Soutenance mémoire
Du 23/05/2022 au 12/08/2022, j’ai effectué un stage de recherche au sein du Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem (LMRS). Le LMRS, situé à l’UFR des Sciences et Techniques, Université de Rouen Normandie, Avenue de l’Université, BP.12, 76801 Saint-Étiennedu-Rouvray, en France, est associé au Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS) depuis 1979. Pendant mon stage, j’ai été co-encadrée par M. Mohamed BEN ALAYA (Professeur d’Université et responsable de l’équipe statistique du LMRS) et M. Nicolas VERGNE (Maître de Conférence et membre de l’équipe statistique du LMRS), avec qui j’ai pu me former dans d’excellentes conditions. Dans un premier lieu, mon stage consiste en la lecture de livres et articles scientifiques amenant à la compréhension des modèles financiers de Black-Scholes et de Heston. Ensuite il porte sur l’étude des méthodes de pricing et de calibration de ces modèles et enfin sur la construction d’un réseau de neurones artificiels (RNA ou ANN en anglais pour Artificial Neural Network) pour calibrer ces modèles.
Environnement, contexte et objectifs du stage
Le secteur : secteur public de la recherche et de l’enseignement supérieur
Le secteur public de la recherche regroupe les entités qui exécutent ou financent des travaux de recherche et de développement expérimental (R&D) pour l’État, pour les établissements de l’enseignement supérieur ou pour les institutions sans but lucratif (associations et fondations). Le LMRS est sous la tutelle des deux organismes suivants :
Université de Rouen-Normandie L’Université de Rouen Normandie (auparavant Université de Rouen), est une université internationale française pluridisciplinaire, basée à Rouen en Normandie.
CNRS Le Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS) est le plus grand Établissement Public français à caractère Scientifique et Technologique (EPST), placé sous la tutelle administrative du ministère de l’Enseignement supérieur, de la Recherche et de l’Innovation.
Le laboratoire LMRS
LMRS – UMR 6085 Le Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem (LMRS) est un laboratoire de mathématiques pures et appliquées, localisé à UFR des Sciences et Techniques, Université de Rouen Normandie Avenue de l’Université, BP.12, 76801 Saint-Étiennedu-Rouvray, France. Associé au CNRS depuis 1979, il est une Unité Mixte de Recherche (UMR 6085), sous la double tutelle de l’Université de Rouen Normandie et du CNRS. Il est rattaché à l’Institut National des Sciences Mathématiques et de leurs Interactions (INSMI) et fait partie de la Fédération Normandie-Mathématiques.
Services et ses équipes Le LMRS est dirigé par M. Ionut DANAILA et est structuré en trois équipes :
— Équations aux dérivées partielles (EDP) et calcul scientifique : Analyse des équations aux dérivées partielles, applications en calcul scientifique, calcul haute-performance, parallélisation et optimisation de code ;
— Probabilités et systèmes dynamiques : Mécanique statistique et modèles spatiaux aléatoires, systèmes dynamiques et théorèmes limites, analyse stochastique, éléments de topologie et d’algèbre ;
— Statistique : Statistique des processus, processus de Lévy, méthodes de Monte-Carlo, statistique non-paramétrique, théorie de l’assurance et de la finance, contrôle optimal stochastique, modèles markoviens et semi-markoviens, statistique du génome.
Durant mon stage, j’étais rattachée à l’équipe de Statistique, dans le cadre de la thèse CIFRE de Djibril SARR, salarié-doctorant à la société FBH ASSOCIES et inscrit à l’université Sorbonne Paris Nord, co-encadré par M. Ahmed KEBAIER de l’Université d’Évry et M. Mohamed BEN ALAYA. Le titre de la thèse est « Modélisation et calcul de risque de défaut par des techniques d’intelligence artificielle et de Monte Carlo imbriqués ». Ce stage a permis à l’équipe de statistique du LMRS de s’initier à une nouvelle thématique de recherche autour de l’intelligence artificielle, machine learning, deep learning et RNA. Au sein de l’équipe, la thématique de recherche « Théorie de l’assurance et de la finance », est en relation avec le sujet de mon stage. M. Mohamed BEN ALAYA assure la responsabilité et l’animation de cette équipe et il est aussi mon encadrant de stage.
L’axe Finance
Notions de base
Options européennes
Une option financière est un produit dérivé, contrat entre deux parties, qui donne à l’acheteur le droit (le vendeur est en revanche tenu de se plier à la décision de l’acheteur) :
• d’acheter (option d’achat, appelée aussi call),
• ou de vendre (option de vente, appelée aussi put),
avec un prix d’exercice (strike) connu d’avance K et une date d’échéance T. Le résultat d’une option à son échéance (appelé couramment payoff) – i.e. ce que va toucher son détenteur – ne dépend que du prix du sous-jacent. On note St le prix du sous-jacent à l’instant t. Supposons que le gain des options européennes à l’instant T soit Ψ(ST ). Le payoff d’un call européen est donc
Ψcall(ST ) = (ST − K)+ = max(ST − K, 0),
et celui d’un put européen est
Ψput(ST ) = (K − ST )+ = max(K − ST , 0),
avec Ψ ∈ {Ψcall, Ψput} et la valeur de l’option au temps t ∈ [0, T] :
v(t, S) = e−r(T −t)EQ[Ψ(ST )|St = S]
Parité put-call
La parité put-call (Put-Call Parity) définit une relation entre le prix d’un call et celui d’un put, qui ont tous le même strike et la même échéance (maturité ou maturity en anglais). La formule suppose que les options ne sont pas exercées avant échéance (dans le cas des options européennes, il ne peut en être autrement).
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Table des matières
1 Introduction
2 Environnement, contexte et objectifs du stage
2.1 Le secteur : secteur public de la recherche et de l’enseignement supérieur
2.2 Le laboratoire LMRS
2.3 Contexte et problématique générale
2.4 Objectifs du stage
3 Travail réalisé
3.1 L’axe Finance
3.1.1 Notions de base
3.1.2 Méthodes de pricing
3.1.2.1 Modèle de Black-Sholes
3.1.2.2 Modèle de Heston
3.1.3 Méthodes de calibration
3.2 L’axe Machine Learning
3.2.1 Panorama du machine learning
3.2.2 Principe du RNA
3.2.3 Structure et conception des RNA pour le pricing
3.2.3.1 Étape forward
3.2.3.2 Étape backward : évolution différentielle (ED)
4 Résultats numériques et discussion
4.1 Méthodes de pricing
4.2 Étape forward
4.3 Étape backward
5 Conclusion et perspectives
Glossaire
