Des problèmes pour chercher en CE1

Les instructions officielles

               Le BO du 26 novembre 20152 atteste de l’importance de la résolution de problèmes dès le cycle 2, effectivement, cela développe « leurs capacités à chercher, à raisonner et communiquer. Les problèmes permettent d’aborder de nouvelles notions, de consolider des acquisitions, de provoquer des questionnements. » Les programmes de 2016 stipulent également le fait qu’il faut varier les situations et les immiscer dans d’autres enseignements. Enfin, ils spécifient l’importance du caractère ludique, possible notamment, par la manipulation. Concernant la progression, il est recommandé d’effectuer dès le CP « des problèmes pour apprendre à chercher qui ne soient pas de simples problèmes d’application », d’initier des problèmes relevant de l’addition, de la soustraction, de la multiplication et approcher la division de deux nombres entiers. En CE1, les élèves peuvent aborder des problèmes de longueur et de masse. Les élèves poursuivent cette résolution de problèmes en CE2 puis au cycle 3. Dans les programmes de 2016, la résolution de problèmes est présente dans les six compétences à travailler en mathématiques.
o Chercher: C’est la compétence principale pour résoudre des problèmes. L’apprenant doit s’engager dans une démarche de résolution de problèmes « en observant, en posant des questions, en manipulant, en expérimentant, en émettant des hypothèses. »
o Modéliser : Cette compétence apparaît au moment de l’utilisation des outils mathématiques pour résoudre un problème concret mais également dans la reconnaissance de situations additives, soustractives, multiplicatives ou de partages.
o Représenter : Cette compétence renvoie à l’appréhension des différents systèmes de représentations (dessins, schémas) pour pouvoir comprendre une situation.
o Raisonner : Pour pouvoir résoudre un problème, l’apprenant doit pouvoir anticiper les différentes étapes de son raisonnement pour trouver le résultat.
o Calculer : Même si dans un premier temps, l’élève de cycle 2 utilise davantage la manipulation plutôt que les outils numériques, cette compétence est nécessaire pour l’exactitude de la réponse et gagner en efficacité.
o Communiquer : A l’écrit, cette compétence, tout comme « calculer » n’interviendra que dans un second temps au moment de la rédaction de la phrase réponse. Pour autant, à l’oral, elle est beaucoup utilisée « pour expliciter des démarches, argumenter des raisonnements ».
La résolution de problèmes est pluridisciplinaire et permet notamment de travailler des compétences en français. Effectivement, « les élèves doivent avoir acquis une première autonomie dans la lecture de textes variés » et « ces activités doivent être nombreuses et fréquentes ». La lecture de situations mathématiques permet aux élèves de travailler la compréhension de l’écrit qui est la finalité de toutes les lectures. De même, elle permet de travailler des compétences de d’autres disciplines comme dans questionner le monde (problèmes de mesures) ou dans l’éducation physique et sportives (problèmes liés à l’endurance).

Définition de la notion « problème »

                   Un problème en mathématiques est une situation proposée à laquelle il faut tenter de répondre, en faisant des inférences internes (propres à l’énoncé explicites ou non) mais également des inférences externes (notions mathématiques, représentations, connaissances sur le monde…). Ainsi, en fonction de ses expériences, l’élève n’appréhendera pas de la même manière le problème. Pour accomplir un problème, l’élève doit effectuer plusieurs tâches :
– Lire l’énoncé et la question
– Se représenter la situation pour pouvoir identifier l’opération en jeu
– Calculer
– Rédiger la phrase réponse en prenant appui sur les mots de la question
Il faut noter que pour des problèmes à plusieurs étapes, l’élève devra répéter les trois dernières tâches autant de fois qu’il y aura d’étapes.

La classification des « problèmes types »

                 Vergnaud (1982), théoricien des mathématiques, distingue six types de problèmes. Nous nous intéresserons aux quatre types les plus fréquemment utilisés à l’école élémentaire.
Type 1 : « problèmes de transformation d’état » : Un état initial subit une transformation pour aboutir à un état final. Ce type de problèmes peut aboutir à trois recherches différentes :
– Recherche d’un état final
Exemple : J’ai 2 petites voitures et j’en achète 1. Combien en ai-je maintenant ?
– Recherche de la transformation
Exemple : J’avais 2 billes avant la récréation. Maintenant, j’en possède 5. Combien aije gagné de billes ?
– Recherche de l’état initial
Exemple : J’ajoute 2 bonbons dans mon sachet. Maintenant, il y’en a 6. Combien y’avait-il de bonbons dans le sachet ?
Les exemples ci-dessus correspondent à des transformations additives, ces problèmes peuvent être également soustractifs. Il existe alors six possibilités de transformations d’états. Dès le cycle 2, les élèves doivent se rendre compte de la nécessité d’utiliser la soustraction et l’addition pour ce type de problèmes. On relève tout de même que les problèmes additifs seront plus abordables que les problèmes soustractifs dans un premier temps.
Type 2 : « problèmes de composition d’état » : Les situations portent sur trois grandeurs où deux d’entre elles se composent pour arriver à la troisième. La recherche porte alors sur deux ordres :
– La recherche du composé
Exemple : J’ai 2 billes rouges et 3 billes bleues. Combien ai-je de billes ?
– La recherche d’une partie
Exemples : J’ai 10 billes dont 6 bleues. Combien ai-je de billes rouges ?
ou J’ai 10 billes dont 4 rouges. Combien ai-je de billes bleues ?
Ces deux types sont à étudier dès le CP.
Type 3 : problèmes de « comparaison ».
Dans ces problèmes, on compare deux états. Ainsi, on retrouve très souvent les expressions « de plus » et « de moins ». Il existe plusieurs possibilités :
– Recherche de l’un des états avec un référent qui ne va pas varier et un élément référé.
Exemples : Mon frère à 7 ans. J’ai 3 ans de plus que lui. Quel âge ai-je ? ou Mon frère à 3 ans de moins que moi, j’ai 10 ans. Quel âge à mon frère ? La comparaison de ces deux états peut être négative ou positive, il existe alors quatre possibilités différentes.
Exemple : Dans une boîte, il y’a 5 bonbons. Dans la deuxième, il y’en a 15.  Combien y’a-t-il de bonbons en plus dans la deuxième boîte ? ou Dans une boîte il y’a 20 biscuits. Dans la deuxième, il y’en 15. Combien y’a-t-il de bonbons en moins dans la deuxième boîte ? Les six possibilités sont à étudier durant le cycle 2, pour autant, les expressions « de plus que » et « de moins que » sont difficiles à comprendre, il faut donc privilégier des situations problèmes simples qui peuvent se matérialiser.
Type 4 : problèmes de « composition de transformation » : Dans ce type de problèmes, on ne s’intéresse pas à des états mais à l’effet qui résulte de plusieurs transformations.
Exemple : Ce matin, j’ai perdu 5 billes. Cet après-midi, j’ai rejoué et j’en ai gagné 15. Quel est le bilan de ma journée ? ou Ce matin j’ai gagné 10 billes mais j’en ai perdu 5 à la récréation. Quel est le bilan de ma journée ? On peut faire varier le nombre de transformation de ce type de problème. Il faut noter qu’il est difficile de conceptualiser et qu’il est plutôt à aborder avec des élèves de cycle 3. Il peut être amené dès le cycle 2 mais il faut prévoir un temps suffisamment long pour l’étudier tel un problème de recherche. Selon Vergnaud, il est indispensable de proposer tous ces types pour entraîner les élèves à la résolution de problèmes et leur faire prendre conscience de cette variété utilisant les additions et les soustractions. De même, tout comme Henaff, ce chercheur pense qu’il est nécessaire de se construire une représentation (dessin, schéma) et d’avoir des outils de référence pour s’entraîner à reconnaître les différentes catégories. Ces problèmes types ne suffisent pas à obtenir des acquisitions solides qui pourront être transférées dans d’autres contextes. Ainsi, il semble important de compléter avec d’autres types de problèmes : les problèmes de recherche, appelés aussi, situations-problèmes.

Analyse individuelle

                   Avant de confronter les quatre entretiens effectués, il me semble important de faire un résumé de chaque entretien. Pour commencer, l’élève A (cf annexes 2 et 6) a un bon niveau en mathématiques que ce soit en numération qu’en résolution de problèmes. Dans un premier temps, on remarque que ce problème pour chercher le déstabilise. Effectivement, habitué à des procédures et logiques mathématiques, cette situation problème n’est pas totalement comprise et l’élève semble hésitant. Pour autant, ses facilités mathématiques lui permettent rapidement d’accéder à la compréhension. Effectivement, sa production écrite témoigne d’un détachement total avec la réalité pour résoudre ce problème. Ainsi, l’élève, en procédant par essais/erreurs, adopte une bonne démarche de résolution. Par exemple, il commence par le nombre de pattes pour trouver les animaux. Il résout ce problème sans rencontrer de grosses difficultés et réussit à trouver la solution de ce problème. L’élève B (cf annexes 3 et 7) a également un bon niveau en mathématiques et ne présente pas de difficultés dans la résolution de problèmes. Effectivement, cet élève a une bonne compréhension et représentation des énoncés. Ainsi, pour ce problème, il procède par essais/erreurs pour trouver la solution. On remarque que l’élève B rencontre plus de difficultés que l’élève A concernant la numération. Sa production écrite témoigne notamment d’un rattachement à la réalité pour se représenter le problème. Cependant, il arrive à résoudre ce problème assez aisément. Ainsi, la compréhension du problème semble être aussi importante que la maîtrise du système de numération. L’élève C (cf annexes 4 et 8) a un bon niveau en numération mais présente plus de difficultés dans la résolution de problèmes. Dès le début de l’entretien, l’élève présente des difficultés à répondre à la question « qu’est-ce que tu cherches ? », cela témoigne d’un souci de compréhension de l’énoncé. De même, on remarque que sur sa production, il est écrit « =36 », on suppose alors que l’élève a additionné des données écrites sans leur donner de sens : « 24 pattes…10 bosses… » et ajouté une information orale « un chameau a 2 bosses ». De même, la capacité à faire appel à ses inférences externes semble être à frein à la compréhension : « M : Tu vas mettre combien de pattes par animal ? E : 6… M : Ah, un chameau à 6 pattes ? E : Euh 4… ». Une fois l’énoncé saisi, l’élève arrive à résoudre ce problème grâce à un bon usage des nombres. Celui-ci utilise un algorithme « au hasard » pour répartir les bosses et procède ensuite par essais/erreurs. L’élève D (cf annexes 5 et 9) présente plus de lacunes en mathématiques que ce soit en numération qu’en résolution de problèmes. Au début de l’entretien, on remarque que la compréhension de l’élève est confuse lorsqu’il répond à « qu’est-ce que tu cherches ? » mais ne semble pas éprouver de difficultés à retrouver les données de l’énoncé. Cela montre donc que l’élève est habitué à utiliser la procédure de résolution de problèmes. Si l’on se réfère au travail individuel fait en amont (haut de la feuille de l’annexe 9), la représentation semble être compliquée. Au moment de passer au raisonnement, ces difficultés se confirment, les opérations mentales semblent être confuses : « M : Tu commences par les bosses ? E : Les pattes ? M : Par quoi tu penses qu’il faut commencer ? E : Les pattes. M : Pourquoi ? E : Parce qu’après on a les chameaux et puis on met les bosses. » L’élève a donc besoin d’une aide pour l’organisation de la résolution de ce problème. Pour autant, il parvient à trouver la solution de ce problème même si la démarche est plus étayée.

L’abstraction mathématique et la démarche effectuée

              Si nous nous intéressons à la démarche effectuée par chaque élève en prenant en compte les entretiens et les traces écrites, nous pouvons observer quatre démarches différentes. Les productions des élèves A et C sont très ressemblantes. On remarque que ces deux élèves décontextualisent la situation. Ils remplacent tous les deux les pattes par des bâtons et ne rattachent pas directement les bosses des chameaux et dromadaires. Ils entrent donc dans l’abstraction mathématique en regroupant par quatre des bâtons puis en distribuant des bosses représentées par des ponts. Si l’on se réfère à leurs entretiens, les élèves n’ont pas la même manière d’aborder ce problème. L’élève A avait déjà commencé sa recherche avant l’entretien et la réajuste pendant l’entretien alors que l’élève C recommence sa recherche. L’élève A, à l’aise en numération ne compte pas à voix haute et alors que l’élève C a besoin de compter de un en un à voix haute. Les productions des élèves B et D sont relativement proches puisqu’elles sont toutes les deux proches du contexte du problème. On déduit alors que le sens du problème passe par une représentation de la réalité. Effectivement, ces deux élèves dessinent des animaux pour pouvoir s’approprier et résoudre le problème. Concernant les entretiens, les élèves n’adoptent pas les mêmes démarches. L’élève B part du principe qu’il n’y a que des dromadaires et à ensuite procéder par élimination alors que l’élève D attribue « au hasard » des bosses sur le dos des animaux. Les quatre démarches sont donc différentes mais toutes montrent que les élèves sont motivés, persévérants et en réflexion. Les situations-problèmes, lorsque le sens est saisi, sont donc vécus comme « un challenge » par ces élèves.

Table des matières

I. Introduction
II. Les compétences professionnelles en jeu
III. Les instructions officielles
IV. L’apport des chercheurs
1. Définition de la notion « problème » 
2. Les fonctions cognitives engagées
3. Résoudre des problèmes
4. La classification des « problèmes types » 
5. Les problèmes de recherche dans le parcours des apprentissages
V. L’expérimentation
1. La population étudiée 
2. La démarche expérimentale
3. L’entretien
4. Le questionnaire proposé
VI. Analyse des résultats
1. Analyse individuelle
2. Analyse croisée 
La compréhension et le sens du problème
L’abstraction mathématique et la démarche effectuée
Faire appel aux inférences internes et externes
L’autocorrection : essais/erreurs
VII. Conclusion
VIII.Bibliographie
1. Ouvrages 
2. Articles
3. Webographie
IX. Annexes

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