Description polydisperse des écoulements à bulles

Modélisation moyennée des écoulements dispersés

Les écoulements à bulles font partie de la famille des écoulements diphasiques à phase dispersée, c’està-dire des écoulements composés d’une phase continue, ou phase porteuse, dans laquelle évoluent des éléments discrets (gouttes, bulles ou particules solides), l’ensemble formé par les deux phases étant appelé suspension. La modélisation moyennée d’un tel milieu peut être envisagée de deux façons.

La première est de modéliser le milieu diphasique avec un modèle moyenné général, le modèle le plus communément utilisé étant sans aucun doute le modèle à deux fluides (Ishii, 1975 ; Nigmatulin, 1991 ; Drew et Passman, 1999). Dans ce type de modèle, toute l’information concernant la topologie des interfaces est perdue et doit être prise en compte par l’intermédiaire de modèles de fermeture. En fonction des lois de fermetures choisies, le modèle à deux fluides va donc pouvoir décrire une large gamme d’écoulements diphasiques : les écoulements à bulles bien sûr, mais aussi les écoulements à phases séparées ou tout autre configuration d’écoulement intermédiaire. Par rapport à la multitude des types d’écoulements diphasiques, les écoulements à phase dispersée présentent cependant la particularité d’avoir une topologie des interfaces simple et connue à l’avance si toutes les inclusions ont et gardent une forme similaire (p. ex. sphérique). Cette particularité permet de traiter la population d’inclusions avec une approche statistique analogue à la théorie cinétique des gaz : les molécules d’un gaz agitées thermiquement sont alors remplacées par des inclusions entourées d’un fluide. L’utilisation d’une telle approche pour traiter la phase dispersée est largement abordée dans la littérature ; sans être exhaustif, on peut ainsi citer les travaux de Buyevich (1971), Achard (1978), Reeks (1980), Derevich et Zaichik (1990), Lhuillier (1992), Zhang et Prosperetti (1994a,b) et Simonin (1996). Si l’approche particulaire, ou approche particulaire, permet de réduire le nombre de degrés de liberté du système, elle ne peut malheureusement être appliquée qu’à la phase dispersée, la phase porteuse ne pouvant être traitée qu’avec le modèle à deux fluides.

Modélisation moyennée d’un milieu diphasique : le modèle à deux fluides

Penchons-nous tout d’abord sur l’écriture du modèle à deux fluides. Dans le formalisme de ce modèle, le milieu diphasique est vu comme la superposition de deux fluides continus, coexistants et s’interpénétrant, un système de trois équations de bilan moyennées (masse, quantité de mouvement et énergie) étant résolu pour chaque phase.

L’obtention des équations du modèle à deux fluides est basée sur la combinaison de trois « ingrédients » :
a) les équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie valables dans chaque phase ainsi que des conditions de saut aux interfaces ;
b) une fonction indicatrice de phase χk associée à la phase k ;
c) un opérateur de moyenne d’ensemble.

Avant de passer à la présentation des équations du modèle à deux fluides, nous détaillerons en premier lieu en quoi consistent ces trois « ingrédients ».

Équations locales instantanées 

Ce paragraphe présente les équations locales instantanées d’un milieu diphasique, c’est-à-dire les équations de bilan valables en tout point et à tout instant à l’intérieur de chacune des deux phases ainsi que les équations de saut valables sur les interfaces séparant les deux phases. La dérivation générale de ces équations peut être trouvée dans un grand nombre d’ouvrages et ne sera que brièvement présentée ici ; citons par exemple les travaux de Delhaye (1974, 1981), Drew et Passman (1999) ou encore d’Ishii (1975) et Ishii et Hibiki (2006).

Notons que les dépendances en x et en t seront omises ici dans un soucis d’allègement de la notation ; il en sera de même dans tout le document tant qu’il n’y aura pas d’ambiguïté.

Modélisation moyennée de la phase dispersée par une approche particulaire

Dans cette section, nous allons nous intéresser à l’écriture des équations régissant l’évolution de la population de bulles à l’aide de la théorie cinétique. Avec ce type d’approche, et contrairement à une approche du type modèle à deux fluides, l’écoulement du fluide à l’intérieur des bulles n’est pas résolu : on s’intéresse uniquement à des quantités globales attachées à chaque bulle et que l’on va localiser arbitrairement en leur centre. Le principe de l’approche particulaire est simple : on va considérer pour chaque bulle les équations d’évolution de ses quantités globales caractéristiques (masse, quantité de mouvement, énergie, surface et volume), puis on effectue une moyenne sur l’ensemble des bulles pour obtenir l’évolution moyenne de toute la population.

Notons que l’on s’intéressera dans cette section uniquement à des bulles préexistantes (absence de nucléation) et qui conservent leur identité (absence de coalescence ou de fragmentation).

Modélisation hybride des écoulements diphasiques à phase dispersée

Deux types de modélisation pour traiter les écoulements dispersés ont été présentés dans les sections précédentes :
a) un modèle moyenné général, le modèle à deux fluides, qui consiste en un système de 2 × 3 équations moyennes (masse, quantité de mouvement, énergie). Ce système d’équations traite de façon symétrique les deux phases ; des équations de bilan moyennes portant sur la fraction volumique et la concentration d’aire interfaciale sont adjointes à ce système ;
b) une approche particulaire valable uniquement pour traiter la phase dispersée et composée de quatre équations moyennes (masse, quantité de mouvement, moment de la quantité de mouvement, énergie) auxquelles sont adjointes deux équations pour la fraction volumique et la densité d’aire interfaciale.

Dans cette section, on se propose d’écrire un modèle moyenné spécialement adapté aux écoulements à phase dispersée, basé sur les équations du modèle à deux fluides mais faisant également intervenir des termes issus de l’approche particulaire. On verra que le système d’équations régissant ce modèle hybride, moins général que le modèle à deux fluides, va perdre son caractère symétrique : la dissymétrie géométrique des deux phases induisant une dissymétrie des équations.

Résumé des équations du modèle hybride 

Considérons à présent le principal type d’écoulements à bulles que l’on va chercher à modéliser, à savoir les écoulements bouillant sous-saturés. Par liquide sous-saturé on entend un liquide dont la température moyenne sur la section droite de la conduite est inférieure à sa température de saturation. Lorsqu’un liquide sous-saturé s’écoule dans un canal chauffant, des bulles de vapeurs se créent à proximité des parois, là où le liquide s’est localement réchauffé, et vont se condenser dans le cœur de l’écoulement. On va supposer que pour un écoulement globalement sous-saturé, les bulles de vapeur n’ont pas le temps de croître suffisamment pour justifier l’apparition d’un gradient de température significatif en leur sein ; on peut de ce fait émettre l’hypothèse d’une température homogène à l’intérieur des bulles, température pouvant être assimilée à la température de l’interface. Ainsi, en supposant en outre que les interfaces sont à la température de saturation, on peut se passer de l’équation de bilan d’énergie pour la phase dispersée.

Un mot sur la contrainte σc , celle-ci est composée de deux contributions : une première contribution, appelée stresslet par Batchelor (1970), correspondant au moment des forces exercées par le liquide sur la surface des bulles, une seconde contribution qui est le moment de la force induite par le changement de phase sur la surface des bulles. Des solutions analytiques existent pour ces termes dans les cas académiques que sont un fluide porteur rampant (Jackson, 1997) et un fluide porteur non visqueux et potentiel (Lhuillier et al., 2010). Les écoulements que l’on cherche à modéliser étant turbulents, ces solutions analytique ne peuvent être appliquées à notre cas de figure. Aucun modèle adapté n’ayant été trouvé dans la littérature, on ne prendra finalement pas en compte la contrainte σc dans la suite du document.

Table des matières

Introduction
I Description polydisperse des écoulements à bulles
1 Modélisation moyennée des écoulements dispersés
1.1 Modélisation moyennée d’un milieu diphasique : le modèle à deux fluides
1.2 Modélisation moyennée de la phase dispersée par une approche particulaire
1.3 Modélisation hybride des écoulements diphasiques à phase dispersée
1.4 Conclusion
1.5 Références
2 Écoulements à bulles et polydispersion
2.1 Stratégies de modélisation de la polydispersion
2.2 Représentation statistique de la population de bulles
2.3 Méthode des moments
2.4 Références
II Relations de fermetures – Application aux écoulements bouillants sous-saturés
3 Forces hydrodynamiques moyennes
3.1 Bulle isolée évoluant dans un milieu infini
3.2 Détermination des forces moyennes polydisperses
3.3 Conclusion
3.4 Références
4 Coalescence et fragmentation de bulles
4.1 Description des processus physiques
4.2 Détermination du terme source de coalescence
4.3 Détermination du terme source de fragmentation
4.4 Conclusion
4.5 Références
5 Changement de phase
5.1 Condensation d’une bulle de vapeur dans un liquide sous-saturé
5.2 Détermination des termes sources liés au changement de phase
5.3 Évaluation de l’influence de la polydispersion en taille sur le changement de phase
5.4 Références
6 Tentative de prise en compte de la polydispersion en vitesse
6.1 Transport des densités de moments et vitesse caractéristique de bulle
6.2 Vitesse relative de bulle
6.3 Conclusion
6.4 Références
III Test et validation du modèle de polydispersion par simulation numérique
7 Présentation des équations de NEPTUNE_CFD
7.1 Équations principales
7.2 Équations complémentaires
7.3 Conclusion
7.4 Références
8 Simulation numérique de l’expérience DEBORA
8.1 Paramétrage du modèle numérique
8.2 Simulation et analyse des différents essais DEBORA
8.3 Comparaison du modèle Q2 aux autres modèles implantés dans NEPTUNE_CFD
8.4 Conclusion
8.5 Références
Conclusion générale
Annexes

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