Soutenance mémoire
Télécharger le fichier pdf d’un mémoire de fin d’études
Formulation du lagrangien augment´
Une fa¸con g´en´erale d’´ecrire la forme faible d’un probl`eme de m´ecanique est de consi-d´erer la minimisation de la formulation du lagrangien augment´. Nous consid´erons le probl`eme de minimisation sous contrainte ci-dessous. Trouver u ∈ H tel que : ¯u 6 J v v H J(¯) (¯) ∀¯ ∈ (I.17)
Comparaison de diff´erentes formulations pour les fluides incompressibles
Avec la contrainte : H = {v ∈ S(Ω), g(v) = h} (I.18)
O`u S(Ω) est un espace de Hilbert et g est une fonction convexe. En utilisant les tech-niques classiques, nous introduisons un multiplicateur de Lagrange p ∈ G(Ω), o`u G(Ω) est un autre espace de Hilber, ce qui transforme le probl`eme d´efinie par les ´equations I.17, I.18 en un probl`eme sans contrainte : min J v p ( g vh d Ω (I.19) v (Ω) (¯) + (¯)− ) ¯ S Ω
Le multiplicateur de Lagrange p est une inconnue suppl´ementaire qui peut ˆetre obtenue en resolvant un probl`eme de point selle. Nous d´efinisons le lagrangien L : S(Ω)×G(Ω) → R par : v, p J v p g v h d L(¯ ) = (¯) + Ω ( (¯)− ) Ω (I.20)
Le lagrangien augment´ Lα pour α > 0 est d´efini par : v, p J v p g v h d α g v h 2 d v, p vΩ + 2 Lα(¯ ) = (¯) + Ω ( (¯)− ) Ω( (¯)− ) Ω=L(¯ ) + Pα(¯) (I.21)
Il peut ˆetre montr´e [GLO 84] que tout point selle de Lα est aussi un point selle de L et r´eciproquement. Cela est dˆu au fait que Pα(v) = 0 quand la contrainte g(v) = h est satisfaite. Il faut noter que pour p = 0 nous avons : v, 0) = J v v (I.22) Lα(¯ (¯) + Pα(¯)
Ce qui est la classique fonctionnelle p´enalis´ee associ´ee a` la contrainte g(v) = h. L’avan- v h d ¯ tage du lagrangien augment´ est que, du fait du terme Ω p (g(¯) − ) Ω, la solution exacte du probl`eme (Eq.I.17) peut ˆetre obtenue sans prendre une valeur infinie de α, au contraire de la m´ethode de p´enalisation classique qui conduit `a des probl`eme mal conditionn´es.
Simulation en d´eformation plane
Nous utilisons une formulation en d´eformation plane avec la g´eom´etrie illustr´ee par la figure I.3 pour r´ealiser les simulations num´eriques.
Premi`erement, nous examinons les r´esultats obtenus quand le terme de divergence (associ´e `a la matrice Kp dans l’´equation I.32) est int´egr´ comme le terme de vitesse (associ´e `a la matrice Kv dans l’´equation I.31) : ceci est ´equivalent `a l’utilisation d’une formulation com-pressible avec un coefficient de Poisson qui tend vers 0,5 (m´ethode de pseudo-p´enalisation). Sur la figure I.4 sont trac´ees les vitesses des bords int´erieur et ext´erieur. On peut voir que le calcul donne de tr`es bons r´esultats sur une faible plage de valeur de α. Les ”bonnes” valeurs de α sont proches de 20-30, ce qui donne un coefficient de Poisson proche de 0,48.
Les valeurs faibles du coefficient de pseudo-p´enalisation sont associ´ees `a une inflation maximum du cylindre,`a l’inverse les valeurs elev´ees correspondent au cas o`u la forme d´e-form´ee est superpos´ee au contour initial. C’est une manifestation du terme de divergence de la vitesse pour lequel la solution v = 0 partout dans le domaine est licite. Si aucune pr´e- caution n’est prise sur le nombre de points d’int´egration, le probl`eme de blocage apparaˆıt et la vitesse tend vers une valeur nulle.
Discussion sur la m´ethode de p´enalisation
Pour utiliser la m´ethode de p´enalisation il est n´ecessaire de d´efinir la valeur du coef-ficient de p´enalisation. Il serait avantageux d’avoir une plage de stabilit´e de la m´ethode ind´ependante de la d´efinition du probl`eme (g´eom´etrie et conditions aux limites) afin de toujours garder la mˆeme valeur de α.
Quand la m´ethode de p´enalisation est utilis´ee dans des simulations par el´ements fi-nis, on utilise une interpolation quadratique pour la vitesse et on augmente le nombre de points d’int´egration pour le terme de viscosit´e mais on sous int`egre le terme de p´enalisa-tion qui correspond `a la pression. En utilisant la mˆeme interpolation mais avec seulement un point d’int´egration pour le terme de p´enalisation et trois pour le terme de viscosit´e, la p´enalisation α augmente dans le cas de la pseudo-p´enalisation. comparaison avec la m´ethode pr´ec´edente montre un grand gain (voir la figure I.5). Pour les grandes valeurs de α, le ph´enom`ene de blocage observ´ pour la m´ethode de pseudo-p´enalisation est significativement r´eduit.
Dans cet exemple, 2n nœuds ont et´ utilis´es pour discr´etiser l’´epaisseur et le nombre de nœuds dans le quart de cercle est ajust´e pour obtenir une distribution de nœuds la plus r´eguli`ere possible. 2n nœuds pour 5 mm d’´epaisseur et 2n+2 nœuds pour un arc de cercle moyen de 12, 5π/2 ≈ 20 mm soit environ 2n nœuds pour 5 mm. On peut noter sur la figure I.5.b que l’erreur globale avec une telle discr´etisation reste elev´ee (environ 10% pour n = 2) pour les grandes valeurs de α. En utilisant plus de points, on r´eduit l’erreur et on montre ainsi la convergence de la m´ethode, mais cela augmente le temps de calcul. Un point reste inexplicable : la valeur optimum de α (minimum de l’erreur) n’est pas obtenue sur la plage des valeurs stables de α (i.e. sur la plage [105, 1012]).
Discussion sur la formulation mixte
La formulation mixte donne de meilleurs r´esultats que la m´ethode de p´enalisation mais avec un coˆut de calcul plus elev´e, `a cause d’un d.d.l. suppl´ementaire : la pression. La figure I.6 montre qu’utiliser les mˆemes fonctions de forme pour la pression (associ´ee a` la matrice G dans l’´equation I.33) et pour la vitesse (associ´ee a` la matrice Kv dans l’´equation I.31) donne de bons r´esultats. Plus la discr´etisation est elev´ee, plus l’erreur est faible. La pente de la convergence est d’environ -1 en ´echelle logarithmique.
Nous pouvons aussi essayer une fonction de forme constante pour l’interpolation de la pression (associ´ee a` la matrice G dans l’´equation I.33) autour d’un nœud. De cette fa¸con les conditions de simulation sont proches de la condition de LBB. La figure I.6 montre que les r´esultats sont meilleurs.
Dans notre cas la solution analytique du probl`eme indique que le terme de pression hydrostatique doit ˆetre uniforme et ´egal `a -0,8 MPa. Si le champ de vitesse est correctement repr´esent´e, la formulation mixte g´en`ere des irr´egularit´es dans la distribution de pression. Si l’on trace la distribution de pression (voir la figure I.7 pour le cas n = 4) dans les deux cas, on constate que l’erreur la plus faible est associ´ee a` la distribution de pression la plus uniforme. Dans le cas pr´esent la formulation mixte donne de meilleur r´esultats que la m´ethode de p´enalisation, mais le coˆut de calcul associ´e est beaucoup plus elev´.
Essais de traction interrompus
Les essais de traction ont ´et´e r´ealis´es sur une machine hydraulique MTS ´equip´ee d’un four r´egul´e en temp´erature. Le PET utilis´e est le PET Arnite D00301 fourni par DSM. L’interruption de l’essai se fait par un jet direct d’azote liquide (Fig.II.2).
Protocole exp´erimental
Les ´eprouvettes sont tout d’abord inject´ees (voir tableau II.1) avec une section de 4 mm par 10 mm apr´es un s´echage en ´etuve. Elles sont ensuite usin´ees afin d’avoir une ´epais- d’enlever la partie de la mati`ere qui ´etait en contact avec le moule, celle-ci ayant subi un fort taux de cisaillement. De plus la faible ´epaisseur des ´eprouvettes permet un chauffage rapide du ma ´eriau. La petite taille des ´eprouvettes permet d’obtenir des ´elongations qui atteignent la valeur de 4 en fin d’essai.
Apr`es l’´etape de pr´eparation, les ´eprouvettes sont quasiment amorphes, le taux de cristallinit´e est inf´erieur `a 5% (mesure par densitom´etrie). Les essais sont r´ealis´es `a l’int ´erieur d’un four clos, il est impossible de prendre la mesure de la d´eformation pendant l’essai. Afin de connaˆıtre la d´eformation r´eelle subie par le mat´eriau, nous avons r´ealis´e un marquage des ´eprouvettes. Un point (entre 1 et 2 mm de diam`etre) est dessin´e au centre de l’´eprouvette. Il est photographi´e avant et apr`es l’essai (Fig.II.3), la comparaison des L’essai commence par la mise en place de l’´eprouvette dans la machine. Elle est ensuite chauff´ee pendant 8 minutes (avec une consigne de chauffe de 90◦C). ´ Etant donn´e la faible ´epaisseur des ´eprouvettes ce temps de chauffage permet d’avoir une temp´erature uniforme dans l’´eprouvette. `Ala fin de la chauffe, la traction est effectu´ee `a vitesse de traverse constante. Nous avons test´e trois vitesses diff´erentes 10 mm.s−1, 33 mm.s−1 et 66 mm.s−1, soit des vitesses de d´eformation initiales de 0,33 s−1, 1,11 s−1 et 2,22 s−1. Les essais sont interrompus `a diff´erentes valeurs d’´elongation. Lorsque la traverse est stopp´ee, l’´eprouvette est maintenue en place et refroidie par un jet d’azote liquide, ainsi la microstructure se fige instantan´ement. La mesure de cristallinit´e se fait par densitom´etrie [CHE 99]. Dans notre l’optimisation des proc´ed´es ´etude, nous incluons dans le taux de cristallinit´e la part de PET effectivement cristallis´e mais aussi la part densifi´ee et orient´ee du PET (m´esophase). Dans la suite, nous supposons le PET comme biphasique : phase amorphe et phase cristalline. Seule la partie centrale de l’´eprouvette est utilis´ee pour la mesure de densit´e. Le taux de cristallinit´e se calcule de la fa¸con suivante : ρ = ρeau P1 P1 − P2 (II.1)
Essai de traction 1D
Nous avons r´ealis´e des simulations 1D de l’essai de traction, les r´esultats sont report´es sur la figure II.8. Le mod`ele propos´e reproduit les r´esultats exp´erimentaux donn´es dans [CHE 06] pour des vitesses de d´eformations initiales de 0.33 s−1, 1.11 s−1 et 2.22 s−1 et des temp´eratures allant de 80◦C `a 105◦C.
Lors de simulations de proc´ed´es de fabrication comme le soufflage, le mod`ele propos´e temp´erature. permet de connaˆıtre l’´etat de la microstructure (orientation et taux de cristallinit´e) `a tout instant, plus particuli`erement `a la fin du soufflage. Cette connaissance de la microstructure va nous permettre, `a l’aide des outils de la microm´ecanique, de pr´edire le comportement ´elastique de la bouteille `a temp´erature ambiante. La mod´elisation du comportement m´ecanique du PET par un mod`ele viscoplastique est suffisante pour le proc´ed´e d’´etirage soufflage. Effectivement nous avons un chargement monotone du mat´eriau. Mais si l’on souhaite simuler, par exemple, des essais cycliques la mod´elisation visqueuse n’est plus adapt´ee. La prise en compte de l’´elasticit´e est n´ecessaire pour reproduire le retour constat´e lors d’un arrˆet brutal de soufflage. Dans ce cas un mod`ele visco´elastique est plus adapt´e.
Nous proposons une version visco´elastique dans les perspectives `a ce travail. Dans les chapitres pr´ec´edents a ´et´e pr´esent´ee, dans un cadre th´eorique, la m´ethode num´erique C-NEM, avec laquelle nous sommes capables de r´ealiser des simulations en grandes transformations. Nous venons de proposer une mod´elisation du comportement m´ecanique du PET `a des temp´eratures l´eg`erement sup´erieures `a Tg. Ce travail permet d’aborder de fa¸con propre les aspects, plus applicatifs, qui vont suivre. Tout d’abord la m´ethode des C-NEM est utilis´ee pour valider les mod´elisations propos´ees, en simulant les essais de traction. Puis nous proposons des piste pour l’optimisation du proc´ed´e d’´etiragesoufflage.
Simulation des essais de traction
Dans ce paragraphe nous faisons une validation de la m´ethode d’identification du mod`ele en comparant les r´esultats donn´es par les relations quasi analytiques (o`u l’on suppose que les ´etats de d´eformation et de contrainte sont homog`enes dans l’´eprouvette) avec les simulations num´eriques 2D (avec hypoth`ese des contraintes planes) des essais de traction avec prise en compte de conditions aux limites plus r´ealistes (´eprouvettes bloqu´ees dans les mors).
R´esultats sur l’identification
L’identification du mod`ele, sur les essais de traction uniaxiale, avait ´et´e faite en supposant l’uniformit´e de la d´eformation et des contraintes dans toute l’´eprouvette. Nous avons v´erifi´e la validit´e de cette hypoth`ese, en simulant les essais de traction avec des conditions aux limites plus r´ealistes : les noeuds o`u la vitesse de la traverse est impos´ee suivant la direction Y sont pinc´es et le d´eplacement suivant la direction X est interdit (Fig.II.11).
Les r´esultats des simulations sont compar´es avec le mod`ele pour une temp´erature de 90◦C et des vitesses de traction de 15 mm.s−1 et 100 mm.s−1. Sur la figure II.12, on peut voir la contrainte de Cauchy, en fonction de la d´eformation logarithmique, d’une simulation de traction uniaxiale r´ealis´ee pour des vitesses de traction impos´ees au bord de 15 mm.s−1 et 100 mm.s−1, ainsi que le r´esultat donn´e par Chevalier et al. [CHE 06] dans les mˆemes conditions. Sur le mˆeme graphique on observe l’´ecart (en %) entre la simulation r´ealiste et le mod`ele homog`ene. L’´ecart est compris entre 2,5% et 5%. Les r´esultats de la figure II.12 sont obtenus pour un d´ecoupage de l’intervalle de temps en 500. De plus, on voit que l’´ecart entre la simulation et le mod`ele homog`ene est le mˆeme quelque soit la vitesse de traction(pour une mˆeme discr´etisation de l’intervalle de temps).
Mod´elisation microm´ecanique
Bien que les d´eformations des bouteilles en services puissent atteindre 4 `a 5% avant d´eformation permanente, nous allons homog´en´eiser les propri´et´es m´ecaniques du PET, dans le cadre de l’´elasticit´e lin´eaire en petite perturbation. Le PET est un polym`ere semicristallin, il est donc compos´e d’une phase amorphe et d’une phase cristalline. Le taux de cristallinit´e du PET varie suivant les conditions d’obtention du mat´eriau. La cristallisation du PET peut se produire de deux fa¸cons : thermiquement ou induite par une sollicitation.
La premi`ere donne un PET semi-cristallin qui a un comportement m´ecanique isotrope. En revanche, la seconde donne une forte orientation au comportement global du PET. L’objet de cette partie est de d´eterminer les propri´et´es m´ecaniques effectives du PET : dans le cas d’une cristallisation thermique, avec l’utilisation des mod`eles ”classiques” et isotrope, puis dans le cas de la cristalisation induite, avec un mod`ele qui prend en compte l’anisotropie du PET ´etir´e. Le comportement effectif du mat´eriau sera d´eduit du comportement de ses phases constituantes : amorphe et cristalline. Pour cela, nous allons utiliser diff´erentes m´ethodes d’homog´en´eisation.
Mod´elisation microm´ecanique
Avant d’appliquer tel ou tel sch´ema, il y a deux ´etapes pr´eliminaires `a effectuer.
Etape de repr´esentation
La premi`ere ´etape est une ´etape de repr´esentation : elle consiste `a d´eterminer la nature des constituants homog`enes du milieu h´et´erog`ene. Dans notre cas, les constituants homog`enes seront la phase amorphe et la phase cristalline. Dans ce qui va suivre nous ne nous int´eresserons donc pas aux h´et´erog´en´eit´es li´ees aux macromol´ecules ou tout autre d´etail encore plus fin. A l’´echelle d’observation o`u nous sommes, les cristallites et le PET amorphe seront consid´er´es comme homog`enes.
Apr`es avoir d´etermin´e la nature des constituants du m´elange macro-homog`ene, il faut connaˆıtre leurs propri´et´es physico-m´ecaniques, comme par exemple, leur tenseur de rigidit ´e. En plus de ces propri´et´es intrins`eques, il faut d´efinir leurs caract´eristiques g´eom ´etriques ainsi que leur disposition les uns par rapport aux autres. Pour le PET, on pourra consid´erer la phase amorphe comme une matrice et la phase cristalline comme des inclusions noy´ees dans cette matrice. Suivant la m´ethode d’homog´en´eisation utilis´ee, les inclusions cristallines pourront avoir une forme de sph´ero¨ıde (cas de la cristallisation thermique), d’ellipso¨ıde, ou encore de cylindre (cas de la cristallisation d’origine m´ecanique).
Enfin, il est n´ecessaire de d´eterminer la nature de l’interface entre la phase amorphe et la phase cristalline. Dans une premi`ere approche, nous consid´erons cette interface comme parfaite. Nous ne tenons pas compte de la m´esophase.
Etape de localisation
La seconde ´etape pr´eliminaire `a l’homog´en´eisation est une ´etape dite de localisation. Cette ´etape consiste `a d´eterminer les champs microscopiques (d´eformation, contrainte, …) en fonction des champs macroscopiques appliqu´es au mat´eriau homog´en´eis´e. Il faut aussi choisir une m´ethode de localisation, en fonction des conditions aux limites du probl` eme (savoir s’il s’agit d’un probl`eme p´eriodique ou al´eatoire). Le PET semble avoir une microstructure al´eatoire. Dans le cas de la cristallisation thermique, le d´eveloppement des cristaux et leur orientation se font de mani`ere al´eatoire suivant une loi de distribution sph´erique et uniforme (il n’y a pas de direction privil´egi´ee). Ce qui donne au PET, du point de vue macroscopique, un comportement m´ecanique isotrope. En comparaison, le PET `a cristallisation induite (sous contrainte) pr´esente une r´epartition des cristaux beaucoup plus complexe qui d´epend de nombreux facteurs (direction et vitesse de sollicitation).
Etape d’homog´en´eisation
Apr`es avoir effectu´e les deux premi`eres ´etapes de repr´esentation et de localisation, nous pouvons appliquer un sch´ema d’homog´en´eisation. Pour cela, il faut savoir quelle op´eration de moyenne r´ealiser afin de parvenir au comportement global souhait´e, avec une sˆuret´e depr´evision maˆıtris´ee. L’homog´en´eisation peut ˆetre pratiqu´ee soit pour avoir une estimation du comportement effectif (bas´ee sur des approximations de la solution r´eelle du probl`eme) soit pour en avoir un encadrement.
Homog´en´eisation en ´elasticit´e lin´eaire isotrope
Dans le contexte de l’´elasticit´e lin´eaire, nous pouvons utiliser les outils analytiques de l’homog´en´eisation. Les calculs multi-´echelles dans le cadre de l’´elasticit´e non lin´eaire ou mˆeme de la visco´elasticit´e ne sont possibles que num´eriquement, ou analytiquement mais avec l’utilisation d’un grand nombre d’hypoth`eses, se sont des th`emes de recherche `a eux seuls. Pour le comportement du PET `a une temp´erature sup´erieure `a Tg, nous avons utilis´e des mod`eles macroscopiques qui nous donnent une information de la microstructure en fin de soufflage. Cette information nous permettra de pr´evoir les propri´et´es ´elastiques du PET `a une temp´erature inf´erieure `a Tg. Notre ´etude d’homog´en´eisation se limite donc aux propri´et´es ´elastiques du PET, dans le cas o`u le mat´eriau se trouve `a une temp´erature inf´erieure `a sa temp´erature de transition vitreuse. Dans la suite, apr`es avoir pass´e en revue les diff´erentes m´ethode d’homog´en´eisation, nous testons leur aptitude `a reproduire le comportement du PET. σ¯¯ (x ¯ ) et ε ¯¯ (x ¯ ) correspondent aux tenseurs des contraintes locales et de d´eformation locale en un point x ¯ du domaine. Nous avons : ¯¯ = σ¯¯ V et E ¯¯ = ε¯¯ V o`u ¯¯ et E ¯¯ sont les moyennes deσ¯¯ (x ¯ ) et ε ¯¯ (x ¯ ) sur le volume V . Le volume V correspond au volume ´el´ementaire repr´esentatif (VER), c’est-`a-dire le volume minimum `a partir duquel on peut consid´erer le m´elange comme macro-homog`ene. Dans V , ¯¯ et E ¯¯ sont homog`enes.
|
Table des matières
Chapitre I M´ethode num´erique pour les grandes transformations
I.1 Introduction
I.2 M´ethode des ´el´ements naturels
I.2.1 Diagramme de Vorono¨ı et voisins naturels
I.2.2 Construction des fonctions de forme NEM et propri´et´es
I.3 Comparaison de diff´erentes formulations pour les fluides incompressibles
I.3.1 Formulation du lagrangien augment´e
I.3.2 Discr´etisation de la formule du lagrangien augment´e
I.3.3 Deux cas particuliers : la formulation mixte et la m´ethode de p´enalisation
I.4 Exemple : expansion d’un cylindre creux
I.4.1 Simulation en d´eformation plane
I.4.2 Formulation axisym´etrique
I.5 Approximation b-NEM
I.5.1 Bases th´eoriques
I.5.2 Exemple : tube sous pression
I.6 Soufflage libre d’une pr´eforme
I.6.1 ´ Evolution temporelle du rayon
I.6.2 Simulation du soufflage libre
I.7 Conclusion partielle
Chapitre II Identification du comportement par un mod`ele viscoplastique et application `a l’optimisation des proc´ed´es
II.1 Introduction
II.2 Essais de traction interrompus
II.2.1 Protocole exp´erimental
II.2.2 R´esultats exp´erimentaux
II.3 Mod´elisation viscoplastique
II.3.1 Essai de traction 1D
II.4 Simulation des essais de traction
II.4.1 Validation du mod`ele
II.5 Simulation du soufflage libre
II.5.1 Soufflage de pr´eformes : mod`ele visqueux
II.6 Simulation compl`ete du proc´ed´e
II.6.1 R´esultat : bouteille de 2 L et 0.33 L
II.7 Conclusion partielle
Chapitre III D´etermination des propri´et´es induites par homog´en´eisation microm´ecanique
III.1 Introduction
III.2 Mod´elisation microm´ecanique
III.2.1 ´ Etape de repr´esentation
III.2.2 ´ Etape de localisation
III.2.3 ´ Etape d’homog´en´eisation
III.3 Homog´en´eisation en ´elasticit´e lin´eaire isotrope
III.3.1 Passage du micro au macro et inversement
III.3.2 Lemme de Hill ou condition de Hill-Mandel
III.3.3 Th´eorie des modules effectifs
III.3.4 Homog´en´eisation des milieux al´eatoires
III.4 R´esultats
III.4.1 Donn´ees exp´erimentales
III.4.2 Calcul des bornes
III.4.3 Mod`ele auto-coh´erent (agr´egat)
III.4.4 Hypoth`ese sur l’´evolution de la microstructure
III.4.5 Mod`eles avec microstructure en lamelle cristalline
III.4.6 Mod`eles avec microstructure multicouche biphas´ee
III.4.7 Probl`eme de dispersion sur les valeurs exp´erimentales
III.5 Mod`ele isotrope transverse
III.5.1 Densit´e de r´epartition
III.5.2 Influence du facteur de forme
III.6 Application `a la conception de bouteilles
III.7 Conclusion partielle
Chapitre IV Conclusions et Perspectives
IV.1 Conclusions
IV.2 Perspectives
IV.2.1 Vers une mod´elisation plus fine (visco´elastique)
IV.2.2 Homog´en´eisation de la viscosit´e
IV.2.3 Vers un design 3D
Bibliographie
Télécharger le rapport complet
