d’une certaine réalité des phénomènes en mettant en évidence les instabilités longitudinales responsables de l’oscillation globale de la nappe de liquide. Elles permettent d’accéder à la dynamique de l’écoulement gazeux cisaillant qui est en forte interaction avec les larges déformations de la nappe, ce qui est difficile à réaliser expérimentalement du fait de la difficulté d’utiliser les instruments de mesure traditionnels à cause de la présence éclatée de liquide. Il est donné Fig.(23) un exemple de simulation où l’on s’aperçoit qu’il est considéré une large épaisseur de séparation entre les écoulements gazeux et liquide en sortie de l’injecteur virtuel. La conséquence est la création rapide de vorticité de part et d’autre de la nappe juste au niveau de la sortie de l’injecteur par décollement de la couche limite gazeuse. Il est proposé une étude de l’impact de cette vorticité sur la fréquence de battement de la nappe.
En l’absence de liquide, en remplaçant celui-ci par de l’air, il est montré que l’écoulement gazeux provoque par le biais d’une instabilité de cisaillement similaire à la formation des allées de Von-Karman derrière un cylindre l’apparition de structures tourbillonnaires dont la fréquence est bien supérieure à celles de battement d’une nappe de liquide dans les mêmes conditions.
Cela montre le caractère couplé entre les battements de la nappe et la dynamique tourbillonnaire de l’écoulement gazeux. Les rôles dans le développement de l’instabilité primaire de paramètres comme les nombres de Reynolds du gaz et du liquide, l’épaisseur de la plaque de séparation entrele liquide et le gaz ou la tension de surface sont étudiés en faisant varier chacun d’entre eux.

Les équations de Navier-Stokes incompressibles

Définition de la particule fluide

L’écoulement que l’on veut étudier est constitué de gaz et de liquide. Pour ces deux états thermodynamiques, la matière est constituée dans la majorité des cas de molécules identiques, avec plus ou moins de cohérence dans les liaisons intermoléculaires. La particularité de ces deux états est que le milieu matériel peut se déformer de façon importante sans perte de cohésion, il s’écoule en tendant à occuper le maximum de place. Nous ne ferons pas de distinction particulière entre un liquide et un gaz, et adapterons la définition plus générale de fluide. Ainsi, un fluide est un corps simple, composé d’une assemblée de molécules identiques, en phase liquide ou gazeuse.
Pour étudier l’écoulement d’un fluide, il se pose un problème d’échelle d’observation. En effet, à l’échelle microscopique, celle de l’atome, on ne peut ignorer les fortes fluctuations des propriétés physiques d’un fluide d’un point à l’autre de l’espace. Il en va de même pour les vitesses des molécules. Si on se place à une échelle supérieure, une approche macroscopique nous permet de considérer des volumes locaux d’étude contenant un très grand nombre de molécules, où l’ensemble des fonctions de l’écoulement évoluent lentement avec l’espace, elles sont moyennées sur un grand nombre de molécules. Les mouvements individuels des molécules sont ainsi ignorés pour plutôt s’intéresser au mouvement d’ensemble. La particule fluide se définie comme un élément de fluide dont le volume est suffisamment grand pour contenir un très grand nombre de molécules, et suffisamment petit devant les dimensions caractéristiques de l’écoulement. Lorsque le modèle de particule fluide est applicable, il est possible de décrire le fluide comme un milieu continu. On considère que la matière est continûmentrépartie, ce qui permet de définir une valeur locale pour les fonctions de l’écoulement. Nous considérerons que nous sommes toujours dans ce cas dans le reste de ce mémoire.

Les méthodes lagrangiennes

Marqueurs de volume

Dans le milieu des années 60, Harlow et Welsch [27] ont introduit pour la toute première fois une méthode capable de suivre dans le temps une interface, c’est la méthode MAC pour « Marker and Cells » . La méthode était limitée aux écoulements à surface libre, ce qui limite le champ d’investigation au mouvement d’une seule phase, le mouvement de la seconde étant considéré comme négligeable. Cependant, le concept était tout à fait novateur

Table des matières

Table des figures 
Introduction Générale
1 Motivations 
1.1 Combustion dans les moteurs aérospatiaux
1.2 Autres problèmes
1.3 Objectif de la thèse
2 État de l’art 
2.1 Désintégration « naturelle »
2.2 Désintégration assistée
3 L’outil numérique 
3.1 Pourquoi un tel outil ?
3.2 Quelques exemples sur les mécanismes de brisure
4 Plan du mémoire
Partie I Développement d’un solveur DNS pour des écoulements diphasiques à phases non miscibles
Chapitre 1
Le modèle physique
1.1 Les équations de Navier-Stokes incompressibles
1.1.1 Définition de la particule fluide
1.1.2 Conservation de la masse
1.1.3 Conservation de la quantité de mouvement
1.1.4 Hypothèses sur les fluides
1.2 Les conditions de saut pour une interface de type fluide/fluide
1.2.1 Concept d’interface
1.2.2 Capillarité
1.2.3 Conditions de saut pour une interface en mouvement
1.3 Modèle final
Chapitre 2
Les méthodes de suivi d’interfaces
2.1 Introduction
2.1.1 Critères de qualité
2.1.2 Les classes de méthodes
2.2 Les méthodes lagrangiennes
2.2.1 Marqueurs de volume
2.2.2 Marqueurs de front
2.2.3 Adaptation de maillage
2.3 Les méthodes eulériennes
2.3.1 Méthode VOF
2.3.2 Méthode Level-Set
2.4 Choix de la méthode
Chapitre 3
La méthode Level-Set
3.1 La fonction Level-Set
3.1.1 Définition
3.1.2 Équation de transport
3.1.3 Propriétés
3.2 Résolution numérique de l’équation de transport
3.2.1 Introduction
3.2.2 Maillage et discrétisation
3.2.3 Approche non conservative : schéma RK3/Weno5/n
3.2.4 Approche conservative : schéma Rk3/Weno5/c
3.3 Redistanciation
3.3.1 Problématique
3.3.2 Équation de redistanciation
3.3.3 Résolution numérique
3.3.4 Exemple de redistanciation
3.4 Cas tests académiques
3.4.1 Disque de Zalesak
3.4.2 Serpentin
3.5 Conservation de la masse
3.5.1 Redistanciation sous contrainte
3.5.2 Couplage avec une méthode VOF
3.5.3 Couplage avec une méthode de suivi de marqueurs
3.5.4 Choix de contour
Chapitre 4
Traitement des conditions de saut
4.1 Présentation du problème
4.1.1 Introduction
4.1.2 Problématique numérique
4.1.3 L’équation de Poisson
4.2 La méthode CSF
4.2.1 Principe
4.2.2 Application aux équations de Navier-Stokes avec la méthode Level-Set
4.3 La méthode « Ghost-Fluid »
4.3.1 Principe
4.3.2 Application à l’équation de Poisson avec la méthode Level-Set
Chapitre 5
Résolution des Équations de Navier-Stokes
5.1 Méthode de projection
5.1.1 Principe de la méthode
5.1.2 Choix de la méthode
5.1.3 Traitement numérique
5.2 Couplage avec les conditions de saut à l’interface
5.2.1 Calcul des propriétés géométriques de l’interface
5.2.2 Méthode CSF
5.2.3 Méthode Ghost Fluid
5.3 Conditions aux frontières du domaine
5.3.1 Condition de glissement
5.3.2 Condition de non glissement
5.3.3 Condition périodique
5.3.4 Condition entrante
5.3.5 Condition sortante
5.4 Tests numériques du solveur monophasique .
5.4.1 Translation de tourbillons
5.4.2 Couche de mélange
5.5 Solveur de Poisson MGCG
5.5.1 Problématique
5.5.2 Principe de la méthode MGCG
5.5.3 Mise en oeuvre
5.6 Parallélisation
Chapitre 6
Validation du solveur numérique
6.1 Bulle statique
6.2 Modes de vibration d’une goutte
6.3 Oscillation capillaire d’une onde de surface
6.4 Écoulement de Poiseuille diphasique
6.5 Instabilité de Rayleigh-Taylor
6.5.1 Cadre linéaire de l’instabilité
6.5.2 Cadre non linéaire de l’instabilité
Partie II Simulation de la désintégration assistée d’une nappe liquide par un courant gazeux
Chapitre 7
Instabilités longitudinales : simulations bidimensionnelles
7.1 Motivations
7.1.1 Configuration de la nappe liquide et simulation
7.1.2 Oscillation globale d’une nappe liquide
7.2 Mise en oeuvre des simulations
7.2.1 Préliminaires
7.2.2 Le profil de vitesse
7.2.3 Les paramètres physiques
7.3 Simulation référence : premières observations
7.3.1 Déstabilisation initiale de la nappe
7.3.2 Dynamique de l’écoulement en régime établi
7.3.3 Amplitude et fréquence de l’oscillation globale
7.4 Influence des paramètres amont
7.4.1 Les vitesses débitantes
7.4.2 L’épaisseur de la nappe
7.4.3 L’épaisseur de la couche limite gazeuse
7.4.4 Loi de comportement
Chapitre 8
Formation de ligaments : simulations tridimensionnelles
8.1 Simulations temporelles
8.1.1 Mise en oeuvre et motivations
8.1.2 Influence de l’écoulement gazeux
8.2 Une simulation spatiale
Conclusion et Perspectives 
Bibliographie 

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