Déformation de la goutte et formation du sac

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Détermination de la vitesse de chute

On peut estimer la vitesse de chute de la bandelette par une loi de type Poiseuille [46, 47]. En l’adaptant au cas d’une cellule de Hele-Shaw, on trouve comme expression de la vitesse : V0 = g e2 (2.1).
Cependant, du fait de la petite taille de la bandelette, on ne peut pas négliger la dissipation dans les coins. Bico et Quéré [10] ont étudié en détail la chute de petits objets liquides dans des capillaires et ont montré l’importance des angles de contact dans l’évaluation de la vitesse de chute. En effet, la mesure expérimentale de la vitesse diffère de celle prédite
à l’aide d’un modèle de type Poiseuille. Cette différence devient de plus en plus marquée lorsque la taille de l’objet liquide est petite. La prise en compte de l’hystéresis des angles de contact fait ressortir un gradient de pression au sein du fluide s’opposant au mouvement.

Vitesse de chute d’un milieu infini ou semi-infini

Tout d’abord, calculons la vitesse d’un fluide infini au sein de la cellule de Hele-Shaw. Soient deux plaques verticales rigides et parallèles séparées d’une distance e. L’axe vertical z est dirigé vers le haut et est placé à mi-distance entre les plaques. L’axe horizontal x est perpendiculaire aux plaques et l’axe horizontal y est parallèle aux plaques. Dans ces coordonnées, les plaques sont situées dans le plan (y, z) et situées en e/2 et −e/2. Soit un fluide de masse volumique ρ, de viscosité dynamique ν soumis au champ de gravité →−. g Ecrivons les équations de Navier-Stokes : ∂→− →− →−= 1 →− + Δ→−+ →−+ ∂t ∇ − ρ ∇ →−V V . V p ν V g (2.2)
avec V la vitesse du fluide. En se plaçant dans un régime stationnaire, la vitesse V ne dépend plus du temps. Par conséquent, le premier terme de l’équation précédente devient nulle. De même, pour des raisons de symétrie, la vitesse ne dépend pas des coordonnées y et z. Enfin la vitesse est dirigée uniquement selon l’axe des z. On peut donc écrire : V V x z (2.3) −→ = z ( )ˆ.

Détermination expérimentale de la loi de Tanner

Les effets des angles de contact dominent la dynamique de la bandelette. Nous allons donc par la suite utiliser le nombre capillaire Ca comme valeur caractéristique de cette instabilité. En effet, le nombre capillaire exprime le rapport des forces visqueuses sur les forces dues à la tension de surface. Ce nombre s’exprime comme suit : Ca = η V (2.13).
Ce nombre sans dimension détermine la vitesse de chute de la bandelette et de quelle manière elle se déstabilise. Nous utiliserons donc le nombre capillaire Ca comme paramètre de contrôle adimensionné de l’instabilité.
Nous allons utiliser par la suite la loi de Tanner [65]. Cette loi donne une relation liant l’angle de mouillage d’une ligne de contact mobile avec la vitesse d’avancée de cette dernière. Nous avons voulu nous assurer expérimentalement de la dépendance du rayon de courbure avec le nombre capillaire Ca. Nous avons donc mesuré expérimentalement l’angle de contact d’avancée en fonction de la vitesse de déplacement d’un petit objet liquide dans un tube capillaire. Pour cela, nous introduisons une très faible quantité d’huile silicone que nous forçons ensuite à se déplacer. Nous observons l’avancée du liquide grâce à un microscope binoculaire et nous mesurons le rayon de courbure d’avancée en fonction de la vitesse que nous imposons.

Effet de taille finie

En observant en détail les angles de contact au niveau de chaque interface, on constate que l’angle de contact d’avancée, c’est-à-dire l’angle entre l’interface mobile et le substrat est plus grand que l’angle de contact statique, c’est-à-dire lorsque le fluide est au repos. De même, au niveau du front arrière du liquide, on observe que le fluide mouille complètement la paroi, car un film très mince de liquide est déposé sur le substrat. Les rayons de courbure entre les deux interfaces ne sont pas les mêmes. Le régime stationnaire est obtenu en égalisant les différentes forces de pression s’exerçant sur le fluide. Nous avons d’un côté la pression dynamique due au mouvement du fluide, et de l’autre un gradient de pression dû à la différence de courbure en amont et en aval du liquide. On utilise la loi de Bretherton [13] pour avoir une estimation du rayon de courbure de recul et la loi de Tanner [65] pour celle d’avancée. Il est ainsi possible d’obtenir une relation implicite sur la vitesse.
Pour cela, faisons un bilan de force par unité de longueur d’une bande fluide d’épaisseur h s’écoulant entre deux plaques parallèles séparées d’une distance e, figure 2.7.
Nous avons tout d’abord la force de pesanteur qui va être le moteur du mouvement : P = ρ g e h (2.17).
Nous avons également la force de frottement visqueux à la paroi qui s’oppose au mouve-ment : h F = 12 η V (2.18).

Influences des perturbations du film de prémouillage

Le calcul de la vitesse de chute montré précédemment, suppose que le film de pré-mouillage est non perturbé. Nous pouvons estimer l’effet d’une brusque variation de l’épais-seur du film de prémouillage sur la vitesse d’avancé.
Pour cela nous supposons que le rayon d’avancée reste constant et nous allons estimer la différence de l’angle d’avancée au moment du passage de la perturbation. L’angle d’avancé est donné par la relation suivante : θ = e (2.36). avec e l’entrefer et Ra le rayon de courbure d’avancé. Lorsque le front arrive sur une perturbation, la valeur de l’angle est modifiée comme suit : θm = e − ǫ Ra 2 (2.37).
avec ǫ l’épaisseur de la perturbation. En prenant une vitesse de chute élevé, Ca ∼ 0.1 et une épaisseur de perturbation égale à deux fois l’épaisseur du film de prémouillage calculé à l’aide de l’expression de Bretherthon, la différence entre les angles d’avancés non perturbé et perturbé est d’environ 30°, soit en estimant les vitesses, un facteur 4 entre la vitesse d’avancée non perturbé et la vitesse d’avancé au niveau de la perturbation. Ce facteur est une limite haute de notre estimation, car nous avons pris des vitesses de déplacement plus rapide que nos mesures. L’épaisseur du film de prémouillage est sujet au développement de fluctuations d’épais-seur lorsque la cellule de Hele-Shaw n’est plus placée verticalement. Dans ce cas, une in-stabilité de type Rayleigh-Taylor se développe. Limat [39] a montré qu’il existait 5 régimes d’instabilité en fonction de l’épaisseur du fluide et de la viscosité. Dans la gamme d’épais-seur fluide et de viscosité, nous nous trouvons dans le régime couche mince visqueuse. Nous pouvons alors, en utilisant ses résultats, estimer le temps d’instabilité de cette couche de pré-mouillage. En utilisant notre fluide le moins visqueux, une épaisseur de prémouillage la plus épaisse et un entrefer de cellule le plus grand, le temps caractéristique de l’instabilité est supérieur à 4 min.
Cependant, dans ces mêmes conditions, la bandelette parcours la cellule en moins d’une minute. Par conséquent, les perturbations du film de prémouillage n’ont pas le temps de se développer et donc de perturber la vitesse d’avancé de la bandelette.

Nombre caractéristique

Lorsqu’une goutte rencontre un courant gazeux, deux forces sont en compétition. La pression de l’air exercée au point de stagnation, ainsi que la dépression liée à la vitesse de l’air sur les côtés, entraînent une force de déformation ρa (ΔV )2, tendant à aplatir la goutte sous forme de crêpe perpendiculairement à l’écoulement. D’autre part, les forces de tension de surface, σ/d0, tendent, elles, à ramener la goutte sous forme sphérique.
Le rapport de ces deux forces nous donne le nombre de Weber : W e = ρa (ΔV )2 d0 (3.1).
avec ρa la masse volumique de l’air et (ΔV )2 la vitesse relative de la goutte dans le jet d’air ascendant. Cette vitesse s’écrit dans le référentiel du laboratoire : ΔV = Vchute + Vair (3.2).
Lorsque le nombre de Weber devient plus grand que 1, les effets capillaires ne sont plus assez importants pour maintenir une forme sphérique. L’aspect de la goutte se modifie pour prendre la forme d’une crêpe et va ensuite se casser via le mécanisme du bag-breakup.

Chronologie

La série d’images sur la figure 3.3 montre l’évolution d’une goutte liquide dans un jet d’air  ascendant au cours du temps. Sur les premières images, on voit la goutte descendre à une vitesse constante et garder une forme ovoïde. A partir de l’image 5, la goutte commence à se déformer, le nombre de Weber est devenu plus grand que 1, les forces de tension de surface n’arrivent plus à compenser la déformation de la goutte. On observe alors l’évolution vers une forme de crêpe, puis les prémices du sac qui va ensuite se gonfler. Ce sac se déchire et la récession de la nappe liquide fragmente le bourrelet.
La série d’images sur la figure 3.4 donne une vue plus détaillée sur la formation, le gonflement et la rupture du sac. On remarque sur ces séries différentes une atomisation riche en fragments.

Gonflement du sac

Pour comprendre et prédire comment un sac se forme et se gonfle sur une goutte, il est nécessaire de comprendre comment cette dernière se met sous forme de crêpe. Placé dans un fluide en mouvement, un corps de symétrie de révolution admet deux points d’arrêt ou points de stagnation. Dans le repère lié au corps, la vitesse du fluide est nulle en ces points. Ces points sont situés en amont et en aval du courant. La loi de Bernoulli implique une relation liant la pression au sein du fluide et la vitesse de ce dernier. Ainsi les pressions dans le fluide au niveau des points d’arrêt sont plus forte que sur sur les bords. Ainsi une surpression se créée de part et d’autre de la goutte dans la direction de l’écoulement, tandis qu’une dépression se forme sur le pourtour de la goutte. Ces zones de surpression et de dépression déforment la goutte en forme en crêpe.

Description du courant gazeux

On ne peut pas décrire l’ensemble de la transition de la forme sphérique à une forme de crêpe. Cependant, nous pouvons utiliser une description faible pente à une dimension. Pour cela, nous considérons que la goutte est déjà partiellement écrasée et nous allons décrire son aplatissement en une fine crêpe.
Soit une goutte liquide de masse volumique ρ, de tension de surface σ et de diamètre initial d0, placée dans un courant gazeux de masse volumique ρa et de vitesse V∞.

Un milieu à la fois simple et complexe

Les mousses se comportent de manière étonnement complexe, surtout au regard de leur simplicité apparente. En effet, une mousse est constituée d’un ensemble de petits volumes gazeux appelés cellules qui sont séparées par une fine paroi liquide ou solide appelée séparatrice. Du fait de sa grande contenance de gaz, la densité d’une mousse est très faible.
Les systèmes de mousses sont très largement utilisés dans l’industrie et dans notre quotidien. Faire la vaisselle, se savonner, se raser ou faire la lessive, voici quelques exemples de mousses que l’on peut produire chez soi. On retrouve également les mousses dans l’agro-alimentaire comme les mousses au chocolat, les oeufs battus en neige ou certaines boissons, alcoolisées ou non, qui forment une mousse à leur surface. La figure 5.1 donne un exemple d’une boisson que l’on fabrique depuis l’antiquité.
Dans le cas des boissons, le processus de création des mousses est dû au dégazage rapide des gaz contenus dans la boisson en présence d’aspérités et de sites de nucléation sur la surface du contenant. Selon la nature des liquides et des gaz dissous, les bulles ainsi créées vont former une mousse à la surface du liquide. Les différents groupes de Champagne™souhaitent avoir les plus fines bulles possible sans aucune mousse en surface. A contrario, le groupe Guinness™remplace le gaz dissous de leur boisson par de l’azote dans le but d’avoir une mousse qui dure plus longtemps. La dynamique d’une mousse dépend du gaz contenu dans ses cellules et du liquide constituant les parois.
Les mousses sont également utilisées comme moyen de lutte contre les incendies, en particulier contre les feux d’hydrocarbures. Du fait de sa faible densité, la mousse reste à la surface des hydrocarbures et étouffe ainsi les feux.
Les industries chimiques et minières utilisent aussi des systèmes de mousse pour récu-pérer certains composés chimiques ou les fines, principalement par réactions chimiques. La mousse contient un agent qui réagit et fixe certains composés. La très faible densité de la mousse lui permet de flotter et de rester au dessus de n’importe quel liquide. Il est ainsi aisé de la récupérer pour la traiter et recueillir les composés recherchés.
Toutefois, toutes les mousses évoluent et vieillissent. Cette dégradation se fait de deux manières. La première est la disparition des cellules au niveau de la surface de la mousse. Le film liquide devient trop mince puis casse et la cellule disparait. Cette disparition dépend de la surface d’échange entre la mousse et le milieu ambiant, elle devient négligeable dès lors que le volume de la mousse devient très grand par rapport à la surface d’échange. La deuxième manière est inhérente à la mousse elle-même. Certaines cellules se vident dans d’autres. On observe alors la disparition des petites cellules au profit des grosses. C’est le phénomène du mûrissement.
Nous montrons un exemple de mûrissement sur la figure 5.2 avec quatre photos mon-trant quatre instants différents de la vie d’une mousse de savon dans un tube. Au début, la mousse se compose d’une multitude de petites cellules et au fur et à mesure que la mousse vieillit, le nombre de cellules diminue, tandis que leur taille augmente.
Denis Weaire et Stefan Hutzler [76] ont écrit un ouvrage de référence sur le sujet.

Un milieu en perpétuelle évolution

Jusqu’à présent, nous nous sommes intéressés à des systèmes instables ayant pour fina-lité une fragmentation. Dans le cas présent, nous avons un système métastable ne donnant pas lieu à une fragmentation. L’évolution de la mousse au cours du temps est une suc-cession d’états mécaniques stables et les transformations mécaniques se font de manière quasi-statique. Toutefois, le système évolue chimiquement en continu via un processus de diffusion de gaz entre ces cellules constitutives.
Nous sommes en présence d’un système évoluant dans le temps et qui peut être re-présenté de manière statistique avec les outils que nous avons utilisés précédemment. De plus, le phénomène de mûrissement est d’une manière générale une disparition d’un cer-tain nombre de cellules au profit d’autres. Cette dynamique est comparable à un processus d’agrégation. Nous avons vu précédemment que la fragmentation liquide fait intervenir à la fois des processus de brisure mais également des processus d’agrégation, permettant l’évolution d’un état initial quasi homogène vers un état distribué. Nous sommes ici avec un système ayant une dynamique semblable à un processus agrégatif.
De la même manière qu’une bande évoluant dans une cellule de Hele-Shaw, qu’une goutte soufflée par un jet gazeux ou qu’une goutte impactant une cible, nous sommes toujours en présence d’un système ayant un certain état de base évoluant au cours du temps. Le nombre d’objets et leur taille varie également au cours du temps. La figure 1.4 présentée dans l’introduction montre un parallèle entre toutes nos études et illustre que si les objets et les mécanismes physiques sont différents, les évolutions produisent les mêmes effets.

Table des matières

1 Introduction 
1.1 L’art de fragmenter un liquide
1.2 Présente étude
2 Instabilité de la dégoulinure 
2.1 Introduction
2.2 Description du phénomène
2.3 Montage expérimental
2.4 Détermination de la vitesse de chute
2.4.1 Vitesse de chute d’un milieu infini ou semi-infini
2.4.2 Détermination expérimentale de la loi de Tanner
2.4.3 Effet de taille finie
2.4.4 Influences des perturbations du film de prémouillage
2.5 Gradient de pression
2.5.1 Expression du gradient de pression
2.5.2 Expression simplifiée du gradient de pression
2.6 Détermination et étude de la relation de dispersion
2.6.1 Expression de la relation de dispersion
2.6.2 Taux de croissance
2.6.3 Comparaison expérimentale
2.6.4 Rapport d’amplitudes
2.7 Evolution des ponts liquides
2.7.1 Au-delà du régime linéaire
2.7.2 Courbure et amincissement
2.7.3 Limite du modèle
2.7.4 Évolution de l’épaisseur et du rayon de courbure
2.8 Formation des gouttes
2.9 Conclusion
3 Bag-breakup et pluie 
3.1 Introduction
3.2 Méthodes d’investigation
3.3 Impacts gazeux
3.3.1 Nombre caractéristique
3.3.2 Chronologie
3.4 Vitesse en sortie de tube
3.4.1 Vitesse sans aspiration
3.4.2 Vitesse en présence d’aspiration
3.5 Déformation de la goutte et formation du sac
3.6 Gonflement du sac
3.6.1 Description du courant gazeux
3.6.2 Modélisation de la crêpe
3.6.3 Gonflement du sac
3.7 Statistique de la brisure
3.7.1 Relation entre diamètre initial et taille moyenne
3.7.2 Taille du bourrelet
3.7.3 Distribution des tailles de gouttes
3.7.4 Comparaison avec les mesures météorologiques
3.8 Conclusions
4 Impact sur un solide 
4.1 Introduction
4.2 Méthodes d’investigation
4.3 Impacts sur une cible de petite taille
4.3.1 Chronologie
4.3.2 Influence du nombre de Weber
4.3.3 Temps d’impact
4.4 Évolution du bourrelet extérieur
4.5 Épaisseur de la nappe
4.6 Modèle masse ressort
4.7 Vitesse au sein de la nappe
4.8 Évolution des perturbations du bourrelet
4.8.1 Mécanismes d’instabilités du bourrelet
4.8.2 Prise en compte de l’évolution du bord
4.9 Statistique de la brisure
4.9.1 Fragmentation composée
4.10 Conclusion
5 Les systèmes de mousse 
5.1 Le mûrissement
5.1.1 Un milieu à la fois simple et complexe
5.1.2 Un milieu en perpétuelle évolution
5.1.3 Mousse 2D
5.1.4 Système fermé et soufflerie à mousse
5.2 Montage expérimental
5.2.1 Réservoir fermé
5.2.2 Soufflerie à mousse
5.2.3 Suivi des cellules dans les mousses
5.3 Système fermé
5.3.1 Surface moyenne des cellules
5.3.2 Distribution des surfaces
5.4 Soufflerie à mousse
5.4.1 Surface moyenne des cellules
5.4.2 Distribution des surfaces
5.4.3 Loi de von Neumann
5.4.4 Distribution du nombre de côtés
5.4.5 Loi de Lewis
5.5 Distribution des surfaces conditionnées au nombre de voisins.
5.6 Conclusions
6 Conclusion
A Effets de surface 
A.1 Tension superficielle
A.2 Ouverture d’une nappe liquide
A.3 Instabilité de Rayleigh-Taylor
B Traitements d’images 
B.1 Traitements d’images
B.1.1 Élimination de l’image de fond
B.1.2 Extraction de contours
B.1.3 Echantillonnage
B.2 Analyse .
B.2.1 Détermination des taux de croissance et des longueurs d’onde
B.2.2 Mesures des surfaces des gouttes
C Instabilités induites par la gravité 
C.1 Contexte et motivations
C.2 Vitesse de descente d’un fluide seul
C.2.1 Résultats expérimentaux
C.2.2 Détermination théorique de la vitesse de chute
C.3 Instabilité de Saffman-taylor induite par la gravité
C.3.1 Description quantitative
C.3.2 Sélection de mode
C.3.3 Taux de croissance
C.4 Théorie .
C.4.1 Etat de base
C.4.2 Vitesse moyenne de l’interface
C.4.3 Stabilité
C.4.4 Critère d’instabilité
C.4.5 Explication physique du phénomène
C.4.6 Taux de croissance maximal
C.4.7 Adimensionnement des résultats
C.5 Universalité de l’instabilité
D Tube de Pitot 
D.1 Ecoulement laminaire
D.2 Ecoulement turbulent

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