Développement des matériaux composites à rigidité variable 

Développement des matériaux composites à rigidité variable 

Développement des matériaux composites à rigidité variable

Actuellement, les matériaux composites sont utilisés dans plusieurs domaines tels que les structures mécaniques, ferroviaires, navals, automobiles, aéronautiques et civiles, etc. Les matériaux composites sont utilisés grâce aux avantages opérationnels par rapport aux autre matériaux, ils montrent des excellentes caractéristiques mécanique et chimique, résistances à la fatigue et à la corrosion, une rigidité plus élevée, et le plus important, la légèreté des structures (un gain au niveau du poids), ce qui aurait un impact primordiale sur la consommation d’énergie pour des systèmes mobiles comme les avions et les navettes spatiales…). Ce type de matériaux apporte aussi une grande malléabilité au niveau de la conception et de la réalisation des formes géométriques complexes, capables à servir de nombreuses activités industrielles.
A partir de 1940, les matériaux composites en fibre de verre ont été utilisés dans les dômes des radars militaires pour être transparentes aux fréquences radio et dans les véhicules militaires comme les avions, les hélicoptères et les fusées.
La première voiture en composite a été réalisée et testée en 1947. Ce véhicule avait connu un succès qui a mené au développement de la Corvette 1953.
La première fibre de carbone a été brevetée en 1961, ces fibres de carbone ont amélioré la rigidité des pièces (grande légèreté avec une meilleure rigidité), ouvrant ainsi encore plus d’applications dans les domaines de l’aéronautique, l’automobile et les articles de sport. Le marché maritime a été le plus grand consommateur des matériaux composites dans les années soixante.
L’amélioration des résines a contribué à élargir le marché des matériaux composites aux applications à haute température et les applications corrosives. En 1978, le premier fuselage d’avion (Starship par Ashton) a été développé par l’enroulement filamentaire.
Au milieu des années quatre-vingt-dix, les matériaux composites ont remplacé les matériaux traditionnels tels que le métal et les thermoplastiques. Les concepteurs et les  ingénieurs industriels ont commencé à utiliser les matériaux composites thermodurcissables dans plusieurs domaines, comme les industries de transport et le génie civil…
En 2009, l’entreprise américaine Boeing a construit l’avion Boeing 787 Dreamliner avec 50% en matériaux composites. Ils ont utilisé les fibres de carbone sur le fuselage, ce qu’a permis d’éliminer 1500 feuilles d’aluminium, de réduire le nombre des rivets de 80% et de limiter le nombre des trous percés dans le fuselage à 10000. Les matériaux composites devaient aussi permettre une économie de 30% en coûts de la maintenance, en supprimant les problèmes d’oxydation et de réduire la consommation en carburant.
Actuellement, les matériaux composites sont très commercialisés dans le marché industriel. D’après l’analyse qui a été réalisé par l’institut de composites (SPI) (Brent-Strong 2006) sur le taux d’utilisation des matériaux composites dans l’industrie, le plus grand marché est le transport avec 31%, ensuite il y a la construction avec 19,7%, la marine 12,4% et l’équipement électrique et électronique à 9,9%.

Matériaux composites à rigidité variable

La possibilité de réaliser des matériaux composites stratifiés à rigidité variable est devenue nécessaire, surtout avec le développement industriel dans l’amélioration des propriétés mécaniques des stratifiés composites en faisant varier l’angle d’orientation des fibres, afin de renforcer les régions qui subissent une forte concentration de contrainte. Le composite starifié à rigidité variable (CSRV) a montré des avantages considérables dans la capacité de support de charge par rapport aux stratifiés composites traditionnels. Les travaux des chercheurs (Dinardo et Lagace 1989 ; Leissa et Martin 1989, 1990 ; Hyer et Charette 1991 ; Hyer et Lee 1991;
Waldhart 1996) sont arrivés à la conclusion qu’il est faisable d’améliorer les stratifiés composite en modifiant l’angle d’orientation des fibres. Gürdal et Olmedo, (1993a, 1993b) ont proposé une méthode de placement de fibres en modifiant l’angle d’orientation des fibres à travers les coordonnées de l’axe x (fibres curviligne).Ils ont analysé les réponses en plan et de flambage des panneaux composites à rigidité variable par l’utilisation des méthodes analytiques et numériques.
Gürdal et al. (2008a, 2008b, 2007) ont défini une forme arbitraire en changeant l’orientation des angles des fibres de façon linéaire entre deux points différents. Ils ont étudié l’effet des réponses dans le plan et de flambage des plaques CSRV en utilisant des méthodes expérimentales et analytiques. Ils ont conclu que ces plaques avaient des propriétés mécaniques  plus souhaitables que les plaques à rigidité conventionnelle. Afin de minimiser la déformation maximale et de maximiser la fréquence fondamentale de la plaque, Honda et Narita (2007, 2008) ont résolu les problèmes d’optimisation de la distribution des fibres courtes des plaques composites stratifiés à rigidité variable. Ils ont observé que les plaques composites stratifiées avec des fibres courtes à distribution optimale sont plus rigide que les plaques à rigidité constante.
Ces mêmes auteurs en 2012, ont développés une technologie de placement des fibres, qui a permet de contrôler la trace et l’endroit des fibres curvilignes dans chaque couche d’une plaque stratifiée. Les fonctions splines sont utilisées pour représenter des fibres de forme arbitraire. La méthode de Ritz est utilisée pour déterminer les fréquences naturelles et les modes propres des plaques composites à rigidité variable. Honda et al. (2008) ont proposé la méthode de Ritz pour étudier les vibrations libres d’une plaque stratifiée composite renforcée par des fibres de forme courbées. Ils ont déterminé les paramètres de fréquence et les modes propres des plaques à une seule couche avec des fibres paraboliques en flexion variable et les comparés avec les résultats obtenues à l’aide de la méthode des éléments finis. Finalement, Ils ont observé que les présentes plaques à des fibres variables ont donné des fréquences plus élevées que les plaques à des fibres constantes, pour une certaine gamme des coefficients géométriques des fibres. Akhavan et al. (2013) et Ribeiro et coéquipiers (2011, 2012a, 2012b, 2013) ont examiné la performance mécanique d’une plaque rectangulaire composite stratifiée à rigidité variable avec des fibres curvilignes. Les résultats obtenus sont comparés avec des plaques stratifiées composites à rigidité constante. Ils ont étudié les vibrations libres et forcées pour les cas linéaires et non linéaires, le problème du flambage, les grandes déflexions et les facteurs de sécurité. Ils ont utilisé la théorie du premier ordre de déformation de cisaillement (First order shear deformation theory (FSDT)) et la théorie du troisième ordre de déformation de cisaillement (Third order shear deformation theory « TSDT ») basées sur la méthode des éléments finis hiérarchiques. Ils ont conclu que les fréquences fondamentales des plaques (CSRV) présentent une différence significative par rapport à les plaques composites stratifiées à rigidité constante, ce qui permet d’éviter la forte concentration des contraintes en contrôlant le trajet des fibres à partir de la zone supportée dans la structure. Houmat, (2013) a étudié la vibration libre linéaire et non linéaire des plaques symétriques et antisymétriques rectangulaires « CSRV » avec des fibres curvilignes décalées. Il a résolu le problème en utilisant la théorie classique des plaques minces et la méthode des éléments finis hiérarchiques. Les résultats  montrent que le stratifié antisymétrique produit des fréquences linéaires et non linéaires fondamentales légèrement inférieures à celles des stratifiés symétriques.

Application de la méthode des éléments finis hiérarchiques pour un élément courbé

La méthode des éléments finis MEF est une méthode d’approximation numérique. Cette méthode est très largement utilisée dans de nombreux domaines ; mécanique des structures (solides), mécanique des fluides, analyse thermique, génie civil,….etc. La méthode des éléments finis est connue sous ces deux versions, la méthode classique (version-h) et la méthode hiérarchique (version-p). La version-h est le plus utilisée dans l’analyse des problèmes mécaniques des structures, dans laquelle la précision des résultats est obtenue par le raffinage du maillage en fixant les degrés p d’interpolation de l’élément, alors que, la convergence des solutions dans la version-p est achevée par l’enrichissement d’un seul élément en utilisant des fonctions de forme hiérarchiques.
Du point de vue historique, l’analyse par la méthode des éléments finis MEF a été développée en 1943 par R. Courant, qui a utilisé la méthode de Ritz et la minimisation des calculs variational pour obtenir des solutions approchées aux systèmes vibratoires. Avec le développement des ordinateurs que la MEF s’est développée, les travaux pionniers dans ce domaine sont ceux de Zienckiewiz et Argyris en 1960.
Les fondements théoriques de la version-p ont été établis dans un document publié par Babuska et al. (1981), où ils ont été montrés que, pour une grande classe de problèmes, le taux asymptotique de convergence de la version-p est au moins deux fois celle de la version h. Les résultats des calculs supplémentaires et des preuves de la convergence rapide de la version-p ont été présentés par Babuska et Szabo (1982).
Dans les applications pratiques de la conception de maillage et le choix des degrés des polynômes sont tous les deux importants. En fait, il est possible de réaliser des taux exponentiels de la convergence lorsque la version-p est utilisée en combinaison avec la conception de maillage adéquate. Ce point a été discuté du point de vue de l’ingénierie par Szabo (1986) et du point de vue théorique par Guo et Babuska (1986). La version p de la MEF a été appliquée à l’analyse des vibrations de plaques par Bardell (1991, 1992) et suivi par d’autres chercheurs Houmat (1997a, 1997b) ; Woo et al. (2003).
Au début, l’analyse des problèmes mécaniques en utilisant des solutions analytiques est faite généralement pour les cas des géométries régulières. Aujourd’hui, les besoins industriels  au niveau du développement de la forme des structures nécessitent des méthodes des résolutions numériques plus fiables et convenables, pour résoudre les problèmes mécaniques des géométries de forme complexe. La méthode des éléments finis hiérarchiques (version-p) est un outil puissant aux résolutions numériques de ces problèmes.
Il bien dit précédemment, que l’avantage de cette méthode dans la résolution est fondé sur l’augmentation des degrés p d’interpolation des fonctions des formes hiérarchiques et avec un seul élément ; ce qui permet de réduire l’erreur de la discrétisation en vue d’une meilleure représentation des bords courbés à l’aide d’utilisation de la méthode des fonctions de mélange (blending function method), ainsi qu’une correcte continuité des fibres droites et curvilignes des plaques composites stratifiées à rigidité constate et variables.
Les fonctions de mélange (blending) sont développées par Coons, (1964a, 1967). Il a observé ce qu’on appelle des patches bi-cubiques, définis en termes de quatre fonctions de mélange, sont adéquates pour la description des surfaces par une conception assistée par l’ordinateur. Gordon, (1971) a présenté les notions de la base d’une nouvelle classe de méthode pour le rapprochement des fonctions à plusieurs variables. Il a développé des formes complexes en conception assistée par l’ordinateur à l’aide des fonctions de mélange qui sont introduit par Coons. Szabo, (1991) ; Karalyfalvi, (1997) ; Dey, (1997) ont les premiers travaux qui ont utilisé les fonctions de mélange pour décrire la géométrie des surfaces arbitraires courbés basé sur l’application de la version-p de la méthode des éléments finis.
L’implémentation tridimensionnelle de la version-p pour des problèmes structuraux avec des surfaces solides arbitraires par l’application des fonctions de mélange, ont été fait par Düster et al. (2001). Houmat, (2006) a appliqué la version-p de la méthode des éléments finis fondé sur les fonctions de forme trigonométriques pour l’analyse de la vibration libre d’une membrane en forme arbitraire avec un élément quadrilatéral courbé. Belalia et Houmat (2010, 2012) ont développé un élément-p triangulaire courbé et appliqué à la vibration libre non-linéaire des plaques sectorielles elliptiques en matériau isotropes et matériau à gradient fonctionnel.
Guenanou et Houmat (2017) ont étudié la vibration libre des plaques composites stratifiées circulaires à rigidité variable en adoptant la version-p de la méthode des éléments finis basée sur la théorie du premier ordre. La géométrie de la plaque circulaire est définie exactement à l’aide d’un élément-p quadrilatéral courbé en utilisant les fonctions de mélange.

Analyse dynamique des plaques composites avec ouverture

Il existe pas mal des structures en matériaux isotropes ou composites, possédants des découpes ou des ouvertures de différentes formes et dimensions. La présence de ces ouvertures change les caractéristiques dynamiques de la structure. Par conséquent, il devient nécessaire et inévitable d’étudier l’effet de ces ouvertures sur la réponse vibratoire des structures pour éviter le bruit acoustique, la défaillance mécanique due à la résonance et la fatigue due aux vibrations prolongées en particulier dans les domaines spécifiques, comme aéronautique, aérospatiale et naval. L’étude de comportement vibratoire des plaques avec ouverture a été prise l’attention de nombreux chercheurs. Les travaux réalisés sur l’analyse de la vibration libre des plaques en isotropes et composites avec des ouvertures, sont résumés en utilisant des articles bien connus dans le même contexte.Les premières études traitées les problèmes des structures avec ouverture sont : Levy et al. (1947) ; Kumai (1952) ; Takahasi (1958) ; Joga-Rao et Pickett (1961) ; Schlack (1964) ; Kawai et Ohtsubo (1968) ; Fujita et al. (1970) ; Hegarty et Ariman (1975). Paramasivam (1973) a déterminé les fréquences fondamentales d’une plaque isotropes rectangulaire, ayant une ouverture carrée en utilisant la méthode des différences finies. Les résultats obtenus avec les conditions aux limites ; simplement appuyée et encastrée. Aksu et Ali (1976) ont développé une théorie pour étudier les caractéristiques dynamiques d’une plaque rectangulaire isotrope et orthotrope avec un ou deux ouvertures rectangulaires. Ils ont utilisé une méthode par la liaison du principe variationnel avec la méthode des différences finies.
Alors que Rajamani et Prabhakaran (1977a, 1977b) ont défini les fréquences fondamentales d’une plaque composite stratifiée symétrique ayant une ouverture rectangulaire située au centre avec différentes conditions aux limites dans les cas des vibrations libres et forcées. Ils ont conclu que la plaque avec l’ouverture est moindre rigide et les fréquences fondamentales influencée par l’angle d’orientation des fibres et la dimension de l’ouverture.
Ali et Atwal (1980) ont utilisé la méthode de Rayleigh pour l’analyse dynamique d’une plaque rectangulaire avec une ouverture rectangulaire. Les résultats calculés en faisant varier la dimension de l’ouverture et sont comparés avec les résultats obtenus par la solution de la méthode des éléments finis.

Composite stratifié à rigidité variable (CSRV)

Les développements actuelle aux nombreuses applications industrielles modernes tels que les domaines aéronautiques, aérospatiales, navals,… exigent des modifications ou une amélioration au niveau des matériaux utilisées pour obtenir une rigidité élevée, haute résistance et avec un faible poids. Les matériaux composites stratifiées à rigidité constante sont constitués des nombreux plis composites, chaque pli a des propriétés suivantes : l’épaisseur et l’angle d’orientation des fibres qui reste constante. Après le développement des matériaux composites à rigidité variable a été donnée la possibilité de varier la trajectoire des fibres au long du stratifié, qui sert à ajouter des propriétés plus élevées par rapport aux matériaux composites à rigidité constante. Le matériau CSRV a été vu des développements théoriques par de nombreux chercheurs, en vue d’identifier la performance de fibres à stratifié variable sur les structures.
Il existe deux approches principales pour la création des CSRV ; la variation de fraction volumique des fibres et la variation d’angles d’orientation des fibres dans un stratifié (fibre curviligne).
La première approches qui consiste à créer le CSRV, est fondée sur la variation de fraction volumique des fibres dans le stratifié, ayant des fibres droites parallèles et espacées.
Les fibres sont réparties de manière plus dense dans la zone centrale, où la rigidité élevée est nécessaire par rapport aux autres régions comme présenté dans la figure 2.10 (Houmat 2012).
Leissa et Martin (1990) ont montré à la base de cette approche que la charge de flambage et la fréquence fondamentale étaient, respectivement augmentées de 38 % et 21 % par rapport aux stratifiés avec de fibres uniforme.

Méthode da la fabrication des fibres curvilignes

Au début, la fabrication des composites stratifiés est fondée sur des méthodes manuelles. Ces méthodes sont utilisées dans la réalisation des fibres droites. La technique du placement de la bande est généralement plus efficace pour la fabrication des grandes plaques, mais l’utilisation de cette technique est limitée pour des composants à des géométries simples. Les techniques d’enroulement filamentaire a ses limites en termes de géométries structurelles, qui peuvent être produites et qui sont essentiellement limitées aux formes pratiquement cylindriques.
Le nouveau processus de placement automatique des fibres (Automated Fiber Placement, AFP) a ouvert le champ de la réalisation des fibres de forme curviligne. Ce processus a été considéré à la fin des années 1970 (Grant et Martin 2003). Les stratifiés à rigidité variable peuvent être fabriqués en utilisant la technologie de AFP. AFP est une machine robotisée à plusieurs axes de mouvement permettant de se déplacer dans toutes les directions de l’espace. Cette machine est contrôlée par un système de programmation hors-ligne (OLP) (Marouene 2015). AFP est capable de combiner le placement de la bande et les techniques d’enroulement filamentaire pour surmonter les limitations et exploiter les avantages des deux méthodes, ce qui est permet de fabriquer de grandes structures composites de forme complexe (Fayazbakhsh 2013). La figure 2.14 présente une modèle de machine AFP.

Table des matières

Introduction générale
Chapitre 1 : Analyse bibliographique 
1.1 Généralités 
1.2 Développement des matériaux composites à rigidité variable 
1.2.1 Bref historique sur les matériaux composites
1.2.2 Matériaux composites à rigidité variable
1.3 Application de la méthode des éléments finis hiérarchiques pour un élément courbé 
1.4 Analyse dynamique des plaques composites avec ouverture 
1.5 Objectif et motivation
Chapitre 2 : Généralité sur les matériaux composites à rigidité variable 
2.1 Introduction 
2.2 Procédés d’élaboration des composites 
2.2.1 Moulage au contact
2.2.2 Moulage par projection simultanée
2.2.3 Enroulement filamentaire
2.3 Types des structure en composites 
2.3.1 Structures composites sandwich
2.3.2 Structures composites stratifiées
2.4 Composite stratifié à rigidité variable (CSRV) 
2.4.1 Concept théorique des fibres curvilignes
2.4.2 Méthode da la fabrication des fibres curvilignes
Chapitre 3 : Théorie de plaques composites à rigidité variable
3.1 Introduction 
3.2 Equations cinématique des théories FSDT et HSDT C0
3.3 Relations déformation–déplacement 
3.4 Relations contrainte−déformation 
3.5 Variation parabolique de fibre
3.6 Energie de déformation et cinétique de la plaque composite à rigidité variable
Chapitre 4 : Application de la version p de la méthode des éléments finis à la modélisation de l’élément−? quadrilatérale courbé
4.1 Introduction 
4.2 Méthode des fonctions de mélange (blending)
4.3 Modélisation par la version p de la plaque avec ouverture circulaire 
4.3.1 Sélections des fonctions de forme
4.4 Formulation de l’élément-p quadrilatérale courbé
4.4.1 Energie de déformation
4.4.2 Energie cinétique
4.5 Equations du mouvement de vibration libre
Chapitre 5 : Elaboration d’un programme de calcul
5.1 Envirennement du programme de calcul
5.2 Schéma globale du programme de calcul
5.3 Etapes de fonctionnement du programme de calcul
5.3.1. Stockage des données générales
5.3.1.1 Paramètres géométriques
5.3.1.2 Paramètres physiques
5.3.1.3 Paramètres de la version-p de la méthode des éléments finis
5.3.2 Sous-programme des matrices élémentaires
5.3.3 Sous-programme des matrices globales
5.3.4 Sous-programme des conditions aux limites
5.3.5 Sous-programme de calcul des fréquences propres
Chapitre 6 : Validation et interprétation des résultats
6.1 Présentation des géométries
6.2 Convergence et validation
6.2.1 Plaque CSRC avec l’ouverture N°1 (carrée)
6.2.2 Plaque CSRC avec ouverture quelconque
6.2.2.1 Cas N°1 : Plaque CSRC avec l’ouverture N°3
6.2.2.2 Cas N°2 : Plaque CSRC avec l’ouverture N°4
6.2.3 Plaque CSRV sans ouverture
6.2.4 Plaque orthotrope sans ouverture
6.3 Résultats et interprétations
6.3.1 Plaque CSRC avec l’ouverture N°2
6.3.1.1 Cas N°1 : Plaque avec ouverture libre
6.3.1.2 Cas N°2 : Plaque avec ouverture encastrée
6.3.1.3 Cas N°3 : Plaque avec ouverture désaxée
6.3.2 Plaque CSRC avec l’ouverture N°5
6.3.3 Plaque CSRV avec l’ouverture N°2
6.3.3.1 Cas N°1 : une seule couche
6.3.3.2 Cas N°1 : Deux couches
6.3.4 Comparaison entre une plaque CSRV et une plaque CSRC
Conclusion générale et perspectives
Références bibliographiques

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