Courbure de Ricci et Courbure scalaire

Sur certains types de symétrie

C’est E. Cartan [13] qui a introduit la notion des espaces (localement) symétriques. Ce sont des variétés riemanniennes dont le tenseur de Riemann est parallèle (rR = 0), elles constituent une généralisation de la classe des variétés riemanniennes de courbure constante. Il s’intéressa ensuite aux variétés caractérisées par la condition R · R = 0. Z. I. Szabó a donné une classification de ces variétés qu’il appelle espaces semi symétriques ([56], [57]), ils sont aussi dits espaces symétriques au sens de Szabó. Il est clair que les espaces localement symétriques ainsi que tous les espaces de Riemann de dimension 2 sont des espaces semi symétriques. Cependant, il existe des exemples [58] d’espaces semisymétriques non localement symétriques. R. Deszcz [21] détermine une classe de variétés dite classe de variétés pseudo-symétriques ou espaces symétriques au sens de Deszcz. Dans ce chapitre, nous étudions les notions de pseudo-symétrie et des types de symétries qui en dérivent.

Pseudo-symétrie Il est bien connu que tout champ de tenseurs de type (1, 1) sur une variété différentielle, détermine une dérivation qui commute avec les contractions, sur l’algèbre des tenseurs. Ainsi, le champ de tenseurs agit comme un opérateur de dérivation sur tout champ de tenseurs T de type (0, k). Afin d’aborder la notion de pseudo-symétrie, nous avons besoin de définir, sur une variété riemannienne (M, g), un champ de tenseurs spécifique, de type (0, k+2) noté Q(A, T), associé à deux champs de tenseurs T et A de types respectifs, (0, k) et (0, 2) par :

Interprétaion géométrique de la courbure sectionnelle de Deszcz Soit u, v deux vecteurs de TpM. Levi-Civita construit, en 1917, un parallélogramoïde, dit squaroïde de Levi Civita, en considérant une géodésique _, issue du point p, de vecteur tangent u, et q un point de _ situé à un distance infinitésimale A de p. Notons par v_ le vecteur obtenu par le transport parallèle de v du point p au point q le long de la courbe _. Ensuite, considérons les géodésiques _p et _q issues respectivement, de p et q et tangentes respectivement, aux vecteurs v et v_. Fixons les points p et q respectivement, sur _p et _q à une même distance infinitésimale B respectivement, des points p et q , (cf. Figure 2.3). Soit _ la géodésique reliant les points p et q et soit A0 la distance géodésique entre p et q. Levi-Civita montra que, à une approximation du premier ordre près, la courbure sectionnelle du plan _ = u ^ v peut être exprimée par K(p, _) = A2 − A02 (AB sin _)2 , (2.5.8) où _ est l’angle entre u et v. Considérons maintenant au point p 2 M deux plans _ = u^v et _ = x ^ y, transportons parallèlement les deux vecteurs u et v le long du parallélogramme formé par les vecteurs tangents x, y en p (cf. Figure 2.1).

Construisons les deux parallélogramoïdes sur les vecteurs u, v et u_, v_, respectivement, de même longueurs A et B en complétant par les géodésiques de longueurs respectives A0 et A0_, qui sont à priori différentes. Plus précisément, nous obtenons, [35], une expression similaire à celle donnée dans (2.5.8) R(X, Y ) est un endomorphisme sur M, (c.-à-d. un champ de tenseurs sur M, de type (1, 1)), il agit alors, comme un opérateur de dérivation sur tout champ de tenseurs T, sur M, de type (0, k). Ainsi, R · T est un champ de tenseurs de type (0, 2 + k), il est déterminé par : En posant T = R dans (2.2.5), nous obtenons l’expression définissant le champ de tenseurs R · R, de type (0, 6). Donc R · R s’obtient en dérivant le second R, qui est le tenseur de courbure de type (0, 4), en utilisant l’opérateur de courbure R. Le tenseur R · R jouit des mêmes propriétés de symétrie que celles du tenseur de courbure comme le montre la proposition suivante : Proposition 4 ([35]). Le tenseur R · R vérifie les propriétés de symétrie algébriques suivantes :

La condition (2.2.6) est apparue lors de l’étude des sous-variétés totalement ombili- cales des variétés semi-symétriques et aussi lors de l’étude des applications géodésiques des espaces riemanniens sur des espaces semi-symétriques. Il est clair que toute variété semisymétrique est pseudo-symétrique, mais l’inverse est faux. Il existe beaucoup d’exemples de variétés pseudo-symétriques qui ne sont pas semi-symétriques, par exemple, l’espace d’Heisenberg H3 est pseudo-symétrique mais non semi-symétrique (cf. [4]). Une variété pseudo-symétrique non semi-symétrique est dite pseudo-symétrique propre. Nous remarquons aussi qu’il n’y a pas d’équivalent strict du Théorème de Schur 2 dans le cas de pseudo-symétrie. Pour des exemples de variétés pseudo-symétriques où la fonction LR est non constante voir [21].

Ricci-pseudo-symétrie

Il est immédiat que si une variété est pseudo-symétrique alors les champs de tenseurs de type (0, 4), R · S et Q(g, S) sont linéairement dépendants, mais l’inverse est faux en général ce qui a conduit à définir la notion de Ricci-pseudo-symétrie [19, 21, 22, 26]. Définition. [25] Soit M une variété connexe , dimM = n. S’il existe une fonction sur M que l’on note LS, telle que R · S = LS Q(g, S) (2.3.1) sur l’ensemble US = {x 2 M | S 6= ( _ n )g en x} où _ est la courbure scalaire de M, alors M est Ricci-pseudo -symétrique. Lorsque R · S = 0, (2.3.2) la variété est dite Ricci-semi-symétrique [43, 44]. Remarques 1. 1. Toute variété pseudo-symétrique est Ricci-pseudo-symétrique mais l’inverse est faux en général. En effet, étant donnée une variété (M1, g1) et une variété (M2, g2), dimM2 = n − 1 _ 3, d’Einstein non pseudo-symétrique alors le produit tordu M1 ×f M2, où dimM1 = 1, dimM2 = n − 1 _ 3, est Ricci-pseudo-symétrique et non pseudo-symétrique (cf. [19], [25], [26], [35]). 2. Il est démontré dans [28], qu’une variété riemannienne M de dimension 3 est pseudosymétrique si et seulement si elle est quasi-einsteinienne, c.-à-d., si son tenseur de courbure de Ricci S admet une valeur propre de multiplicité _ 2. En plus, [18], ( cf. aussi [24]), pour une variété de dimension 3, ces deux types de pseudo-symétrie sont équivalents.

Sens géométrique des tenseurs R · R et Q(g,R) Considérons deux vecteurs linéairement indépendants v et w attachés à un point p de la variété (M, g), et un parallélogramme coordonné P, de sommet p et dont les côtés sont tangents aux vecteurs x et y, et sont de longueurs _x, _y. Notons par _ = x ^ y le 2-plan tangent en p à M, engendré par les vecteurs x et y. Par le transport parallèle des vecteurs v et w tout autour de P (cf. Figure 2.1), nous obtenons, d’après (2.5.1), les vecteurs orthonormés : v_ = v + (R(x, y)v)_x_y + O>2(_x,_y) (2.5.3) w_ = w + (R(x, y)w)_x_y + O>2(_x,_y) (2.5.4) Ainsi, __ = v_ ^ w_, est le plan qui résulte par le transport parallèle du plan _ = v ^ w, (cf. Figure 2.2) il s’en suit alors que, R(v_,w_,w_, v_) = R(v,w,w, v) − [(R.R)(v,w,w, v; x, y)]_x_y + O>2(_x,_y) par conséquent K(p, __) = K(p, _) − ((R.R)(v,w,w, v; x, y))_x_y + O>2(_x,_y).

Nous pouvons alors, énoncer le théorème suivant : Théorème 7 ([35]). Soit M une variété riemannienne, p un point de M et P un parallélogramme coordonné infintésimal de sommet p, dont les côtés sont de longueurs _x et _y. Soit x et y les vecteurs liés au point p et qui sont tangents aux côtés de P. Soit __ = v_^w_ le plan obtenu par le transport parallèle du plan _ = v ^w, attachés au point p tout autour de P. Alors, une approximation du second ordre près est donnée par, _PK(p, _) = (R.R)(v,w,w, v)_x_y. Ainsi, le (0, 6)-tenseur R.R mesure la variation de la courbure sectionnelle en tout point p pour tout plan _, par le transport parallèle de celui-ci autour d’un parallélogramme infinitésimal de sommet p. Soit {x, y, e1, e2, . . . , en} une base orthonormale de TpM, considérons deux vecteurs orthonormés v,w 2 TpM, en faisant subir une rotation d’angle _ aux projections de ces dernier sur le plan _ = x^y, nous obtenons, d’après (2.5.2), les vecteurs ev et ew définis par ev = v + _(x ^g y)v + O(_2), (2.5.5) ew = w + _(x ^g y)w + O(_2). (2.5.6) En calculant la courbure sectionnelle du plan e_, on obtient alors K(p,e_ ) = K(p, _) + _Q(g,R)(v,w,w, v; x, y) + O(_2). (2.5.7) Donc, les composantes Q(g,R)(v,w,w, v; x, y) mesurent la variation de la courbure sectionnelle K(p, _) après une rotation infinitésimale. Par suite, nous pouvons donc considérer les composantes Q(g,R)(v,w,w, v; x, y) comme une sorte de normalisation des composantes (R.R)(v,w,w, v; x, y).

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Table des matières

Remerciements
Introduction
1 Rappel
1.1 Variétés riemanniennes
1.1.1 Connexion affine
1.1.2 Parallélisme
1.1.3 Variété riemannienne
1.1.4 Tenseur de courbure
1.1.5 Courbure sectionnelle
1.1.6 Courbure de Ricci et Courbure scalaire
1.1.7 Produit tordu
1.2 Structure presque complexe
1.2.1 Variété hermitienne
1.2.2 Variété kählerienne
1.2.3 Courbure holomorphique
1.2.4 Espace forme complexe
1.2.5 Espace forme complexe généralisé
1.3 Presque-structure de contact
1.3.1 Structure quasi-sasakienne
1.3.2 Variétés de Sasaki
1.3.3 Espace forme de Sasaki
2 Sur certains types de symétrie
2.1 Introduction
2.2 Pseudo-symétrie
2.3 Ricci-pseudo-symétrie
2.4 Ricci-pseudo-symétrie généralisée
2.5 Interprétation géométrique de la pseudo-symétrie
2.5.1 Sens géométrique des tenseurs R · R et Q(g,R)
2.5.2 Courbure sectionnelle de Deszcz
2.5.3 Interprétaion géométrique de la courbure sectionnelle de Deszcz
2.6 Interprétation géométrique de la Ricci-pseudo-symétrie
2.6.1 Sens géométrique des tenseurs R.S et Q(g, S)
2.6.2 Courbure de Ricci de Deszcz
2.6.3 Interprétaion géométrique de la courbure de Ricci de Deszcz
3 S-variétés
3.1 Introduction
3.2 f -structures
3.2.1 f.pk-structure
3.2.2 f.pk-structure normale
3.2.3 K-structure
3.3 S-variété
3.3.1 Presque S-structure
3.3.2 S-structure
3.3.3 Courbure f -sectionnelle
3.3.4 S-espace forme
4 Propriétés de symétrie des S-espaces formes
4.1 Introduction
4.2 Pseudo-symétrie sur les espaces formes de Sasaki
4.3 Ricci-pseudo-symétrie sur les S-espaces formes
4.4 Ricci-pseudo-symétrie généralisée sur les espaces formes de Sasaki
4.5 Ricci-pseudo-symétrie généralisée sur les S-espaces formes
4.6 S-espaces formes semi symétriques
5 Ricci-pseudo-symétrie sur les S-espaces formes généralisés à deux champs de vecteurs de structures
5.1 Espace forme de Sasaki généralisé
5.2 S-espace forme généralisé avec deux champs de vecteurs de structure
5.3 Ricci- pseudo-symétrie sur les S-espaces formes généralisés
5.4 Exemples
Perspectives
Bibliographie