Couplages acousto-optiques dans les cristaux photoniques et phononiques

Une étude transversale de la propagation des ondes dans les milieux périodiques a été menée par Léon Brillouin, il y décrit de manière analytique la propagation des ondes élastiques, électromagnétiques et électroniques dans les réseaux [1]. Il s’appuie en particulier sur les travaux de Kelvin et de Rayleigh, qui ont étudié la propagation des ondes élastiques selon un système masse ponctuelle-ressort à une dimension. Il étend le cadre de ces travaux à deux et trois dimensions en étudiant plus particulièrement les symétries des réseaux. Il montre que la périodicité des solutions dans l’espace réciproque résulte de la discrétisation dans l’espace réel et définit des domaines que l’on appellera les zones de Brillouin. Il décrit l’existence de « bandes d’arrêt » liée au phénomène de diffraction des ondes dans les réseaux, encore appelées « bandes interdites » : des bandes de fréquence pour lesquelles l’onde ne se propage pas. Dès lors que la longueur d’onde est de dimension comparable au motif du réseau, un phénomène de diffraction apparaît : la propagation des ondes n’est pas possible, le réseau joue alors le rôle de filtre. Les caractéristiques du filtre sont directement liées aux propriétés physiques et géométriques du motif et du réseau.

Depuis, de nouveaux champs d’application ont vu le jour avec la fabrication de matériaux artificiellement structurés dont l’objectif commun est le contrôle de la propagation des ondes. En particulier, les progrès des micro- et nanotechnologies ont rendu possible la création de réseaux nano-structurés aux échelles des ondes électromagnétiques : les « cristaux photoniques » ou ultrasoniques : les « cristaux phononiques ».

Un intérêt tout particulier a été porté aux structures qui permettent de contrôler à la fois les ondes élastiques et les ondes électromagnétiques : les « cristaux phoXoniques », qui sont à la fois des cristaux photoniques et phononiques. Un des intérêts majeurs attendu de ces structures est de permettre un couplage renforcé des ondes élastiques et des ondes électromagnétiques lié au phénomène d’ondes lentes et au fort confinement des ondes.

Les milieux périodiques

Les structures périodiques peuvent être classifiées selon leurs dimensions. Ainsi, il existe des milieux périodiques qui présentent une périodicité de leurs propriétés physiques selon une .

Les structures présentant une périodicité suivant deux dimensions sont caractérisées par des motifs périodiques dans un plan et sont considérés invariants et illimités selon la dimension perpendiculaire au plan de la périodicité . Les structures sont composées généralement de réseaux de cylindres (ou de piliers) dans l’air. Les réseaux d’inclusions ou de trous percés dans la matière sont aussi des cas de structures 2D, quand l’épaisseur est finie (plaque ou membrane), on parle de structure quasi-2D. Enfin, les structures à trois dimensions peuvent être produites concrètement par des sphères empilées les unes sur les autres ou des arrangements périodiques de cylindres selon plusieurs directions.

A titre d’exemple, dans le domaine optique, les structures 1D sont constituées de multicouches diélectriques. Lord Rayleigh [2] en 1887 a été le premier à étudier théoriquement la propagation de la lumière dans les structures périodiques 1D. Ce type de structure peut être ramené à un agencement constitué de couches diélectriques périodiques ayant des indices de réfraction différents. Il s’agit typiquement d’un agencement de couches alternées de haut et bas indices de réfraction avec un contraste suffisant. Il émît ainsi l’hypothèse que l’effet de bande interdite dans ces systèmes permettrait d’obtenir des miroirs à forts coefficients de réflexion, les miroirs dits « de Bragg ». Car c’est en 1913 que W.G. Bragg confirma ses travaux en utilisant les rayons X sur un cristal. Il remarqua des pics intenses de réflexions suivant le choix spécifique de l’angle d’incidence et la longueur d’onde des rayons incidents. La périodicité de la maille cristalline permettait en effet une réflexion très proche de l’unité, à hauteur de 99.9%, des rayons incidents. Ces expériences constituent les premiers travaux de la mise en évidence des bandes interdites.

L’engouement pour les milieux périodiques artificiels à trois dimensions commence en 1987, suite aux travaux de Yablonovitch [3] et John [4]. Ils proposent des réseaux 3D présentant des bandes interdites complètes et qui ont la particularité d’être indépendantes de l’angle d’incidence de l’onde électromagnétique. Cependant, pour un accord aux fréquences optiques, les réseaux doivent présenter des paramètres de réseaux inférieurs au micron, leur fabrication s’est révélée du point de vue technologique difficilement réalisable en 3D. Une attention particulière s’est alors portée sur les réseaux bidimensionnels qui présentent l’avantage d’être réalisés plus facilement en utilisant les techniques de fabrication standard déjà développées dans l’industrie de la microélectronique. Les réseaux 2D ou quasi-2D demeurent intéressants dans le sens où ils présentent de manière similaire aux réseaux 3D des bandes interdites complètes, c’est-à-dire des bandes interdites indépendantes de la direction de propagation et de la polarisation de l’onde. Notons cependant que l’obtention des bandes interdites complètes dans les structures 2D est plus difficile que dans les structures 3D. Pour pallier à cette difficulté, on peut étudier séparément les polarisations des ondes afin de déterminer des structures présentant des bandes interdites partielles (pour une seule polarisation) mais toujours pour toutes les directions de propagation (dans le plan).

Pour classer les différents réseaux dans le plan, on définit deux vecteurs a1 et a2 que l’on peut caractériser par leurs normes et par l’angle qui les sépare. Le caractère périodique du réseau limite le nombre de combinaisons possibles pour ces trois paramètres. Ainsi, il existe 5 types de mailles compatibles avec la structuration d’un réseau 2D. Chacune de ces mailles correspond à un type de réseau dit « réseau de Bravais » [5] : le parallélogramme (réseau oblique), le rectangle (réseau rectangulaire), le losange (réseau rectangulaire centré), le carré (réseau carré) et le cas particulier du losange doté d’un angle égal à 2π/3 (réseau hexagonal ou triangulaire). Notons le cas du réseau rectangulaire centré qui n’est pas primitif (il contient 2 nœuds par maille). Cependant, il constitue une représentation pratique de la maille losange et rappelle qu’il présente la même symétrie ponctuelle que le réseau rectangulaire. On dit que ces deux réseaux appartiennent au même système cristallin. Ainsi, il n’existe que quatre « systèmes cristallins » plans qui se distinguent les uns des autres par leur symétrie ponctuelle [5]. A l’exception du système rectangulaire qui accepte deux types de mailles : primitive et centrée, les autres systèmes ne présentent que la maille primitive. Un cristal est définit par l’adjonction d’un motif au réseau. Un exemple de réseau 2D qui présente un intérêt particulier dans le domaine des systèmes phoXoniques est représenté par la structure en nid d’abeille (ou « honeycomb »). Il est constitué d’un réseau hexagonal doté d’un motif à deux atomes par maille.

Ondes dans les milieux périodiques

La propagation d’une onde est décrite mathématiquement par une équation (ou un système d’équations couplées) nommée à propos : l’ « équation d’onde ». Il s’agit d’une équation aux dérivées partielles du second ordre, dont la forme dépend de la nature des ondes considérées.

Le matériau dans lequel se propage l’onde est décrit quant à lui par ses propriétés physiques (comme sa permittivité, mais aussi sa densité, son élasticité, etc.). Selon le problème traité, les propriétés physiques sont représentées mathématiquement par des scalaires ou des tenseurs suivant que le matériau est isotrope ou anisotrope.

Ces travaux sont repris par Félix Bloch en 1928 qui démontra que la fonction d’onde Γ d’un électron dans un potentiel périodique présente une périodicité du seconde espèce selon la terminologie de Floquet. L’opérateur de translation et l’Hamiltonien ont une base commune (ils « commutent »), les solutions de l’Hamiltonien après translation diffèrent d’un facteur de phase. Ce résultat se généralise aux problèmes de propagation pour des ondes de nature différente, l’Hamiltonien étant remplacé par un opérateur de propagation. De ces travaux découlent le théorème de Bloch Floquet pour les ondes dans les milieux périodiques, qui stipule qu’une fonction propre de l’opérateur de propagation est décrite comme le produit d’une onde plane de vecteur d’onde k et d’une fonction périodique de même période que celle du réseau. Ou, de façon équivalente, par la superposition linéaire d’une infinité d’ondes planes de même pulsation mais de vecteurs d’ondes espacés les uns des autres par un vecteur du réseau réciproque.

Les cristaux photoniques 

Historique

Les premières études des cristaux photoniques ont été réalisées sur les réseaux 3D, plus particulièrement sur les réseaux cubique-face-centrée. Les travaux considérés comme initiateurs de la thématique sont ceux de Yablonovitch et al. et de John et al. [3, 4] de 1987 qui portent sur l’étude expérimentale des microsphères et de la mise en évidence des bandes interdites. D’un point de vue théorique, en 1990, la méthode des ondes planes est appliquée aux équations de Maxwell [9, 10, 11, 12].

Suite à ces études, la thématique a rapidement fait preuve d’un engouement comme en témoigne les nombreuses références bibliographiques des années 90, engouement qui ne s’est pas démenti depuis. En 1991 [13, 14], les premiers cristaux contenant des défauts volontaires sont réalisés expérimentalement. Ceci a permis de mettre en évidence les modes de résonance de ces défauts dans le diagramme de transmission. Ozbay et al. en 1994 [15] qui confirmèrent expérimentalement l’existence des bandes interdites sur une série de tiges d’alumine aux fréquences des micro-ondes. Les technologies évoluant au cours des années, Miguez et al. en 1997 [16] créèrent des sphères de silice dont le diamètre varie entre 200 et 700 nm. En 1998, des travaux similaires [17] ont été effectués sur des sphères inversées en titane avec des diamètres avoisinant les 500 nm. Par la suite, Garcia-Santamaria et al. [18] en 2002 réalisa des sphères de silice dont le diamètre varie entre 400 et 700 nm.

Parallèlement à ces études et dans la continuité des travaux pionniers sur les réseaux tridimensionnels, de nombreux articles traitent des réseaux bidimensionnels. En effet, la difficulté technologique d’implémenter des opales dans les circuits photoniques a suscité des développements, qu’ils soient théoriques ou expérimentaux, spécifiques aux réseaux 2D. Ces réseaux ont l’avantage de pouvoir présenter de manière équivalente aux réseaux 3D des bandes interdites complètes. Il ressort cependant de l’étude bibliographique que les bandes interdites sont moins larges pour les réseaux 2D que pour les réseaux 3D.

Table des matières

1 Etat de l’art
1.1 Introduction
1.1.1 Les milieux périodiques
1.1.2 Ondes dans les milieux périodiques
1.2 Mise en évidence des bandes interdites
1.2.1 Le théorème de Bloch-Floquet et ses conséquences
1.2.2 Le diagramme de bande
1.3 Les cristaux photoniques
1.3.1 Historique
1.3.2 Exemples de dispositifs
1.4 Les cristaux phononiques
1.4.1 Historique
1.4.2 Exemples de dispositifs
1.5 Les cristaux phoXoniques
1.5.1 Concept
1.5.2 Etat de l’art
1.6 Paramètres d’optimisation de la largeur de bande interdite
1.6.1 Facteur de remplissage
1.6.2 Autres motifs
1.7 Mécanismes de couplage acousto-optique dans les structures à bande interdite
1.7.1 Effet photo-élastique
1.7.2 Effet électro-optique
1.7.3 Effet opto-mécanique
1.8 Cadre de l’étude
2 Concepts théoriques et mise en œuvre des méthodes numériques
2.1 Généralités sur les ondes dans un milieu homogène illimité sans perte
2.1.1 Les ondes élastiques dans les milieux homogènes illimités
2.1.2 Les ondes électromagnétiques dans les milieux diélectriques homogènes illimités et non magnétique
2.1.3 Cône du son, cône de lumière et phénomène de réflexion totale
2.1.4 Modes guidés
2.2 Généralités sur les milieux périodiques
2.2.1 Modélisation des milieux périodiques
2.2.2 Forme générale des ondes dans les milieux périodiques 3D : Les fonctions de Bloch
2.2.3 Influence de la répartition du paramètre périodique dans une maille :
2.2.4 Milieux périodiques et cône de lumière : Les modes résonants ou modes à fuite
2.3 Méthodes de calcul
2.3.1 Méthode des différences finies
2.3.2 Méthode des éléments finis
2.3.3 Comparaison
2.4 Cavité optique dans un milieu périodique (défauts ponctuels)
2.4.1 Mise en évidence des modes de défaut dans les diagrammes de bande
2.4.2 Mise en évidence des modes de défauts par un calcul de transmission
2.4.3 Comparaison diagramme de bande/transmission
2.5 Conclusion
3 Conception des cristaux phoXoniques
3.1 Introduction
3.2 Dimensionnement des structures
3.2.1 Polarisation acoustique
3.2.2 Polarisation optique
3.2.3 Dimensionnement des cristaux phoXoniques sur Silicium
3.2.4 Dimensionnement des structures phoXoniques sur Niobate de Lithium
3.2.5 Discussion Silicium / LiNbO3
3.3 Modes de cavité
3.3.1 Modèle des supercellules
3.3.2 Etude des cavités sur Silicium
3.3.3 Etude des cavités sur Niobate de Lithium
3.4 Résumé
4 Prise en compte des mécanismes de couplage photons/phonons
4.1 Introduction
4.2 L’effet Photo-élastique et effet Opto-mécanique dans le cadre de la théorie des perturbations : Notion de taux de couplage
4.2.1 Variation de la pulsation propre du mode en présence d’une perturbation
4.2.2 Effet opto-mécanique : cas des interfaces mobiles
4.3 Analyse des résultats de modulation de l’onde lumineuse dans des cavités L1
4.3.1 Couplage dans le silicium
4.3.2 Couplage dans le niobate de lithium
4.4 Etude spectrale de la transmission à travers un dispositif à cavité L1
4.4.1 Transmission optique
4.4.2 Transmission acoustique
4.4.3 Couplage acousto-optique
4.5 Résumé
Appendices
A Ellipsoïde des indices
B Contour de la zone irréductible de Brillouin
C Origine du couplage entre les ondes harmoniques

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