Délocalisation des mesures semi-classiques pour des systèmes dynamiques chaotiques

En mécanique quantique, le principe de correspondance de Bohr énonce que la théorie quantique doit tendre vers la théorie classique lorsque la constante de Planck h peut être considérée comme petite devant les actions mises en jeu dans le système physique. En quelque sorte, on dit que la théorie classique est bien adaptée pour la description des phénomènes macroscopiques et le principe de correspondance affirme alors que les objets de nature classique peuvent être reconstruits à partir des objets de nature quantique dans la limite h → 0+. L’une des difficultés pour observer cette correspondance est la différence profonde entre les formalismes classique et quantique [74]. On peut toutefois essayer de remédier à ce problème en introduisant la notion d’états et d’observables pour pouvoir traiter de manière similaire les objets classiques et quantiques [99]. Pour un système physique, on parle d’état pour la donnée d’un ensemble de paramètres qui déterminent complètement l’evolution du système et on appelle observable toute grandeur que l’on peut mesurer dans cet état. Si on note µ l’état d’un système, on veut que µ soit une forme linéaire sur la famille des observables.

Dans cette thèse, on va s’intéresser essentiellement à des systèmes dynamiques issus de la mécanique hamiltonienne (ou alors préservant la forme symplectique canonique). Le but de ce chapitre est d’exposer (brièvement) les résultats généraux de systèmes dynamiques qu’on utilisera tout au long de cette thèse . Le point central de ce chapitre est de définir une quantité qui estime la complexité d’un système dynamique. Par mesurer la complexité d’un système dynamique, on entend mesurer la vitesse de séparation des trajectoires (ou de manière équivalente le caractère imprévisible de l’évolution). L’entropie fournit une quantité pouvant jouer ce rôle. On verra aussi comment celle-ci est reliée aux coefficients de Lyapunov du système. Ce chapitre est un bref survol de ces questions. Des ouvrages de référence sur le sujet sont en particulier les livres de Cornfeld-Fomin-Sinai [29] et Walters [100] pour l’aspect théorie ergodique et ceux de Hasselblatt-Katok [52] et Brin-Stuck [24] pour l’aspect systèmes dynamiques différentiables. Les choix d’exemples de systèmes dynamiques sont guidés par ceux que l’on sera amené à rencontrer dans la suite (flots hamiltoniens, difféomorphismes symplectiques du tore).

Maintenant qu’on a introduit la notion de système dynamique, on présente une quantité permettant de caractériser la complexité d’un système dynamique : l’entropie . Il y a de nouveau un point de vue topologique et un point de vue mesurable (qui sont liés). L’idée est de définir un nombre réel positif qui satisfera le principe suivant : ‘plus le système dynamique est complexe (chaotique), plus son entropie est élevée’. Dans ce paragraphe, on présentera plusieurs définitions (toutes équivalentes) de cette quantité. L’ordre des définitions n’est pas l’ordre historique : on a préféré partir d’une vision plus géométrique (avec le formalisme de Bowen) et finir avec la définition générale de Kolmogorov Sinai (issue de la théorie de l’information). Il existe encore d’autres définitions et extensions du concept d’entropie que nous ne présenterons pas ici .

Une des questions centrales de ce mémoire est de comprendre l’influence du caractère chaotique d’un système dynamique hamiltonien sur son pendant quantique. Pour cela, il faut commencer par définir précisément une procédure permettant d’associer à un système classique (i.e. un espace des phases et une famille d’observables) un système quantique (i.e. un espace de Hilbert et une famille d’opérateurs). Une manière naturelle de faire cela est donnée par les outils d’analyse semi-classique .

Le rapport de stage ou le pfe est un document d’analyse, de synthèse et d’évaluation de votre apprentissage, c’est pour cela chatpfe.com propose le téléchargement des modèles complet de projet de fin d’étude, rapport de stage, mémoire, pfe, thèse, pour connaître la méthodologie à avoir et savoir comment construire les parties d’un projet de fin d’étude.

Table des matières

Introduction
Présentation des résultats
Entropie des mesures semi-classiques
Déviations des mesures semi-classiques
Organisation de la thèse
1 Systèmes dynamiques et entropie
1.1 Systèmes dynamiques
1.2 Entropie d’un système dynamique
1.2.1 Une approche ‘géométrique’
1.2.2 La définition de Kolmogorov-Sinai
1.3 Entropie et exposants de Lyapunov
1.3.1 Propriété d’Anosov
1.3.2 La décomposition d’Oseledets
1.3.3 La formule de Ruelle
1.4 Reparamétrage d’un système dynamique
1.4.1 Flots suspendus d’un automorphisme
1.4.2 Reparamétrage des flots
1.4.3 Théorèmes d’Abramov
2 Quelques éléments d’analyse semi-classique
2.1 Quantification d’un système classique
2.1.1 Cadre géométrique classique
2.1.2 Procédé de quantification
2.1.3 Groupe d’Heisenberg
2.2 La phase stationnaire
2.3 Quantification des observables
2.3.1 Quantification de Weyl
2.3.2 Observables admissibles
2.3.3 Quantification positive
2.4 Théorème d’Egorov et temps d’Ehrenfest
2.4.1 Théorème d’Egorov
2.4.2 Représentation métaplectique
2.5 Passage aux variétés
Conclusion