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Couplage interfacial de deux systèmes hyperboliques
Contexte physique et applicatif. La première Partie de ce manuscrit concerne le couplage interfacial de deux systèmes hyperboliques. Cette thématique de recherche s’inscrit dans les problématiques étudiées au Laboratoire d’Études Thermiques des Réacteurs du CEASaclay, plus précisément dans le projet Neptune [78]. Ce projet, auquel participent le CEA, EDF, AREVA-NP et l’IRSN, vise à développer les outils numériques pour la simulation des écoulements fluides dans les réacteurs nucléaires notamment de la thermohydraulique diphasique. L’écoulement du fluide dans le circuit est sujet à différents phénomènes physiques, mettant chacun en jeu des échelles d’espace différentes. Voici des exemples de tels phénomènes qui apparaissent typiquement dans les cœurs de réacteurs nucléaires et les générateurs de vapeur : les interfaces de changement de phase, les interfaces entre milieux poreux et non-poreux et plus généralement les phénomènes physiques variant fortement localement. Les codes de calculs existants ou en développement traitent séparément ces phénomènes et ceci dans des segments séparés du circuit. La démarche numérique adoptée consiste à coupler ces codes en faisant passer l’information jugée utile des uns vers les autres. L’enjeu applicatif consiste à redonner une nouvelle vie aux plateformes de simulation existantes fortement onéreuses lors de leur mise en place et de leur maintenance. Une approche plus mathématique adoptée dans ce travail consiste à étudier en amont le couplage des modèles physiques avant d’envisager la résolution numérique.
Une brève revue du formalisme de couplage
Relation de couplage. Avant de poursuivre, fixons quelques notations. Nous nous intéressons au couplage de deux systèmes de lois de conservation de même taille, portant sur une inconnue w = w(t,x) ∈ Rᴺ
∂tw+∂x f−(w) = 0, x < 0, t > 0
∂tw+∂x f+(w) = 0, x > 0, t > 0
À ces lois de conservation vient s’ajouter une condition initiale w(0,x) = w0(x) à l’instant t = 0. Pour espérer avoir un problème bien posé mathématiquement, il est indispensable d’ajouter une information reliant les deux demi-espaces en x = 0, c’est cette relation que nous appellerons relation de couplage. Une infinité de possibilités s’offre à nous pour le choix d’une telle relation, choix qui peut être guidé par des considérations physiques, notamment une certaine propriété de continuité à l’interface. On peut ainsi considérer la continuité de certaines composantes de la variable, ou d’une transformation non-linéaire de celles-ci, ou encore sélectionner des états stationnaires, c’est-à-dire les solutions qui n’évoluent pas au cours du temps. Nous reviendrons sur ce point ultérieurement.
Couplage par état versus couplage conservatif. Une première approche pour effectuer le couplage consiste à considérer l’interface comme « conservative » – on parle alors de couplage conservatif – dans le sens où la solution réalise la continuité du flux à l’interface :
f−(w(t,0⁻)) = f+(w(t,0⁺)).
En définissant un flux global f(w,x) non homogène en espace
f(w,x) =
f−(w), x < 0,
f+(w), x > 0,
la formulation globale de (1)-(2) prend alors la forme
∂tw+∂x f(w,x) = 0, x ∈ R, t > 0.
De cette manière, l’expression de la conservation de w au voisinage de x = 0 restitue la relation (2). On constate que cette approche concerne l’étude des lois de conservation à coefficients discontinus, abordée par exemple dans les travaux de Bachmann [15], Bachmann et Vovelle [16], Bürger et Karlsen [36], Godlewski et Seguin [77], Helluy et Seguin [82], Karlsen et al. [92], Seguin et Vovelle [121]. Cette vision des choses ne concerne pas tous les cadres d’applications. Pour certains problèmes physiques, on ne peut exiger la conservation de toutes les inconnues du système. Citons l’exemple des modèles 1D d’écoulement en tuyère à section discontinue. Dans ce cas une perte de charge peut être observée au niveau des discontinuités du milieu, disons en x = 0, dont les valeurs empiriques sont rapportées dans des abaques. Un terme source mesure localisé à la discontinuité doit alors être ajouté à l’équation pour en tenir compte :
∂tw+∂x f(w,x) = M(t)δx=0,
où M(t) représente la masse de cette perte de charge. Un modèle alternatif suggéré par cette observation est celui du couplage par état. Dans ce modèle de couplage, on requiert à l’interface la continuité d’un jeu de variables privilégiées, qui peut être l’inconnue w ou une transformation non-linéaire de celle-ci, choisie selon la physique. La relation de couplage attendue à l’interface prend ainsi la forme ,
θ₋(w(t,0⁻)) = θ⁺(w(t,0⁺)),
où les fonctions θ± sont deux changements de variables admissibles d’inverses notés dans la suite γ± . Cette relation de couplage se réécrit également comme une égalité des traces pour la variable privilégiée u = θ±(w)
u(t,0⁻) = u(t,0⁺).
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Table des matières
Introduction Générale
I Couplage de systèmes de lois de conservation hyperboliques
1 Existence result for the coupling problem of two scalar conservation laws with Riemann initial data
1.1 The state coupling method
1.2 Solving the coupled Riemann problem
1.2.1 Preliminaries
1.2.2 v-continuous solutions
1.2.3 v-discontinuous solutions
1.2.4 Solution of the coupled Riemann problem
1.2.5 The coupled Riemann problem for two conservation laws “with phase change”
1.3 Numerical experiments
1.3.1 Numerical strategy
1.3.2 Numerical results
2 Self-similar viscous approximations for thin interfaces
2.1 Introduction
2.1.1 Self-similar regularizations of resonant systems
2.1.2 Motivations
2.2 Existence theory for scalar conservation laws
2.2.1 Riemann problem with diffusion
2.2.2 Passage to the limit
2.2.3 Riemann problem for the hyperbolic system
2.3 Existence theory for systems
2.3.1 Terminology and notation
2.3.2 Equations for the characteristic coefficients
2.3.3 Linearized wave measures
2.3.4 Interaction coefficients
2.4 Construction of the entropy solution
2.4.1 Correction vector for a given strength
2.4.2 Strength vector for given Riemann data
2.4.3 Riemann problem
2.5 Precised estimates on resonant interaction coefficients
2.5.1 Self-influence of a wave
2.5.2 Influence of a non-resonant wave on another non-resonant wave
2.5.3 Influence of the resonant wave on non-resonant waves
2.5.4 Influence of a non-resonant wave on the resonant wave
3 Resonant interfaces with internal structure
3.1 Introduction
3.2 Construction of the viscous interface profile
3.2.1 Viscous profile equation
3.2.2 Steady boundary layers
3.2.3 Entropy boundary layer
3.2.4 Sticking of the traces of the solution to the boundary layer
3.2.5 Stability properties
3.3 Example of the coupling of two Burgers equations
3.3.1 Structure of Riemann-Dafermos solutions
3.3.2 Laplace method
4 A regularization method based on thick interfaces
4.1 Introduction
4.1.1 Main problematic and notations
4.1.2 Outline
4.2 Presentation of the well-balanced scheme
4.3 Inf-sup estimate
4.4 Entropy control. Convergence of the scheme
4.5 The case of the state coupling. Total variation estimate
4.6 Numerical experiments
5 A multidimensional finite volume framework
5.1 Introduction
5.2 Notation and objectives
5.2.1 First considerations
5.2.2 Extension to multi-dimensional, multi-component coupling problems
5.3 Well-balanced finite volume scheme
5.3.1 Terminology and assumptions
5.3.2 Well-balanced scheme
5.3.3 Main convergence result
5.4 Finite volume approximations with primal-dual meshes
5.4.1 A convex combination
5.4.2 Interpretation of the proposed well-balanced scheme
5.5 Sup-norm estimates
5.6 Entropy inequalities
5.6.1 Discrete entropy estimates
5.6.2 Entropy dissipation rate and a posteriori strong convergence
5.7 Numerical experiments
5.7.1 A two domains coupling problem
5.7.2 A three domains coupling problem
II Solutions non classiques de lois de conservation hyperboliques
6 The numerical computing of scalar nonclassical solutions
6.1 Introduction
6.2 Nonclassical Riemann solver with kinetics
6.3 Motivations and difficulties
6.4 A conservative scheme for nonclassical entropy solutions
6.5 Numerical experiments
6.6 Concluding remarks
7 Extension au cas d’un flux concave-convexe non-monotone
7.1 Introduction
7.2 Schéma numérique avec reconstructions délocalisées
7.2.1 Discontinuité non classique et états reconstruits
7.2.2 Définition des flux
7.2.3 Séparation des reconstructions
7.3 Tests numériques pour un flux concave-convexe non-monotone
7.3.1 Discontinuités non classiques pures
7.3.2 Problèmes de Riemann
7.3.3 Problèmes de Cauchy et interaction d’ondes
7.4 Conclusions et perspectives
7.4.1 Bilan positif
7.4.2 Perspectives
7.4.3 Cas des systèmes de lois de conservation
Conclusion Générale
Annexes
