Détection statistique de défaillances

Formalisation du problème de la détection de points de changement

L’analyse des points de changement, ou change-point analysis, dans un processus stochastique est une problématique importante et répandue dans plusieurs domaines statistiques. Elle est également connue sous les dénominations : segmentation, changement de structure/de régime, etc. Ce chapitre est dédié au problème de la détection de points de changement dans une série temporelle collectée séquentiellement ou non. L’hypothèse de base de cette problématique est que les propriétés statistiques du processus sont différentes avant et après l’instant du point de changement, ce qui se traduit par une modification dans la distribution des données observées. Le changement soudain dans la dynamique de la séquence d’observations peut concerner par exemple la moyenne, la variance, ou d’autres statistiques, et signale la plupart du temps un changement d’état du système observé. Il est à noter que nous allons principalement considérer le problème de la détection d’un seul point de changement dans ce chapitre. En effet dans un contexte séquentiel (décision dès l’arrivée d’une nouvelle donnée), le détecteur pourra être réinitialisé après chaque nouvelle détection. Killick et al. (2012) ont proposé une plateforme qui regroupe de nombreuses publications et logiciels liés à ce type de problème (Martin et Doncarli, 1998) .

Dans le contexte de données collectées séquentiellement, l’objectif est de détecter tout changement le plus tôt possible (faible délai de détection) tout en garantissant un minimum de fausse détection (faible taux de fausses alarmes). Plusieurs articles et ouvrages sont consacrés à ce sujet (Isermann, 1984; Basseville, 1988; Basseville et Nikiforov, 1993; Lai, 1995; Basseville et Cordier, 1996; Lai, 2001) dont un nouvel ouvrage qui sera prochainement publié par Tartakovsky et al. (Livre en préparation). On peut également citer les articles de Tartakovsky et Moustakides (2010) et Polunchenko et Tartakovsky (2012) qui dressent eux aussi un état de l’art des méthodes de détection séquentielle de points de changement.

Quelques généralités sur les tests d’hypothèses

A chaque instant t, on suppose qu’un vecteur x ∈ Rd est observé, les coordonnées de ce vecteur pouvant être une vitesse, des coordonnées GPS, une mesure de pression,… Ce vecteur est considéré comme la réalisation d’une variable aléatoire X. En outre, on suppose que x est distribuée suivant une loi Pθ, où θ ∈ Θ est un vecteur paramètre identifiable 1 . On suppose également que la loi (ou distribution) Pθ admet une densité de probabilité, une espérance théorique et une variance, notées respectivement p(x; θ), E(x; θ) et Var(x; θ).

Détection séquentielle de changements sous forme de test d’hypothèses

La détection séquentielle suppose qu’on observe une séquence (ou suite) de données x1, . . . , xt. Supposons que les observations x1, . . . , xtc−1 suivent la distribution Pθ0 et que xtc , . . . , xt suivent la distribution Pθ1 . On appelle tc, le temps de changement (ou instant de rupture) à partir duquel la loi des observations change de Pθ0 à Pθ1 . Il est souvent raisonnable de supposer que le processus est stationnaire avant et après tc (Davis et Franke, 2008). D’autre part, dans nos travaux, les données sont supposées indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) avant et après changement. Il est toutefois possible d’adapter les détecteurs à des données dépendantes (Lai, 1998).

Détection hors-ligne : A partir d’une base de mesures collectées x1, . . . , xt de taille finie, on cherche à détecter un changement brusque. L’objectif est donc de construire un test dont la sortie sera l’hypothèse H0 ou H1 , en s’appuyant sur l’ensemble des mesures :

δ(x1, . . . , xt) ∈ {H0, H1} .

Algorithmes classiques de détection à base de test d’hypothèses

Cette section a pour objet de passer en revue les principales méthodes de détection séquentielle basées sur un test d’hypothèses et leurs garanties d’optimalité. La plupart de ces méthodes ont été examinées par Basseville et Nikiforov (1993), par Lai (2001), et on s’appuie également sur les travaux de Fillatre (2011). Récemment, des états de l’art ont été dressés sur ce type de problèmes et méthodes par Polunchenko et Tartakovsky (2012), et dans un contexte bayésien par Tartakovsky et Moustakides (2010).

Quelques tests pour le problème de détection séquentielle

On se place dans le cadre d’un test binaire, afin de choisir une décision entre une hypothèse de changement H1 au temps tc, et une hypothèse sans changement H0. Lorsque l’hypothèse H1 est acceptée, les méthodes de détection signalent usuellement l’instant de rupture tc à partir de la règle d’arrêt suivante :

ta = inf (t > 1 : gt > h)

Contrainte de fausses alarmes et estimation du seuil de détection

En détection séquentielle, on cherche à proposer des méthodes qui détectent un changement le plus rapidement possible. Toutefois si le détecteur est spécifié avec une trop forte sensibilité, la procédure donne lieu à de fréquentes fausses alarmes, sous l’hypothèse H0. A l’inverse, réduire au minimum le taux de fausses alarmes conduit la procédure à augmenter le délai avant détection voire à ne détecter aucun événement. L’objectif est donc de développer des tests qui réalisent un compromis entre ces deux extrêmes et ainsi, minimisent le délai moyen de détection sous une contrainte liée au taux de fausses alarmes (TFA) (Tartakovsky et Moustakides, 2010).

Historiquement, la mesure standard liée à la fréquence des fausses alarmes est l’ARL, introduite dans la définition 3.1. Cette mesure correspond à la durée moyenne entre deux fausses alarmes. Dans cette sous-section, on met en évidence un lien entre la fonction d’ARL et le taux théorique de fausses alarmes pour un détecteur. La relation présentée est reprise de Verdier (2007, chapitre 3) dont les travaux portent sur une procédure de type CUSUM  avec seuil adaptatif appliqué à des données dépendantes. Ce lien est important car il nous permet d’étendre les propriétés d’optimalité obtenues avec une contrainte sur l’ARL, à une contrainte sur le taux de fausses alarmes.

Table des matières

1 Introduction
1.1 Introduction générale
1.1.1 Contexte et problématique
1.1.2 Positionnement et objectifs de la thèse
1.1.3 Organisation du manuscrit
1.2 Contexte et enjeux industriels
1.2.1 Collaboration industrielle
1.2.2 Projet européen EBSF
1.3 Cadre expérimental
1.3.1 Étude et objectifs
1.3.2 Architecture télématique et instrumentation
1.3.3 Spécification des données
1.3.4 Agrégation des connaissances réelles d’exploitation
1.4 Étude bibliographique
1.4.2 Système des portes
1.5 Conclusion
2 Méthodes de diagnostic par reconnaissance des formes intégrées aux processus de maintenance
2.1 Introduction
2.1.1 Stratégies de maintenance
2.1.2 Principales approches de diagnostic de systèmes industriels
2.2 Diagnostic à base de reconnaissance des formes
2.2.1 Démarche générique
2.2.2 Apprentissage statistique
2.2.3 Les modèles de mélange de lois et leur estimation
2.3 Diagnostic à partir de données fonctionnelles
2.3.1 Classification de données fonctionnelles
2.3.2 Modèle de mélange de régressions pour la modélisation de courbes à changement de régimes
2.3.3 Cas d’étude réel
2.4 Conclusion
3 Détection statistique de défaillances
3.1 Formalisation du problème de la détection de points de changement
3.1.1 Quelques généralités sur les tests d’hypothèses
3.1.2 Détection séquentielle de changements sous forme de test d’hypothèses
3.2 Algorithmes classiques de détection à base de test d’hypothèses
3.2.1 Quelques tests pour le problème de détection séquentielle
3.2.2 Résultats classiques d’optimalité d’un détecteur
3.2.3 Contrainte de fausses alarmes et estimation du seuil de détection
3.2.4 Évaluation d’un détecteur
3.3 Cartes de contrôle et autres tests séquentiels
3.3.1 Principales cartes de contrôle multivariées
3.3.2 Quelques extensions à base de test séquentiel
3.4 Détection à base de reconnaissance des formes
3.4.1 Détection d’anomalies et classification mono-classe
3.4.2 Détection de changements dans des modèles markoviens
3.4.3 Détection de changements par la sélection de modèles
3.4.4 Détection de changements dans une séquence de données fonctionnelles
3.5 Conclusion
4 Détection d’anomalies à l’aide d’un modèle physique sur un système de freinage
4.1 Introduction
4.1.1 Différents systèmes de freinage
4.1.2 Description du système de freinage étudié
4.1.3 Démarche des travaux scientifiques
4.2 Modélisation dynamique du véhicule et des freins
4.2.1 Modélisation longitudinale du bus
4.2.2 Estimation de la pente
4.2.3 Représentation du fonctionnement normal du système de freinage
4.3 Stratégie séquentielle de détection d’anomalies
4.3.1 Description globale
4.3.2 Détection de défauts
4.4 Expérimentations sur données réelles
4.4.1 Acquisition des données de fonctionnement
4.4.2 Description des données réelles collectées
4.4.3 Dégradations simulées du système de freinage
4.4.4 Résultats expérimentaux et estimation du seuil de détection
4.5 Conclusion
5 Conclusion

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