Contrôle optimal périodique : Applications à la dépollution de l’eau

Le chemostat [16, 29] est un dispositif mis au point dans les années 50 et est initialement conçu pour étudier le croissance de micro-organismes dans un environnement constant : a static chemical environment, expression dont est dérivée le mot chemostat. En particulier, le chemostat est pensé pour étudier la croissance des micro-organismes en fonction d’une ressource en particulier, choisi par l’expérimentateur, les autres aliments nécessaires à la survie des micro-organismes étant en excès. On parle donc de substrat limitant. En manipulant certains paramètres opératoires, on peut expérimentalement mettre en évidence la courbe de croissance d’une espèce donnée de micro-organismes en fonction de la concentration en substrat. Ce dispositif expérimental s’assortit aussi d’une riche modélisation mathématique.

Le chemostat est constitué d’un réacteur contenant une solution aqueuse de volume constant, avec une entrée par laquelle arrivent les nutriments, dont le substrat limitant, et d’une sortie qui évacue le substrat et les micro-organismes. Les débits d’entrée et de sortie sont identiques pour que le volume puisse rester constant. Ce réacteur est de plus supposé parfaitement mélangé, son contenu est donc homogène. Ainsi on parle souvent de CSTR : continuously stirred tank reactor .

Cependant, les usages du chemostat comme dispositif expérimental et modèle mathématique se sont très vite élargis au delà de la micro-biologie.

En écologie théorique, le chemostat permet d’observer dans un environnement maîtrisé des situations telles que la compétition entre deux espèces pour une ressource ou encore des chaînes trophiques simples, et des avancées importantes ont été réalisées pour comprendre mathématiquement ces comportements. Ainsi, en complexifiant la modélisation du chemostat, on peut mieux comprendre des phénomènes observés dans un environnement naturel complexe.

L’utilisation de modes de fonctionnement périodiques plutôt que constants est un axe de recherche important pour l’amélioration des performances des réacteurs biologiques ou chimiques [2]. Parmi les outils présentés dans cette analyse, le πcritère [1] est un outil qui permet de déterminer s’il existe des fréquences pour lesquelles un contrôle périodique sinusoïdal proche du régime constant améliorerait le coût. Cette technique permet de prendre en compte des contraintes intégrales sur le contrôle (contrainte sur le débit écoulé), mais il ne permet pas non plus de déterminer un contrôle optimal global. Le π-critère peut néanmoins être utilisé pour initialiser un algorithme de continuation-optimisation comme dans [10]. Les auteurs de ce travail examinent plusieurs formes de forçages périodiques, et notent que les paramètres optimaux qu’ils déterminent sont souvent éloignés de ceux donnés par le π-critère.

Une caractérisation de la fonction valeur d’un problème général d’optimisation périodique est donnée à l’aide de la théorie de Hamilton-Jacobi-Bellman dans [22], mais introduit des conditions au bord difficiles à vérifier hors du cas linéairequadratique.

L’approche est différente dans [6, 7], puisque des conditions d’existence d’un sur rendement sont données. De plus, un contrôle optimal global périodique lorsque ce sur-rendement existe est donné à l’aide du Principe du Maximum de Pontryagin. Ces conditions portent sur la convexité ou la concavité de la fonction de croissance.

Dans le cadre de traitement des eaux, on s’intéresse d’une part à la qualité de l’eau traitée, liée à la concentration en substrat s, et d’autre part à la quantité d’eau traitée, liée au taux de dilution u. Habituellement, les performances en dépollution sont évaluées en prenant le moyenne de plusieurs mesures de la concentration en substrat sur une période. Ici, on va donc chercher à minimiser la concentration moyenne en substrat dans le chemostat par un contrôle périodique, avec la contrainte d’écouler une quantité d’eau donnée (correspondant à un régime constant) pendant la période d’étude, dans le cas de fonctions de croissance convexe-concave .

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Table des matières

Introduction
1 Contrôle optimal périodique dans le chemostat à une espèce
1.1 Introduction
1.1.1 Présentation du problème
1.1.2 Hypothèses
1.1.3 ν(.) strictement convexe ou strictement concave
1.2 Une condition nécessaire d’optimalité pour les trajectoires avec ou sans arc singulier
1.2.1 Application du PMP
1.2.2 La condition de pente
1.2.3 Notations
1.3 Les trajectoires iB, cas sans arc singulier
1.3.1 Deux ensembles réduits à des singletons
1.3.2 Exclusion des trajectoires iB pour i > 3
1.4 Cas avec arc singulier
1.4.1 Application des contraintes
1.4.2 Optimalité des trajectoires BBSB
1.4.3 Exclusion des trajectoires dupliquées
1.5 Régime transitoire pour les trajectoires 3B
1.5.1 Un contrôle robuste aux incertitudes sur le modèle
1.6 Simulations numériques
1.6.1 Détermination numérique de la trajectoire optimale
1.6.2 Validation à l’aide d’un solveur
1.6.3 Gains apportés par l’insertion d’un arc singulier Contrôle optimal périodique : Applications à la dépollution de l’eau
1.7 Cas d’une fonction de croissance non-monotone
1.7.1 Application de la condition de pente
1.7.2 Etude des valeurs prises par une trajectoire optimale
1.8 Un résultat de dualité
2 Le cas du chemostat périodique à deux espèces
2.1 Introduction
2.1.1 Le Principe d’exclusion compétitive
2.1.2 Quelques résultats importants de la théorie
2.1.3 Une condition suffisante pour l’existence d’une solution périodique de coexistence
2.2 Solutions périodiques positives dans le chemostat à deux espèces avec un taux de dilution périodique : le problème de l’unicité
2.2.1 Un résultat sur la façon dont sont parcourues les solutions périodiques
2.2.2 Une classe d’exemples non-génériques avec une infinité de solutions périodiques positives
2.2.3 Plusieurs phénomènes à des échelles de temps différentes
2.3 Sur-rendements dans le cas de deux espèces
2.3.1 Possibilités de sur-rendement
3 Le modèle du gradostat
3.1 Introduction
3.1.1 Présentation du modèle
3.1.2 Modélisation du gradostat et hypothèses
3.2 Une configuration particulière
3.2.1 Modélisation et intérêt
3.2.2 Un résultat de réduction de dimension
3.2.3 Unicité des solutions périodiques
3.2.4 Discussion
Conclusion