Description de la version-p de la MEF

Description de la version-p de la MEF

Développement de la théorie du premier ordre des plaques en vibrations

L’étude de la vibration libre des plaques remonte aux années 1800. Chladni (1802), un physicien allemand, a étudié les vibrations d’une plaque carrée avec des cotés complètement libres et a observé le comportement vibratoire de cette plaque. Rayleigh (1877) a présenté sa méthode bien connue avec une solution générale de fréquences propres de vibrations pour plusieurs structures. Ritz a amélioré la procédure de Rayleigh en 1909 en supposant un ensemble de nouvelles fonctions test admissibles. Cette approche est connue sous le nom de la méthode de Rayleigh-Ritz ou la méthode de Ritz. Elle est parmi les méthodes approximatives les plus utilisées dans l’analyse des vibrations des structures.
Depuis lors, il y a eu de grandes recherches sur la vibration des plaques de différentes formes géométriques, avec différentes conditions aux limites et chargements tel que sont rapportés dans les références [Timoshenko et Gere (1961), Hinton (1988), Kim (1988), Liew (1990) et Xiang (1993)] et publications [Dickinson et Di Blasio (1986), Mizusawa et Leonard (1990)]. La plupart de ces travaux utilisent la théorie des plaques minces où les déformations de cisaillement sont négligées, comme le montre la série des références de Leissa (1969,1977a-b,1981a-b,1987), la série de références de Bert pour les plaques sandwichs et composites [Bert (1976,1979,1982,1985,1991a-b)] et d’autres articles de synthèse [Reddy (1985), Kapania et Raciti (1989)]. Cet effet de cisaillement est significatif, cependant, dans les plaques plus épaisses [Mindlin (1951), Srinivas et Rao (1970)]. Lorsque l’effet de cisaillement est ignoré, l’erreur des solutions de vibrations des plaques est élevée. Les recherches sur l’intégration de l’effet cisaillement transversal pour les plaques ont donné beaucoup de théories. La théorie du premier ordre des plaques ou de Reissner-Mindlin [Mindlin (1951), Srinivas et Rao (1970), Reissner (1945)], la théorie modifiée de plaque de Mindlin donné par Bergan et Wang (1984), Yang et al. (1966) et Whitney et Pagano (1970) et d’autres théories d’ordre supérieur telle que proposée par Nelson et Lorch (1974), Lo et al. (1977, Levinson (1980), Murthy (1981), Reddy (1984), Senthilnathan (1989) et Doong et al.(1991). Dans les théories d’ordre supérieur les champs de déplacements sont développables suivant les puissances de coordonnées d’épaisseur.
Dans l’analyse des vibrations des plaques isotropes épaisses, la théorie du premier ordre de Reissner-Mindlin est, habituellement, largement suffisante. Bien que dans la théorie, la distribution de la contrainte de cisaillement soit supposée constante à travers l’épaisseur. Cette théorie donne des solutions raisonnablement précises lorsqu’elle est utilisée en conjonction avec un facteur de correction de cisaillement, k. Ce facteur est bien détaillé dans les travaux de Srinivas et Rao (1970) et Senthilnathan et al. (1989). Les valeurs de ce facteur, couramment utilisés, sont k = 5/6 [Reissner (1954)] et k= π²/12 [Mindlin (1951)]. Toutefois, Nanni (1971) a montré que le facteur de correction de cisaillement, k, peut être exprimé en termes de coefficient de Poisson, donnée par k = 20(1+ν)/(24+25ν+ν²). Une étude récente excellente de Noor et Burton (1989) a montré qu’une précision acceptable peut être obtenue pour l’analyse des vibrations libres d’une plaque épaisse en matériaux composites, en utilisant la théorie des plaques de Mindlin, pour voir la possibilité de trouver le facteur de correction de cisaillement. Le sommaire ci-dessus est un aperçu très bref de l’historique de vibration linéaire des plaques basées sur la théorie du premier ordre de plaque. Pour en savoir plus, la monographie de Liew et al. (1995) présente un détail riche du développement de la théorie du premier ordre des plaques.
Le lancement de la version-p aux applications de vibrations des plaques revient à Bardell (1991,1992,1999), suivi par d’autres chercheurs [Beslin et Nicolas (1997), Houmat (1997a-b), (2001a-b), Leung et Chan (1998), Woo et al. (2003)]. La version-p est devenue un grand support aux problèmes de vibrations de plaques. A noter que les travaux cités précédemment traitent des formes régulières de plaques (carré, rectangle, triangulaire, circulaire et sectoriel).
Avec l’évolution du calcul numérique, des travaux remarquables de recherches dans la vibration des plaques avec divers effets (physiques, types de chargement, etc.) sont produits, parmi ces effets, la non-linéarité géométrique de Von Karman (1910,1932). Dans des travaux récents [Han (1993), Han et Petyt (1997a-b), Ribeiro (1998)], un modèle a été développé pour l’étude de vibration non-linéaire des plaques sur la base de la version-p de la méthode des éléments finis. Il a été démontré que la version-p nécessite moins de degrés de liberté par rapport aux autres méthodes. Le premier travail qui applique la méthode des éléments finis hiérarchiques (HFEM) et la méthode de l’équilibre harmonique (HBM) à la vibration non linéaire géométrique des plaques rectangulaires isotropes minces est celui de Han (1993) dans ça thèse. Ribeiro (2003) a fait une étude de vibrations non-linéaire libres des plaques isotropes modérément épaisses par la version-p. Les effets de l’inertie rotatoire, du cisaillement transversal et de la non-linéarité géométrique, dus à des déplacements modérément grands, sont pris en considération par l’auteur. Leung et Zhu (2004) ont présenté un élément-p trapézoïdal pour la vibration non-linéaire libres et forcées des plaques biaises et trapézoïdales de Mindlin.
Dans son article de (2008b) Houmat a employé un élément-p sectoriel pour résoudre le problème de vibration libre à grandes d’amplitudes des plaques sectorielles annulaires composites stratifiées avec des plis orthotropiques. Le même auteur dans son travail de (2009) a étudié la vibration libre non-linéaire d’une plaque elliptique annulaire composite stratifiée avec des plis orthotropiques elliptiques. Les effets des déformations de cisaillement, l’inertie de rotation et la non-linéarité géométrique sont pris en considération. Le problème est résolu numériquement par un nouveau élément-p sectoriel elliptique enrichi par le polynôme de Legendre. Les équations du mouvement libre non-linéaire sont obtenues par la méthode de l’équilibrage harmonique et itérativement résolues par la méthode de linéarisation du mode propre. Un élément-p triangulaire courbé est développé par Belalia et Houmat (2010) pour l’analyse de la vibration libre linéaire et non-linéaire des plaques sectorielles elliptiques isotropes modérément épaisses. La théorie des plaques de Mindlin et les hypothèses de la non-linéarité géométrique de Von Karman sont employées. Des expressions simples des fonctions de forme hiérarchiques pour l’élément-p triangulaire sont données en fonction des polynômes orthogonaux de Legendre déplacés. La géométrie de l’élément-p est représentée exactement par la méthode de la fonction de mélange. Les équations du mouvement sont obtenues en appliquant l’équation de Lagrange à l’énergie potentielle et l’énergie cinétique.La méthode de l’équilibre harmonique est utilisée et le système d’équations est résolu par itération. Les résultats pour les fréquences linéaires fondamentales des plaques elliptiques encastrées ont montré la convergence rapide et l’exactitude élevée de l’élément proposé. Des valeurs nouvelles pour les six premières fréquences linéaires et leurs formes modales associées à des plaques sectorielles elliptiques encastrées ont été également obtenues. Les effets des paramètres géométriques tels que l’excentricité d’ellipse, le rapport d’épaisseur et l’angle de secteur sur les courbes d’épine dorsale ont été examinés.

Plaques de formes géométriques arbitraires

La géométrie de la plaque joue un rôle très important dans le choix des méthodes de résolution des problèmes de vibration des plaques. En conséquence, diverses méthodes comme celle de Rayleigh-Ritz, de Galerkin ainsi que la méthode des éléments finis ont été utilisées selon la convenance des problèmes. Un grand nombre de travaux sur les études de vibrations des plaques est disponible dans la littérature.D’excellentes recherches ont été faites par Leissa (1969-1977-1981-1987) pour les plaques minces et Liew et al. (1995) pour les plaques épaisses. La plupart des études précédentes, cependant, ont été confinées à des plaques de formes simples tels que les plaques carrées, rectangulaires, circulaires, rhombes, triangulaires, etc. Bogner et al. (1966) se sont occupés d’un élément très précis mais pour les plaques rectangulaires seulement. Laura et Gutierrez (1976) ont utilisé le tracé isogone [Schinzin (1991)] et ont résolu les vibrations des plaques de formes polygonales régulières. Bucco et Mazumdar (1979) ont étudié le mouvement harmonique des flexions des plaques avec des formes arbitraires en utilisant une combinaison de la méthode des bandes finie et la méthode des contours de déflection. La méthode des bandes finies [Cheun et Chong (1984)] et la méthode des bandes finies spline [Cheung et al.(1989)] ont été également utilisées pour résoudre des problèmes de vibrations liés aux formes arbitraires.
Le groupe de chercheurs chapoté par Liew et al. (1991,1992,1993,1995,1998) a, sur la base de l’approche de Ritz, ont effectué beaucoup de travaux numériques et théoriques sur des plaques polygonales régulières, des plaques courbées appuyées, des plaques assemblées de forme arbitraire, des plaques perforées aux coins arrondis et des plaques ayant des bords droits orthogonaux. En outre, Lam et Liew (1992) ont proposé une méthode générale pour estimer les fréquences propres des plaques circulaires et elliptiques, et aussi une méthode numérique précise et efficace pour la vibration libre des plaques elliptiques minces se trouvant sur un appui simple de forme circulaire ou elliptique. Kitipornchai et al (1994) ont utilisé la méthode des multiplicateurs de Lagrange pour l’étude des vibrations des plaques de formes générales avec des conditions aux limites arbitraires. Les vibrations de plaques arbitraires de plate-forme trapézoïdale ont été étudiées par Kitipornchai et al. (1994) et Lim et al. (1996). Liew et Liu (1997) ont appliqué la méthode de quadrature différentielle à l’étude statique des plaques de Kirchhoff avec des formes géométriques arbitraires.
L’approche la plus commune dans la méthode des éléments finis pour l’analyse des plaques de géométries arbitraires est d’approcher les bords courbés avec un grand nombre des côtés droits des éléments triangulaires [Anderson (1968), Argyris (1966), Herman (1966), Petyt (1968)] ou de développer des éléments spéciaux permettant une représentation exacte des bords courbés [Olson et Lindberg (1969)]. Chernuka et al. (1972) ont utilisé un élément triangulaire avec un des côtés modifiés pour inclure un côté courbé. Raju et Hinton (1980) ont utilisé la théorie des plaques de Mindlin et un élément fini quadrilatéral pour étudier les vibrations non linéaires des plaques épaisses carrées, rectangulaires, circulaires et elliptiques.
Mais tous les éléments ci-dessus ne peuvent pas être généralisés pour représenter un côté arbitrairement courbé. Geannakakes (1995) a défini la géométrie des plaques arbitraires avec des coordonnées naturelles pour l’analyse de vibrations libres en utilisant des polynômes orthogonaux normalisés. Un nouvel élément à quatre noeuds a été présenté par Barik et Mukhopadhyay (1998) pour l’analyse de vibrations libres des plaques avec des formes géométriques arbitraires. Houmat (2006,2008) a développé deux éléments-p (quadrilatéral et triangulaire) courbés pour l’applications aux vibrations libres des membranes et des plaques curvilignes avec des formes arbitraires.

Revue des procédés des plaques à gradient fonctionnel

Depuis le début de l’histoire humaine, les gens ont utilisé les métaux comme le cuivre et le fer pour fabriquer des armes, outils, véhicules et des objets à l’usage quotidien. Cependant, l’utilisation de métaux et leurs alliages a toujours été limitée, en raison de leurs propriétés de résistances faibles à des températures élevées. Cette restriction a nécessité l’utilisation de matériaux de pointe comme les matériaux à gradient fonctionnel qui sont fabriqués à partir d’un mélange de céramique et de métaux.Les recherches avancées sur le traitement de la structure des métaux, céramiques, intermétalliques et les composites ont contribué au développement des propriétés et des performances de ces matériaux. Les céramiques, céramiques-métaux et les intermétalliques avancés sont destinés à devenir la base fonctionnelle pour les structures mono-matériel ou multi-matériel complexes [Glaeser (1997)]. Les matériaux à gradient fonctionnel, qui sont d’abord développés par un groupe de chercheurs japonais dans les années 1984 [Yamanouchi et al. (1990)], sont des composites de pointe, conçus pour avoir une variation lisse spatiale de propriétés des matériaux afin d’améliorer la performance globale.
Un bref historique de littérature sur les matériaux à gradient fonctionnel prouve que peu d’études ont été effectuées pour étudier le comportement vibratoire des structures à gradient fonctionnel. Praveen et Reddy (1998) ont fait une analyse non linéaire statique et dynamique des plaques en céramique-métal à gradient fonctionnel soumis à des charges transversales dynamiques par la méthode des éléments finis à une température constante. En 2000, Reddy a développé une formulation par éléments finis pour les plaques épaisses à gradient fonctionnel selon la théorie d’ordre élevé de plaques, et a étudié les réponses dynamiques non-linéaires des plaques à gradient fonctionnel soumises à une pression uniforme. Yang et al. (2003) ont présenté une analyse de vibration à grande amplitude avec contraintes initiales d’une plaque à gradient fonctionnel avec des couches piézo-électriques en utilisant la méthode de quadrature différentielle et la méthode de Galerkin. Chen (2005), Chen et al. (2006), Fung et Chen (2006), et Chen et Tan (2007) ont étudié la vibration à grande amplitude des plaques avec contraintes initiales, avec ou sans imperfections géométriques initiales. Dans leurs études, les contraintes initiales ont été prises pour flexion pure et étirement des plaques. Les formulations ont été basées sur la théorie du premier ordre des plaques et la théorie des plaques minces.
En outre, Allahverdizadeh et al. (2008a-c) ont étudié les vibrations non-linéaires libres et forcées des plaques à gradient fonctionnel circulaires minces sur la base de la théorie classique des plaques. Toutefois, dans les références citées ci-dessus [Praveen et Reddy (1998), Reddy (2000), Yang et al. (2003), Chen (2005), Chen et al. (2006), Chen et Tan (2007), Allahverdizadeh et al. (2008a-c)], les propriétés du matériau ont été soit assumées être indépendantes de la température ou prises en compte dans une température constante d’environnement (T=300 K). Depuis toujours, les matériaux à gradient fonctionnel sont utilisés dans un environnement à haute température. De ce fait les propriétés du matériau à gradient fonctionnel doivent être dépendants de la température.
Kitipornchai et al. (2004) et Yang et Huang (2007) ont étudié respectivement, les vibrations non-linéaires libres et forcées des plaques à gradient fonctionnel stratifiés imparfaites avec différentes conditions aux limites et les propriétés des matériaux dépendent de la température. Les travaux de Huang et Shen (2004, 2006) ont fourni une analyse nonlinéaire des vibrations libres et forcées des plaques à gradient fonctionnel composées de couches piézoélectriques dans des environnements thermiques avec la prise en compte du cisaillement transversal. D’autres études sont concernées avec les vibrations libres et forcées des plaques FGM, par exemple [Yang et Shen (2001, 2002), Cheng et Reddy (2003), Vel et Batra (2004), Kim (2005), Elishakoff et al. (2005), Prakash et Ganapathi (2006), Efraim et Eisenberger (2007), Li et al. (2008)]. Selon les règles de mélange des matériaux, Abrate (2006) a constaté que les fréquences naturelles des plaques FGM sont proportionnelles à celles de la plaque homogène correspondante.Jusqu’à maintenant, aucun travail sur le développement et l’application des éléments-p courbés pour les problèmes de vibrations (linéaires et/ou non-linéaire) des plaques épaisses (isotropes et/ou à gradient fonctionnel) de forme géométriques arbitraires n’a vu le jour. C’est la motivation de cette thèse dont l’objectif est de développer des éléments courbés de la version-p pour les plaques de forme géométriques arbitraires.

Pourquoi développer un élément-p courbé ?

Dans le cadre de calcul des plaques à l’usage mécanique, aéronautique et marin, il est souhaitable de pouvoir prendre en compte des géométries arbitraires afin de modéliser des trous, des défauts géométriques quelconques, ou des formes arbitraires complexes. La modélisation des formes géométries arbitraires par la version-p est impossible, puisque cette version est basée sur les formes géométriques régulières (carré, rectangle, cercle, etc…). Pour enlever cette contrainte, l’idée consiste à développer des éléments-p courbés polyvalents pour traiter, avec un seul type d’élément, le problème de modélisation cité précédemment. On choisit d’étendre les possibilités d’un élément-p au calcul des plaques. La formulation avec la méthode de la fonction de mélange  blending function permet de rendre plus simple l’utilisation de l’élément-p. Les degrés de libertés ne sont que des déplacements dans un repère local, ce qui rend plus facile la modélisation du problème des structures complexes ainsi que l’exploitation des résultats.

Table des matières

Introduction
Motivation et objectif
Organisation du document
Chapitre 1 : Revue de littérature
Objectif
1.1. Développement et mise en oeuvre de la version-p
1.1.1. Avantage de la version-p
1.1.2. Inconvénients de la version-p
1.2. Développement de la théorie du premier ordre des plaques en vibrations
1.3. Plaques de formes géométriques arbitraires
1.4. Revue des procédés des plaques à gradient fonctionnel
1.5. Pourquoi développer un élément-p courbé ?
Chapitre 2 : Description de la version-p de la MEF
Objectif
2.1. Introduction
2.2. Fondements des éléments-p
2.2.1. Champs de déplacement
2.3. Fonctions de forme hiérarchiques
2.3.1. Eléments unidimensionnels
2.3.1.1. Polynômes de Legendre déplacés
2.3.1.2. Fonctions de forme hiérarchiques unidimensionnelles
2.3.2. Eléments-p bidimensionnels
2.3.2.1. Espaces polynomiaux
2.3.2.2. Elément-p quadrilatéral
2.3.2.3. Elément-p triangulaire
2.4. Modélisation géométrique des éléments-p courbés
2.4.1. Les fonctions mapping
2.4.2. Carreaux de Coons
2.4.3. Elément quadrilatéral courbé
2.4.4. Elément triangulaire courbé
2.4.5. Exemples
Chapitre 3 : Théorie du matériau à gradient fonctionnel
Objectif
3.1. Introduction
3.2. Propriétés effectives des matériaux à gradient fonctionnel
Chapitre 4 : Théorie du premier ordre des plaques
Objectif
4.1. Plaques comme structure fondamentale
4.1.1. Définition
4.1.2. Hypothèses de la théorie du premier ordre des plaques
4.1.3. Equations cinématiques
4.1.4. Relations déformation–déplacement
4.1.5. Equations des efforts et moments
4.1.6. Facteurs de correction du cisaillement transversal
4.1.7. Relations contrainte–déformation
4.2. Energie de déformation de la plaque à gradient fonctionnel
4.3. Energie cinétique de la plaque à gradient fonctionnel
4.4. Equations du mouvement
Chapitre 5 : Modélisation par l’élément-p courbé
Objectif
5.1. Formulation par l’élément-p courbé
5.1.1. Détermination des matrices de rigidité
5.1.1.1. Matrice de rigidité élémentaire extensionnelle
5.1.1.2. Matrice de rigidité élémentaire non-linéaire de couplage extension flexion
5.1.1.3. Matrice de rigidité élémentaire non-linéaire flexionnelle
5.1.1.4. Matrice de rigidité élémentaire linéaire flexionnelle due aux rotations
5.1.1.5. Matrice de rigidité élémentaire linéaire flexionnelle due au cisaillement transversal
5.1.1.6. Matrice de rigidité élémentaire linéaire de couplage extension-rotation
5.1.1.7. Matrice de rigidité élémentaire linéaire de couplage flexionnel
5.1.2. Détermination de la matrice masse
5.2. Equations du mouvement périodique et l’application de la méthode de l’équilibrage harmonique
5.3. Intégration numérique
Chapitre 6 : Description des techniques de programmation
Objectif
6.1. Logiciels et matériel
6.2. Organigramme
6.3. Description du programme
6.3.1. Fichiers de données
6.3.1.1. Paramètres des éléments
6.3.1.2. Paramètres physiques
6.3.1.3. Paramètres géométriques
6.3.1.4. Conditions aux limites
6.3.2. Programmation
6.3.2.1. Calcul des propriétés des matériaux
6.3.2.2. Description géométrique de la plaque par l’élément-p
6.3.2.3. Formation des matrices K,K,K 1,K,M  
6.3.2.4. Calcul des coordonnées   0 0  , du point dont l’amplitude est maximale
6.3.2.5. Normalisation du vecteur propre
6.3.2.6. Formation des matrices de rigidité non-linéaires Kˆ ,K~
6.3.2.7. Calcul des valeurs propres par la méthode de Jacobi
6.3.3. Fichiers de sortie
6.4. La méthode de linéarisation des modes
Chapitre 7 : Résultats et interprétation
Objectif
7.1. Convergence et validation des résultats de la vibration linéaire
7.1.1. Convergence
7.1.1.1. Plaques circulaires
7.1.1.2. Plaques elliptiques
7.1.2. Validation
7.1.2.1. Plaques circulaires
7.1.2.2. Plaques elliptiques
7.2. Vibration linéaire: étude paramétrique
7.2.1. Plaques sectorielles
7.2.2. Etude de vibration non-linéaire
7.2.2.1. Validation des plaques circulaires
7.2.2.2. Validation des plaques elliptiques
7.2.2.3. Vibration non-linéaire des plaques sectorielles
7.3. Etude des plaques en matériaux à gradient fonctionnel
7.3.1. Convergence et validation des plaques à gradient fonctionnel en vibration linéaire
7.3.2. Etude de la vibration non linéaire des plaques à gradient fonctionnel
7.3.3. Vibration libre d’une plaque à gradient fonctionnel
Conclusions
Références bibliographiques
Annexe A
Annexe B

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