Cycles proches, cycles évanescents et théorie de Hodge

Hodge theory

In [Ste76] J. H. M. Steenbrink constructed a mixed Hodge structure on the cohomology of the Milnor fiber called the limit mixed Hodge structure. This construction relies on the monodromy autmorphism which comes from the lifting of a loop around 0 in the Milnor fibration. This study was continued by E. Cattani, A. Kaplan and W. Schmid in [Sch73, CKS86, CKS87] and M. Kashiwara and T. Kawai in [KK87] who described the degeneration of abstract polarized variations of Hodge structures on the complement of a normal crossing divisor. On the other hand, in [Zuc79], S. Zucker showed that the cohomology of a polarized variation of Hodge structure on a punctured Riemann surface admits a natural Hodge structure. Relying on these results M. Saito constructed in [Sai88] and [Sai90] the category of mixed Hodge modules which can be seen as « variations of mixed Hodge structures with singularities ». The nearby and vanishing cycles for perverse sheaves and for Dmodules play a key role in this construction.

Démonstration du théorème de comparaison pour un morphisme sans pente

Dans ce chapitre, on redémontre le théorème de comparaison des cycles proches pour un morphisme sans pente sans se ramener au cas d’une fonction. Cette démonstration passe par une étude approfondie de la structure locale d’un morphisme sans pente. On observera ainsi une situation analogue à celle de la fibration de Milnor. Dans la première section, on montre que, dans le cas sans pente, le morphisme Nils (3.4) est un isomorphisme. Dans la deuxième section, on démontre le théorème de comparaison pour une connexion méromorphe à singularité régulière le long d’un diviseur à croisement normal. On commence par démontrer un résultat de forme normale pour les singularités régulières similaire au cas classique en dimension 1. On démontre alors le théorème grâce à une description explicite de la filtration de Kashiwara-Malgrange et de ses gradués. Dans la troisième section, on démontre le théorème de comparaison dans le cas général. On va se ramener au cas précédent d’une connexion méromorphe en étudiant les images directes locales par le morphisme sans pente. N’étant plus dans le cas d’un morphisme propre, on a besoin du théorème d’image directe 1.2.20. On commence donc par vérifier que l’hypothèse sans pente implique que les conditions du théorème 1.2.20 sont satisfaites. On montre ensuite un théorème de commutation de la filtration de Kashiwara-Malgrange avec les images directes locales. On déduit finalement du cas d’une connexion méromorphe à singularité régulière le long d’un diviseur à croisement normal le théorème de comparaison dans le cas général.

Modules de Hodge mixtes sans pente

Dans ce chapitre, on définit une condition analogue à la condition sans pente pour un D-module filtré. Cette condition sera appelée R-multispécialisabilité stricte. On considérera en réalité le module de Rees associé à un module filtré (cf. A.2.6). On définira la R multispécialisabilité stricte pour un RFD-module. Dans la section 8.1, on définit la R-multispécialisabilité stricte. On établit ensuite le lien entre le cas des D-modules filtrés et celui des RFD-modules quand ceux-ci sont sous-jacents à un module de Hodge mixte. On verra que la notion de compatibilité des filtrations joue un rôle central (cf. A.2.3). Dans la section 8.2, on démontre la stabilité de la condition R multispécialisabilité stricte par image directe propre. C’est l’analogue du théorème d’image directe de M. Saito pour les modules de Hodge mixtes. L’approche utilisant les RFD-modules diffère de celle de M. Saito qui considère des D-modules filtrés. Ceci nous permet d’évoluer dans une catégorie abélienne et de manipuler plus aisément le foncteur d’image directe dans la catégorie dérivée correspondante. Dans la section 8.3, on étudie le comportement des filtrations par le poids. On s’attend à observer le même comportement que dans le cas d’une variation de structures de Hodge polarisable au voisinage d’un diviseur à croisement normaux. On démontre la stabilité de cette condition par image directe par un morphisme projectif. Dans la section 8.4, on s’intéresse au cas des hypersurfaces à singularité quasi-ordinaires. Certains modules de Hodge purs supportés sur de telles singularités apparaissent naturellement comme l’image directe de variation de structures de Hodge définies en dehors d’un diviseur à croisement normal. On pourra ainsi leur appliquer les résultats des sections précédentes.

Le rapport de stage ou le pfe est un document d’analyse, de synthèse et d’évaluation de votre apprentissage, c’est pour cela chatpfe.com propose le téléchargement des modèles complet de projet de fin d’étude, rapport de stage, mémoire, pfe, thèse, pour connaître la méthodologie à avoir et savoir comment construire les parties d’un projet de fin d’étude.

Table des matières

Introduction
I Cycles proches et cycles évanescents par un morphisme sans pente
1 Notions préliminaires
1.1 Fibration de Milnor, cycles proches et cycles évanescents topologiques
1.1.1 Fibration de Milnor
1.1.2 Cycles proches et cycles évanescents
1.2 Généralités sur les D-modules
1.2.1 D-modules cohérents
1.2.2 La variété caractéristique d’un D-module
1.2.3 La correspondance de Riemann-Hilbert
1.2.4 Image inverse et image directe
1.3 Cycles proches et cycles évanescents algébriques
1.3.1 V -filtration de Kashiwara-Malgrange
1.3.2 Cycles proches algébriques
1.4 Opérations sur les faisceaux
2 Morphismes sans pente
2.1 D-modules sans pente et V -multifiltration de Kashiwara-Malgrange
2.2 Gradués d’un DX-module sans pente et cycles proches algébriques
2.3 Morphismes sans pente dans le cas topologique
2.4 Cycles proches topologiques par un morphisme sans pente
2.5 Fonctions de classe de Nilsson
3 Morphisme de comparaison pour les cycles proches
3.1 Comparaison avec les gradués
3.2 Le morphisme Nils
3.3 Le morphisme Topo
3.4 Le morphisme de comparaison
4 Démonstration du théorème de comparaison pour un morphisme sans pente
4.1 Le morphisme Nils est un isomorphisme
4.2 Cas d’une connexion méromorphe à singularité régulière
4.2.1 V -multifiltration et gradués
4.2.2 Théorème de comparaison
4.3 Le théorème de comparaison : cas général
4.3.1 Images directes locales
4.3.2 Démonstration du théorème de comparaison
5 Théorème de commutativité pour les cycles évanescents
5.1 Cas d’une fonction
5.2 Cas de deux fonctions
5.3 Cas de p fonctions
II Théorie de Hodge et morphismes sans pente
6 Théorie de Hodge : modules de Hodge mixtes
6.1 Filtrations monodromiques relatives
6.2 Structures de Hodge-Lefschetz p-graduées polarisées
6.2.1 Structures de Lefschetz graduées polarisées
6.2.2 Structures de Lefschetz p-graduées polarisées
6.2.3 Structures de Hodge-Lefschetz p-graduées polarisées
6.3 Modules de Hodge-Lefschetz p-gradués polarisés
6.3.1 Modules de Hodge purs
6.3.2 Polarisation
6.3.3 Image directe
6.4 Modules de Hodge mixtes
6.4.1 Définition
6.4.2 Image inverse
6.4.3 Image directe
6.4.4 Localisation
6.4.5 Recollement
7 Théorème de commutativité des cycles proches et des cycles évanescents pour les modules de Hodge mixtes
7.1 Le module de Hodge mixte Nq,k
7.2 Calcul de la V -filtration de Mα,k
7.3 Le morphisme Nils
7.4 Morphisme naturel pour deux hypersurfaces
7.5 Application du foncteur d’oubli
7.6 Théorème de commutativité
8 Modules de Hodge mixtes sans pente
8.1 Condition de R-multispécialisabilité stricte
8.2 Image directe
8.3 Image directe des filtrations monodromiques relatives
8.4 Application : hypersurfaces à singularité quasi-ordinaire
A Hypercomplexes et filtrations compatibles
A.1 Hypercomplexes
A.2 Filtrations compatibles, suites régulières et complexes de Koszul
A.2.1 Filtrations compatibles
A.2.2 Construction de Rees
A.2.3 Suites régulières et complexes de Koszul