Couche limite de l’´ecoulement du fluide de Reiner- Philippoff

Couche limite de l’´ecoulement du fluide de Reiner- Philippoff

Le probléme de couche limite des fluides non newtoniens a été analysé depuis plusieurs années. Des travaux de ce type sont donn´es dans les références . Ce travail est basé sur un article publié par Hansen et Na . Dans lequel ils ont prouvé que sur la classe générale des fluides non newtoniens, la solution autosimilaire de l’´equation de couche limite existe seulement pour le cas d’un ´ecoulement autour d’un obstacle d’angle au sommet 90◦ . Les ´equations diff´erentielles sont non lin´eaires mais la solution peut ˆetre r´eduite `a la solution d’une ´equation diff´erentielle ordinaire non lin´eaire. Le probl`eme est difficile parce que, en plus de la difficult´e naturelle dans la solution de la couche limite, qui est une ´equation diff´erentielle non lin´eaire,  la combinaison non lin´eaire de la contrainte de cisaillement avec le taux des contraintes de plusieurs mod`eles posent des probl`emes. Dans ce m´emoire, nous consid´erons le cas plus g´en´eral de la couche limite de l’´ecoulement du fluide de Reiner-Philippoff pour d’autre obstacles. Une formulation général est donn´ee pour la r´esolution des ´equations de couche limite associ´ee au divers types d’obstacles. On utilise la m´ethode des diff´erences finies. Nous prendrons Comme exemple, la solution classique de la couche limite de l’´ecoulement sur une plaque plane, connue comme la solution de Blasius. Nous avons ´etudi´e ce mod`ele non newtonien particulier car il repr´esente correctement cette classe de fluide et  les résultats obtenus pourraient ˆetre ´etendus aux autres mod`eles non newtoniens. En d’autre terme, l’analyse pr´esent introduit une m´ethode de formulation qui peut ˆetre appliqu´ee `a la couche limite de tout fluide non newtonien sur toute forme d’obstacle dans laquelle le gradient de vitesse est exprim´e explicitement comme une fonction de contrainte de cisaillement.

Fluides newtoniens et non newtoniens 

Generalites

Un fluide est un liquide ou un gaz qui se d´eforme de mani`ere continue sous l’action de la moindre force de cisaillement. Il n’a pas de forme propre : si on place un liquide dans un récipient, il prend la forme de ce dernier. Un fluide est synonyme de substance dont les éléments constituants se mettent en mouvement. C’est pourquoi, un fluide s’´ecoule. Un fluide est visqueux s’il n’ a pas de libert´e totale lors du mouvement. Ici, on s’int´eresse au mouvement des fluides autour d’un di`edre d’angle au sommet πβ .

Viscosité

La viscosit´e µ est un des principaux param`etres mesur´es lors de l’´etude de l’´ecoulement des fluides. Certains fluides s’´ecoulent plus facilement que l’autre : ainsi, un r´ecipient rempli d’eau se vide facilement qu’un r´ecipient rempli de miel. Le miel est donc plus visqueux que l’eau. Les fluides fortement visqueux n´ecessitent donc plus de force pour se d´eplacer. La viscosit´e exprime le degr´e de rigidit´e d’un fluide aux forces qui lui sont appliqu´ees (contraintes). Elle traduit la difficult´e `a faire s’´ecouler ou s’´etaler.

Un fluide est non newtonien si le tenseur de contrainte n’est plus une fonction affine du tenseur des taux de d´eformations. Ces fluides n’ob´eissent pas `a la loi de Newton. Dans notre quotidien, il existe des fluides non newtoniens a l’´etat solide et `a l’´etat liquide comme les miels, les boues, ainsi que les poudres comme les sels ou les sables.

Les fluides non newtoniens ne sont pas pr´evisibles, leur viscosit´e, qui est la tendance des fluides `a s’´ecouler plus ou moins facilement, est parfois d´ependante de la force appliquée.

Viscosit´e des fluides non newtoniens

Lorsque on fait augmenter la force qu’on agit sur un fluide non newtonien, sa viscosit´e va diminuer ou augmenter. On distingue deux types de fluide non newtonien : les fluides rhéofluidifiants et les fluides rhéoépaississants.

Fluides rhéofluidifiants

Ces sont des fluides dont la viscosit´e diminue lorsque la force auquel il est soumis s’accroˆıt. Le dentifrice est un exemple de ce fluide : il sort lorsqu’on presse le tube qui le contient, cela montre la diminution de sa viscosité.

Fluides rhéoépaississants

Par contre, la viscosit´e des fluides rh´eo´epaississants augmente quand la force soumis s’accroˆıt. C’est le cas d’une argile verte. Elle se solidifie si on la presse.

Différents types des fluides non newtoniens

Les fluides non newtoniens se divisent en deux cat´egories principaux :

Fluides non newtoniens au caract`ere d´ependant du temps
Les fluides non newtoniens dont la viscosité change à tout instant lorsqu’ils sont soumis à une contrainte constante sont : les fluides thixotropes, les fluides antithixotropes et les fluides viscoélastiques.

Fluides thixotropes :
Si on exerce une contrainte constante `a ces fluides, `a tout instant, leur viscosit´e diminue . Si on retire la contrainte, c’est `a dire `a l’arrˆet du cisaillement, leur viscosit´e augmente avec le temps. Ce qui traduit la r´eversibilit´e du ph´enom`ene. C’est le cas du sauce tomate concentr´e. Si on applique une contrainte constante sur ce sauce, il se fluidifie et si on enl`eve la contrainte il reprend son ´etat initial.

Fluides anthixotropes :
Ce n’est pas le cas pour les fluides antixotropes. Ces sont des fluides qui ont une viscosité qui augmente lorsqu’une force constante lui est appliquée sans etre retirée.

Fluides viscoélastiques :
Un solide ou un fluide visco´elastique pr´esente des changements cons´ecutifs d’un ´etat `a un autre lorsqu’il est soumis `a une contrainte constante. Sous cisaillement, ces matériaux subissent une d´eformation instantan´ee comme un solide ´elastique, puis continuent `a se d´eformer de mani`ere continue comme un liquide visqueux. A l’arrˆet du cisaillement, les mat´eriaux reprennent en partie ses formes.

Fluides dont la viscosit´e d´epend du taux de cisaillement
Il existe des fluides non newtoniens dont la viscosit´e varie en fonction du taux de cisaillement : ces sont les fluides rh´eofluidifiants, les fluides rh´eo´epaississants et les fluides à seuil.

Les fluides rhéofluidifiants
La viscosit´e de certains fluides non newtoniens diminue lorsque le taux de cisaillement augmente, comme exemple, le sang : il se fluidifie quand la contrainte appliqu´ee sur lui augmente.

Les fluides rhéoépaississants
Contrairement, la viscosit´e des fluides réoépaississants augmente avec le taux de cisaillement. L’amidon de ma¨ıs est un exemple de fluide de ce type. En effet, lorsque la contrainte qui s’exerce sur lui augmente, il se solidifie.

Les fluides à seuil
Ces derniers sont des fluides qui ne coulent qu’`a partir d’une certaine contrainte seuil. C’est le cas des dentifrices. Tout le monde a d´ej`a remarqu´e que lorsqu’on retourne un tube de dentifrice, rien ne tombe. On peut en d´eduire que lorsque on applique une certaine contrainte σ au dentifrice, il se fluidifie, c’est `a dire, sa viscosit´e diminue et donc il sort de son tube.

Couche Limite 

Nombre de Reynolds et le régime d’écoulement

Le nombre de Reynolds caractérise un écoulement. En effet, à partir de la connaissance de la valeur de ce nombre, on peut savoir la nature du régime d’écoulement :

Régime laminaire
Un régime laminaire correspond à un nombre de Reynolds inférieur à une valeur critique environ 3 × 10⁵ . Pour ce régime d’écoulement, les lignes de courants sont bien identifiées. Plus on s’éloigne de la paroi, plus l’effet de la viscosit´e diminue et les vitesses du fluide tendent à s’homogénéiser.

Régime turbulent
A partir d’une certaine valeur du nombre de Reynolds, il se produit une transition qui fait apparaˆıtre des instabilités dues à l’amplification des d´eformations. Les instabilit´es augmentent au point de donner naissance au ph´enom`ene de la turbulence. Les écoulements turbulents sont caractérisés par cinq propriétés : ces sont des écoulements instationnaires, non lin´eaires, diffusifs, dissipatifs et imprédictibles.

Phénoméne instationnaire et non linéaire :
Les écoulements turbulents sont fortement instationnaires avec des variations irréguliéres.Les équations de Navier Stokes qui gouvernent les écoulements de fluide présentent des termes non linéaires.

Conclusion

Nous avons exposé dans ce mémoire qu’il existe deux catégories de modéles de fluide : le modéle newtonien et le modéle non newtonien. Les équations qui gouvernent les couches limites de ces modéles ont été étudiées. Pour le comportement newtonien, nous avons deux exemples de modéles : le modéle de Blasius et celui de Falkner – Skan. Ces exemples correspondent respectivement aux écoulement sur une plaque plane et sur un diédre d’angle au sommet πβ. Pour le comportement non newtonien, la couche limite du fluide de Reiner – Philippoff a été pris comme exemple. Il est `a noter que pour ce fluide non newtonien, la solution auto – similaire n’existe que pour β = 1/2 . Pour les autres valeurs de β, nous avons précisé la formulation utilisée pour obtenir les équations de courant réduites. Ce mémoire nous permet d’entrevoir les questions qui se posent encore au niveau de l’écoulement de couche limite de fluides non newtoniens. Il serait par exemple intéressant d’étudier les couches limites d’autre modéles non newtoniens afin de pouvoir comparer les propriétés obtenues.

Table des matières

Introduction 
1 Fluides newtoniens et non newtoniens 
1.1 G´en´eralit´es
1.1.1 Viscosit´e
1.1.2 Exp´erience de Newton
1.1.3 Tenseur de taux des d´eformations
1.2 Fluides newtoniens
1.2.1 Loi de Newton
1.2.2 Loi de mouvement
1.2.3 Fluide incompressible
1.2.4 Classe d’´ecoulements
1.2.5 Les th´eor`emes locaux
1.3 Fluides non newtoniens
1.3.1 Viscosit´e des fluides non newtoniens
1.3.2 Diff´erents types des fluides non newtoniens
1.3.3 Comment savoir le type d’un fluide non newtonien ?
1.3.4 Frottement `a la paroi et Coefficient de traˆın´e
2 Couche Limite 
2.1 Nombre de Reynolds
2.1.1 Nombre de Reynolds et le r´egime d’´ecoulement
2.1.2 Signification physique du nombre de Reynolds
2.2 Ecoulement r´eel
2.3 Changement de vitesse
2.4 D´efinition de la couche limite
2.5 Condition d’existence de la couche limite
2.6 Param`etre caract´eristique de la couche limite
2.6.1 L’´epaisseur de la couche limite
2.6.2 L’´epaisseur de d´eplacement
2.6.3 L’´epaisseur de quantit´e de mouvement
2.6.4 L’´epaisseur de l’´energie cin´etique
2.7 Equation de la couche limite dynamique isovolume
2.7.1 Mod`ele de Navier Stokes incompressible .
2.7.2 Mod`ele de Prandtl
2.7.3 Solutions particuli`eres
3 Couche limite de l’´ecoulement du fluide de Reiner- Philippoff
3.1 Hypoth`eses
3.2 Equations de la couche limite de fluide non newtonien incompressible
3.2.1 Equations gouvernantes
3.2.2 Formulation du probl`eme
3.3 Cas particulier : Couche limite du fluide de Reiner – Philippoff
3.3.1 Solution auto-similaire
3.3.2 Solution non auto-similaire
Conclusion

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