Dérivation et implémentation du modèle SHE

Les moteurs ioniques de type SPT

Un moteur de type Stationary Plasma Thruster (SPT) est constitué d’une cavité comprise entre deux cylindres de céramique. Un champ électrique est établi selon l’axe des cylindres (cf figure 1). Il accélère vers l’anode les électrons émis par deux cathodes creuses (en haut de la figure 1). A cette anode est injecté du Xénon (Xe), qui est ionisé par les électrons durant son séjour dans la cavité. Les ions Xe+ sont alors accélérés vers le plan de sortie par le champ électrique. A leur sortie (près des cathodes creuses) les ions positifs sont neutralisés par des électrons et la masse éjectée est donc neutre. De plus, un champ magnétique est établi dans la direction radiale afin de maximiser la probabilité de collision avec les atomes de Xénon .

Le contrôle de la trajectoire de satellites est généralement assuré par la détente de gaz brûlés, mais dans un avenir proche, ce procédé semble devoir céder la place à des propulseurs ioniques, qui permettent de réduire la masse au lancement du satellite. Le Stationary Plasma Thruster (SPT) apparaît comme l’un des propulseurs les plus intéressants pour l’intégration dans les satellites de télécommunications, tant pour ses performances, économisant plus de 800 kg sur un satellite de 3500 kg d’une durée de vie de 15 ans, que pour la durée de vie démontrée (plus de 7000 heures). Nous renvoyons le lecteur à [24] par exemple pour une description plus détaillée du fonctionnement des SPT et des intérêts de la propulsion ionique .

Description des collisions en volume et aux parois

Dans cette section nous présentons l’ensemble des collisions dont nous avons tenu compte dans le modèle SHE. Ceci nous permettra de situer le vocabulaire en même temps que nous mettrons en exergue quelques questions qui se posent lors de la modélisation de ces phénomènes. Dans la cavité d’un propulseur, un électron tourne autour des lignes de champ magnétique. Sauf exception, il va voyager d’une paroi à l’autre. Entre les deux parois il peut participer à des collisions (dites volumiques par opposition aux collisions avec les parois) avec des atomes de Xénon et lorsqu’il rencontre une paroi, ses interactions avec elle seront diverses (selon son énergie).

Phénomènes aux parois

Nous donnons ici une brève description des phénomènes envisagés lors de la rencontre d’un électron avec l’une des deux parois.

On parle de réflexion spéculaire lorsqu’un objet est réfléchi à la manière d’un rayon lumineux sur un miroir plan. Dans le cas général, un électron réfléchi par la paroi l’est dans une direction aléatoire, compte tenu notamment de l’incertitude sur l’état de surface de cette paroi. Pourtant on peut parler dans un cas de réflexion spéculaire. En effet, la différence de mobilité entre les ions positifs et les électrons dans un plasma confiné par des parois crée un défaut de neutralité près de celles-ci. On appelle “gaine du plasma” la zone où le défaut de neutralité est importante. Cette gaine se manifeste par un potentiel petit, mais non négligeable devant l’énergie des électrons, qui repousse ceux-ci de la paroi. De ce fait, un électron d’énergie plus faible que l’énergie nécessaire à dépasser le potentiel aura l’air d’être réfléchi spéculairement par une paroi dont la position ne coïncide pas (en général) avec celle de la paroi matérielle, mais suffisamment proche pour que l’on considère que c’est la paroi elle-même qui a réfléchi l’électron .

réflexion diffuse
Si un électron a suffisamment d’énergie pour surmonter le potentiel de gaine, il sera généralement réfléchi diffusivement. Une réflexion diffuse est le résultat de l’interaction d’un électron incident avec les nuages électroniques des atomes de la paroi. L’électron est réémis avec la même énergie dans une direction aléatoire. Comme il a eu à traverser la gaine, il arrive à la paroi avec une énergie diminuée du potentiel de gaine, mais cette énergie lui est restituée lors de sa traversée de la gaine dans l’autre sens.

attachement
Des expérimentations montrent que lorsqu’un électron a une énergie faible (mais suffisante pour vaincre le potentiel de gaine), il a tendance à être capturé par la paroi. En d’autres termes, certains électrons ne repartent pas de la paroi, ce qui aura pour effet de diminuer le nombre d’électrons de faible énergie.

émission secondaire
A l’inverse, un électron énergétique (de l’ordre de la centaine ) aura tendance à libérer un électron de la paroi. Dans ce cas, deux électrons repartent de la paroi pour un électron incident. Il est rare que plus d’un électron soit arraché avec la gamme d’énergies des électrons incidents considérée, et nous considérons que ce n’est jamais le cas. Une question importante dans la modélisation de l’émission secondaire tient à la manière dont se répartit l’énergie de l’électron incident entre les deux électrons réémis. Comme nous le décrirons plus en détail dans la section 1.3.4, nous avons supposé que l’un des électrons conserve la presque totalité de l’énergie de l’électron incident, et que l’autre électron emporte le reste .

Collisions en volum

Lors de son voyage entre les deux parois, un électron peut interagir avec les différentes espèces présentes. Nous avons tenu compte des principales collisions impliquan des électrons et des atomes (appelées collisions électron-neutre), et négligé les éventuelles collisions entre les ions et les électrons.

collisions élastiques
Un atome n’a pas d’action électrostatique à longue distance, mais un électron s’approchant suffisamment près de son nuage électronique sera perturbé. Lorsque cette interaction ne perturbe que la trajectoire de l’électron sans modifier son énergie, on l’appelle collision élastique avec un neutre.

excitation
Un électron suffisamment énergétique peut céder une partie de son énergie Δ à un atome, qui change alors d’état pour s’appeler atome excité. Le nombre d’électrons est conservé mais par leur énergie. Il est à noter que l’énergie Δ est une constante (qui dépend de la structure de l’atome de Xénon) et qu’en particulier elle ne dépend pas de l’énergie de l’électron inciden .

ionisation
A partir d’un seuil d’énergie (ditseuil d’ionisation), un électron est capable d’ioniser un atome, c’est-à-dire de libérer un électron du cortège électronique de l’atome . Son énergie est alors diminuée de l’énergie nécessaire à arracher un électron, et les deux électrons repartant de l’atome se partagent l’énergie restante. C’est sur ce phénomène que repose le principe du SPT ; le Xénon a été choisi pour le SPT entre autres pour son faible seuil d’ionisation (12 eV environ), ce qui favorise l’ionisation de la presque totalité des atomes durant leur traversée de la cavité .

Table des matières

Introduction
1 Dérivation et implémentation du modèle SHE
1.1 Description des collisions en volume et aux parois
1.1.1 Phénomènes aux parois
1.1.2 Collisions en volume
1.2 Dérivation du modèle SHE avec collisions en volume
1.2.1 Hypothèses de départ
1.2.2 Equation de Boltzmann avec opérateur de réflexion à la paroi
1.2.3 Asymptotique
1.3 Collisions aux parois
1.3.1 Nombre moyen d’électron réémis
1.3.2 Prise en compte des réflexions spéculaire et diffusive dans le modèle SHE
1.3.3 Attachement
1.3.4 Emission secondaire
1.4 Collisions en volume
1.4.1 Sections efficaces de collision
1.4.2 Excitation
1.4.3 Ionisation
1.5 Expression analytique du coefficient de diffusion
1.6 Conditions aux limites de Robin
1.6.1 Problème stationaire modèle
1.6.2 Conditions aux limites d’ordre 1
1.6.3 Correcteur de couche limite
1.6.4 Conditions aux limites d’ordre 2
1.6.5 Approximation de la longueur d’extrapolation
1.7 Calcul pratique du coefficient de diffusion
1.7.1 Tabulation d’un intégrale dépendant d’un seul paramètre
1.7.2 Réduction du coefficient par passage à la limite
1.7.3 Alternative aux formules de quadrature
1.8 Discrétisation du modèle SHE
1.8.1 Problème à résoudre
1.8.2 Discrétisation
1.9 Résultats numériques
1.9.1 Intérêt en physique
1.9.2 Résultats typiques
2 Electron Transport in Stationary Plasma Thrusters
3 Numerical Simulation of Electron Transport in Stationary Plasma Thrusters
4 Diffusion dynamics of an electron gas confined between two plates
5 Résolution d’un problème elliptique
5.1 Problème elliptique fortement anisotrope
5.1.1 Définition du problème
5.1.2 Anisotropie
5.1.3 Directions propres variables
5.2 Méthode de volumes finis sur maillage cartésien
5.2.1 Discrétisation par volumes finis
5.2.2 Approximation des courants sur les arêtes en maillage cartésien
5.2.3 Conditions aux limites
5.2.4 Second membre donné par une divergence
5.2.5 Résolution du système linéaire
5.3 Test de la méthode
5.3.1 Principe des tests
5.3.2 Résultats numériques
5.3.3 Conclusions du test
5.4 Une technique de paramétrisation, motivation et applications
5.5 Paramétrisation appliquée au problème elliptique anisotrope
5.5.1 Paramétrisation des matrices de conductivité
5.5.2 Discrétisation
5.5.3 Résolution
5.6 Résultats numériques
5.6.1 Comparaison avec des solutions approchées
5.6.2 Conclusion des tests
Conclusion

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