Correspondance de Springer

La correspondance de Langlands est un des moteurs essentiels en mathématiques ces dernières années. Le principal but de cette thèse est d’en comprendre les liens avec le centre de Bernstein.

Commençons par introduire le cadre général qui nous préoccupe.

Soit F un corps p-adique, G le groupe des F-points rationnels d’un groupe algébrique réductif connexe défini et déployé sur F. L’un des principaux résultats de la théorie du Centre de Bernstein est la décomposition de la catégorie des représentations lisses de G en sous-catégories pleines Rep(G)s, où s = [M, σ] est la classe d’équivalence pour une certaine relation d’équivalence (dite inertielle) de (M, σ), avec M un sous groupe de Levi de G et σ une représentation irréductible supercuspidale de M. On note Irr(G)s l’ensemble des (classes de) représentations irréductibles de G admettant s pour support inertiel. À toute paire inertielle s est associée un tore Ts, un groupe fini Ws, une action de Ws sur Ts et on dispose de la notion de support cuspidal Sc : Irr(G)s → Ts/Ws. La correspondance de Langlands fournit conjecturalement une description des représentations irréductibles de G. Notons Gb le dual de Langlands de G, W0 F = WF × SL2(C) et W DF = CoWF les groupes de Weil-Deligne. À tout paramètre de Langlands φ : W0 F → Gb (ou (λ, N) avec λ : WF → Gb et N ∈ Lie(Gb) vérifiant certaines propriétés), est associé un « paquet » de représentations de G noté habituellement Πφ(G). Dans [Lus83], Lusztig introduit un certain groupe fini pour paramétrer le L-paquet. Ce paquet de représentations est paramétré par un groupe fini qui est, à peu de choses près, AGb (φ) = ZGb (φ)/ZGb (φ) ◦ , le groupe des composantes du centralisateur de l’image φ(W0 F ) dans Gb.

En général, dans un L-paquet il y a des représentations de support cuspidal différents, voire des représentations supercuspidales et des représentations non supercuspidales. Le centre de Berstein stable va permettre d’exprimer une compatibilité entre le paramétrage des représentations irréductibles en blocs de Bernstein et le paramétrage en L-paquets. C’est l’objet de la proposition 4.8. Si λ : W DF → Gb est un paramètre discret de G, trivial sur C, on conjecture que le L-paquet qu’il définit Πλ(G) n’est constitué que de représentations supercuspidales de G. En revanche, à notre connaissance, il n’est pas décrit de façon général dans la littérature quels paramètres de Langlands conjecturalement définissent les L-paquets contenant des représentations supercuspidales. Précisons tout de même que pour le groupe linéaire, nous savons que les représentations irréductibles supercuspidales de GLn correspondent aux paramètres discrets λ : WF → GLn(C). Pour les groupes classiques (en particulier orthogonal et symplectique), en conséquence des travaux d’Arthur, Mœglin a décrit la forme des paramètres de Langlands et les caractères du groupe fini paramétrant le paquet correspondent aux représentations supercuspidales.

Correspondance de Springer généralisée

Soit H un groupe algébrique linéaire complexe réductif et x ∈ H un élément de H. On note ZH(x) = {g ∈ H, gxg−1 = x} le centralisateur de x dans H et AH(x) = ZH(x)/ZH(x)◦ le groupe des composantes du centralisateur de x de H. Supposons désormais que H est connexe. On a une bijection naturelle entre les représentations irréductibles de AH(x) et les systèmes locaux H-équivariants irréductibles sur C H x , où C H x = {gxg−1 , g ∈ H} désigne la H-classe de conjugaison de x (voir [JN04, 12.10]). Dans la suite, on s’intéressera aux orbites unipotentes de H (ou aux orbites nilpotentes de l’algèbre de Lie de H), c’est à dire aux H-classes de conjugaison d’éléments unipotents de H. On note N+ H le cône unipotent «complet», c’est à dire l’ensemble des H-classes de conjugaison des couples formés d’un élément unipotent u de H et d’une représentation irréductible du groupe des composantes du centralisateur dans H de u.

N+ H = {(u, η), u ∈ H unipotent, η ∈ Irr(AH(u))}/H−conj .

Orbites unipotentes et paires cuspidales pour les groupes classiques

On rappelle qu’une partition p d’un entier n > 1 est une suite décroissante d’entiers p1 > . . . > pk > 1 telle que n = p1 + . . . + pk. A priori, les pi ne sont pas distincts deux à deux. Soit q1 > . . . > qs les entiers deux à deux distincts tels que {pi , 1 6 i 6 k} = {qj , 1 6 j 6 s} et rq le nombre de fois que q apparait dans p. Nous utiliserons la notation p = (q rq1 1 , . . . , q rqs s ), si bien que, n = p1 + . . . + pk = rq1 q1 + . . . + rqs qs. Les qj (ou pi) s’appellent les parts de la partition p et rqj la multiplicité de la part qj .

Rappelons brièvement la classification des orbites unipotentes et de leurs centralisateurs dans certains groupes classiques (voir [CM93, §5.1 & §6.1] et [JN04, §3.8]). Pour toute partition p, nous noterons Op l’orbite unipotente associé à la partition p par la décomposition de Jordan. Dans un cas, il correspondra à une même partition p deux orbites unipotentes distinctes que l’on notera OI p et OII p .

— pour GLn(C) les orbites unipotentes sont en bijection avec les partitions de n via la décomposition de Jordan ;
— pour Sp2n (C), les orbites unipotentes sont en bijection avec les partitions de 2n pour lesquelles les parts impaires admettent une multiplicité paire ;
— pour SOn(C), les partitions de n pour lesquelles les parts paires admettent une multiplicité paire et toutes les parts ne sont pas paires correspondent à une orbite unipotente. Les partitions de n qui n’admettent que des parts paires, de multiplicités paires correspondent à deux orbites unipotentes distinctes. Ce dernier cas ne se produit que si n est pair.

Correspondance de Springer généralisée pour le groupe orthogonal

Correspondance de Springer généralisée pour le groupe orthogonal

Nous avons vu précédemment que la correspondance de Springer généralisée pour un groupe réductif connexe G établit une bijection (à G-conjugaison près)

Σ : (O, η) → (L, C, ε, ρ),

avec

— O une orbite unipotente de G ;
— η une représentation irréductible de AG(u) (et u ∈ O) ;
— L un sous-groupe de Levi de G ;
— C une orbite unipotente de L;
— ε une représentation irréductible cuspidale de AL(v) (et v ∈ C) ;
— ρ une représentation irréductible de NG(L)/L.

Nous souhaitons étendre cette bijection au groupe orthogonal. Pour cela, précisons quels objets seront en bijection et décrivons notre démarche.

Définition 1.9. Soit H un groupe réductif non nécessairement connexe, A ⊂ H un tore et L = ZH(A). On appelle sous-groupe de quasi-Levi de H, le centralisateur dans H d’un tore contenu dans H. Le groupe de Weyl de L dans H est WH L = NH(A)/ZH(A).

Remarque 1.10. Soit A ⊂ H un tore contenu dans H et L = ZH(A) un sous-groupe de quasi-Levi de H. Alors, L◦ = ZH(A) ◦ = ZH◦ (A) ◦ = ZH◦ (A) est un sous-groupe de Levi de H◦ . Réciproquement, tout sous-groupe de Levi de H◦ est la composante neutre d’un sous-groupe de quasi-Levi de H.

Table des matières

Introduction
1 Correspondance de Springer
1.1 Correspondance de Springer généralisée
1.2 Orbites unipotentes et paires cuspidales pour les groupes classiques
1.3 Équivariance de la correspondance de Springer généralisée
1.4 Correspondance de Springer généralisée pour le groupe orthogonal
2 Correspondance de Langlands locale
2.1 Correspondance de Langlands locale
2.2 Centralisateur de paramètres de Langlands pour les groupes classiques
2.3 Paramètres de Langlands des représentations supercuspidales
3 Centre de Bernstein et algèbre de Hecke
3.1 Centre de Bernstein
3.2 Algèbres de Hecke affines
3.3 Algèbres de Hecke graduées
3.4 Algèbre de Hecke graduée associée à triplet cuspidal
3.5 Équivalence de catégories entre Rep(G)s et mod(H0s)
4 Le centre de Bernstein stable
4.1 Centre de Bernstein stable, d’après Haines
4.2 Centre de Bernstein stable complet
5 Conjecture d’Aubert-Baum-Plymen-Solleveld
5.1 Quotients étendus
5.2 Conjecture d’Aubert-Baum-Plymen-Solleveld
5.3 Analogue galoisien de la conjecture d’Aubert-Baum-Plymen-Solleveld
5.4 Paramétrage de Langlands du dual admissible des groupes classiques
5.5 Exemples
Conclusion
Bibliographie

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