Soutenance mémoire
La trigonométrie est importante et utile, avec des applications directes dans des situations réelles que l’on retrouve dans les programmes d’enseignement des mathématiques du secondaire avec notamment le calcul des longueurs (longueurs/distances inaccessibles), des angles, des aires, des surfaces et des volumes d’un solide, etc. De plus, elle est un outil/objet important dans d’autres disciplines comme par exemple pour les sciences physiques avec notamment les mouvements oscillants, l’électricité, l’optique, les ondes électromagnétiques, l’astronomie, etc. En analyse, les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions de base dans l’étude des séries de Fourrier, outil fondamental pour l’étude des fonctions périodiques dans l’analyse harmonique. Dans les deux institutions, française et cambodgienne, du secondaire, la trigonométrie est déclinée en trois thèmes : Trigonométrie du triangle, Trigonométrie du cercle trigonométrique et Fonctions trigonométriques, se situant respectivement dans le domaine de la géométrie euclidienne, celui de la géométrie repérée et celui de l’analyse ; et, il y a certainement des passages de l’un vers l’autre dans cet ordre, sur le temps long, à travers les cinq dernières années dans le secondaire en France (de la quatrième à la Terminale Scientifique) et les trois années du lycée au Cambodge. C’est le point de départ de notre réflexion. Malgré l’importance de la trigonométrie et des fonctions trigonométriques dans les curriculums, ces thèmes sont peu traités en didactique des mathématiques, notamment dans le contexte français. Ils sont pourtant présents de longue date dans les curriculums français et cambodgien. Nous nous intéressons plutôt à l’apprentissage par les élèves de ces concepts mathématiques dans l’enseignement secondaire, ainsi qu’à leurs difficultés de compréhension.
État de l’art
La trigonométrie et les fonctions trigonométriques du secondaire sont peu traitées dans la recherche en didactique des mathématiques. La plupart des recherches existantes s’intéressent aux difficultés et à la compréhension de la trigonométrie et des fonctions trigonométriques des élèves du secondaire et au début de l’université. Il semble qu’il y ait consensus entre les auteurs sur les résultats obtenus dans les travaux de recherche. Ces résultats montrent que les élèves ont des difficultés à s’approprier et à mettre en fonctionnement les objets cosinus et sinus enseignés. Concernant les objets cosinus et sinus du secondaire, les élèves rencontrent les trois contextes suivants :
(1) Trigonométrie dans le triangle rectangle ;
(2) Trigonométrie dans le cercle unité ;
(3) Fonctions trigonométriques.
Dans cette revue de travaux, nous différencions les recherches suivant le point de vue qu’elles mettent en avant pour définir les fonctions trigonométriques. Remarquons d’abord que la majorité des articles sur la trigonométrie se désintéresse de l’analyse curriculaire.
Recherches privilégiant la relation aux angles
Concernant les deux articles de Weber (2005, 2008), nous ne traitons pas l’article de 2008 car il n’apporte pas davantage d’éléments par rapport à celui de 2005 que nous allons présenter ci-après. Ne sont considérés dans l’article de Weber 2005 que des sinus et cosinus de mesure d’angles en degrés. Donc les fonctions considérées ne sont pas les fonctions sinus et cosinus usuelles en analyse. Ensuite, quand l’auteur évoque un enseignement de la trigonométrie basé sur le cercle unité, il ne s’agit aucunement de faire intervenir la longueur des arcs. À un angle au centre donné, on associe un point du cercle et ses coordonnées. L’auteur mentionne l’existence d’une recherche à grande échelle (Kendal & Stacey, 1997) ayant montré que l’approche par le triangle rectangle donnait de meilleurs résultats que celle par le cercle unité ci-dessus. Un groupe d’étudiants (de niveau début de l’université aux USA) est soumis à un module expérimental avec une pédagogie «active » inspirée de D. Tall (travaux de groupes et discussion). Les activités sont centrées sur le point de vue fonctions comme processus (computing) de façon à ce que les étudiants construisent un point de vue procept. Il s’agit d’abord d’estimer des valeurs en utilisant l’un ou l’autre des deux modèles possibles d’un angle connu par sa mesure en degrés : angle au centre du cercle trigonométrique auquel est associé un point du cercle et ses coordonnées, angle d’un triangle rectangle. Des angles obtus sont considérés grâce au premier modèle. Le modèle n’est pas donné aux étudiants, ils doivent le construire avec Papier-Crayon et rapporteur pour une mesure donnée. Ceci est rendu possible par le choix de travailler avec des mesures en degrés et pas en radians. Les tâches qui suivent ce travail peuvent être résolues sans estimer les valeurs, à partir de propriétés géométriques des modélisations (par exemple, comparer plusieurs valeurs de sinus à partir de leur modélisation sur le cercle, montrer que cos² + sin² = 1 , dire pour quelles valeurs la fonction sinus est décroissante) et c’est ce qui est visé. Des questions portent également sur la tangente. La périodicité n’est pas abordée. Les résultats au post-test de ce groupe sont très bons mais il faut noter une très grande proximité des tâches de cette évaluation avec les tâches travaillées pendant le module. Tuna (2013) se focalise sur les notions de degré et de radian comme unités de mesure des angles, sur le lien entre mesure en radian et longueur d’arc intercepté sur un cercle de rayon donné.
Tanguay (2010) aborde la question de l’enseignement des radians, sur la base de ses réflexions et de son expérience d’enseignant, au collégial (correspondant à la Première et à la Terminale en France) et en formation des maîtres à Montréal, au Canada. L’auteur y intègre aussi la possibilité de traiter, à l’aide d’une lecture graphique sur le cercle trigonométrique et à l’aide de la formule du taux d’accroissement d’une fonction, la dérivée de la fonction sinus avant tout enseignement formel des méthodes de dérivation, pour les élèves en 5e secondaire au Canada (correspondant à la Seconde en France). Concernant les radians, Tanguay précise : « […] Les auteurs des manuels […] introduisent tous la trigonométrie dans le cercle et la mesure d’angle en radians comme préalables à l’étude des fonctions trigonométriques. Parmi les nombreuses raisons qui motivent l’utilisation des radians dans ce contexte, la principale est sans doute que dans les domaines scientifiques où les fonctions trigonométriques ont un rôle central à jouer.
Recherches consacrées aux difficultés des élèves à articuler ‘angle au centre’ et ‘longueur d’arc’
Akkoc (2008) se concentre sur le « radian d’un angle » (The radian of an angle). Il faut d’abord noter que ce qui est ici nommé radian d’un angle est en fait le rapport de la longueur de l’arc intercepté sur un cercle par l’angle au centre avec le rayon du cercle. L’auteur précise bien que c’est un nombre réel. Il s’agit en fait de la mesure en radian d’un angle non orienté. L’auteur fait référence à la métaphore de l’enroulement en l’associant à la possibilité de définir des fonctions trigonométriques de la variable réelle, chose selon lui impossible avec les mesures en degrés, ce qui contredit le point de vue adopté par Weber. Dans l’article de Akkoc (2008), l’étude vise à déterminer le concept-image du radian construit par des professeurs de mathématiques stagiaires en Turquie, grâce à un questionnaire suivi de l’interview de 6 professeurs dont les réponses au questionnaire dessinent des concept-image différents.
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Table des matières
Introduction
Chapitre 1 : Problématique et méthodologie
1. Questions préliminaires
2. État de l’art
2.1. Recherches privilégiant la relation aux angles
2.2. Recherches consacrées aux difficultés des élèves à articuler entre ‘angle au centre’ et ‘longueur d’arc’
2.3. Recherches privilégiant la longueur de l’arc de cercle (enroulement)
2.4. Recherches prenant appui sur le mouvement
2.5. Recherche faisant intervenir des arcs de cercle de rayon non unitaire
2.6. Synthèse
3. Cadre théorique
3.1. Emprunts à la Théorie Anthropologique du Didactique
3.1.1. Praxéologie mathématique
3.1.2. Transposition didactique
3.1.3. Modèle épistémologique de référence (ou OM de référence)
3.2. Outils d’analyse des tâches de la Double Approche
3.3. Outils empruntés à la Théorie des Situations Didactiques
4. Méthodologie générale de la thèse
4.1. Étude des rapports institutionnels : méthodologie de l’étude des programmes et des manuels
4.2. Étude des rapports personnels : questionnaire d’évaluation des effets de l’enseignement
4.3. Étude mathématique
4.4. Mise en place d’une situation didactique
Chapitre 2 : Étude de curriculum
1. Méthodologie de l’étude des programmes et des manuels
1.1. Méthodologie d’analyse des manuels français depuis la 4e jusqu’à la Terminale Scientifique
1.2. Méthodologie d’analyse des manuels officiels cambodgiens au lycée (10e , 11e et 12e )
2. Méthodologie pour les OM locales
2.1. Méthodologie pour Types de tâches
2.2. Méthodologie pour Techniques associées
2.3. Méthodologie pour Technologies associées
3. Étude du curriculum français
3.1. Trigonométrie du triangle rectangle
3.1.1. Triangle rectangle : cosinus d’un angle
3.1.2. Trigonométrie en 3e
3.2. Trigonométrie dans le cercle trigonométrique
3.2.1. Trigonométrie en Seconde
3.2.2. Trigonométrie en Première Scientifique
3.2.2*. Applications du « Produit scalaire dans le plan »
3.3. Fonctions trigonométriques en Terminale Scientifique
3.4. Vision globale
4. Étude du curriculum cambodgien
4.1. Introduction
4.2. Trigonométrie en 10e
(Seconde en France)
4.2.1. Leçon 1 : Rapports trigonométriques
4.2.2. Leçon 2 : Application des rapports trigonométriques
4.3. Fonctions trigonométriques en 11e
(1re Scientifique en France)
4.3.1. Leçon 1 : Fonctions trigonométriques
4.4. Fonctions trigonométriques en 12e : Limites et Dérivabilité
5. Comparaison de l’organisation mathématique entre les deux institutions française et cambodgienne
5.1. OMLTriangle
5.1.1. OMLTriangleR – Institution française (la 4e et la 3e ) vs. Institution cambodgienne (la 10e )
5.1.2. OMLTriangleQ – Institution française (la 1re Scientifique) vs. Institution cambodgienne (la 10e )
5.2. OMLCTrigo
5.2.1. OMLCTrigoCSréel – Institution française (la Seconde) vs. Institution cambodgienne (aucune classe)
5.2.2. OMLCTrigoCSAngOr – Institution française (la 1re Scientifique) vs. Institution cambodgienne (la 10e et la 11e)
5.3. OMLFoncTrigo – Institution française (Terminale Scientifique) vs. Institution cambodgienne (la 11e)
6. Conclusion
Chapitre 3 : Définitions mathématiques des fonctions cosinus et sinus
1. Fonctions cosinus et sinus d’un angle orienté
1.1. Isométries vectorielles d’un espace euclidien de dimension finie
1.2. Cas de la dimension 2
1.2.1. Propriétés des rotations de dimension 2
1.2.2. Angles orientés de vecteurs unitaires
1.2.3. Orientations de l’espace euclidien et mesure des angles orientés
1.2.4. Lien avec la géométrie affine euclidienne
1.2.5. La question de la mesure des angles
2. Fonctions cosinus et sinus d’une variable réelle
2.1. Fonction exponentielle complexe
2.2. Restriction de la fonction exponentielle complexe
2.3. Cercle unité dans
2.4. Fonctions cosinus et sinus d’une variable réelle
3. Longueur d’un arc de cercle – Enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique
3.1. Longueur d’un arc
3.2. Interprétation de la droite numérique sur le cercle trigonométrique
3.3. Angle et mesures d’angle
Chapitre 4 : Identification des connaissances apprises des élèves
Conclusion
